MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS

Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico maximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo maximo.
Por el contrario, si una funcion continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos puntro critico minimo relativo, o simplemente minimo.
Una funcion puede tener uno, ninguno o varios puntos criticos.

METODOS PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, UTILIZADO PARA UNA FUNCION CONTINUA Y SU PRIMERA DERIVADA TAMBIEN CONTINUA.

* Obtener la primera derivada.
* Igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

* El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber maximos o mínimos en la función.

* Se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto maximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo.
* Cuando existen dos o mas resultados para lavariable independiente, debe tener la precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demas, a fin de evitar errores al interpretar los resultados.
* Sustituir en la función original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico
*

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

* Este método es mas utilizado que el anterior, aunque no siempre es mas sencillo. Se basa en que en un maximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada sera negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva.
* calcular la primera y segunda derivadas
* igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.
* sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada.
* Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un maximo.
* Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un maximo o mínimo.
* sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en lafunción original, para conocer las coordenadas de los puntos maximo y mínimo.

Teorema de Bolzano

El Teorema de Bolzano afirma que si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado y en los extremos del mismo ésta toma valores con signos opuestos, entonces existe al menos una raíz de la función en el interior del intervalo
En palabras mas simples, lo que viene a decir el teorema de Bolzano es lo siguiente:

Suponiendo que el eje de abscisas (eje x) fuese un río, y el segmento (a, b) un camino que hemos de seguir: si en el punto a, la grafica esta en un lado del río (tiene valor negativo) y en el punto b esta en el otro lado del río(tiene valor positivo) y la grafica es contínua en ese segmento, lógica y obligatoriamente ha de cortar por lo menos en un punto con el eje x (el río).

Demostración

* Suponer que f(a) < 0 y f(b) > 0 (en caso contrario se demuestra de manera analoga)
* Sea Z1 = (a + b)/2
* Si f(Z1) = 0, ya estaría con c = Z1, sino hay dos posibilidades, f(Z1) > 0 y f(Z1) < 0
* Si f(Z1) > 0, entonces X1 = a e Y1=Z1
* Si f(Z1) < 0, entonces X1 = Z1 e Y1 = b
Teorema de Weierstrass

* Las funciones continuas en un intervalo cerrado gozan de una propiedadinteresante, recogida en el siguiente teorema:
* Hipótesis: Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] entonces
* Tesis: Hay al menos dos puntos x1,x2 pertenecientes a [a,b] donde f alcanza valores extremos absolutos, es decir para cualquier

* Corolario: El conjunto imagen de la función f esta acotado, es decir:
Imf = f([a,b]) = [f (x1),f (x2)]
donde m=f(x1) simboliza el valor mínimo absoluto y M=f(x2) el valor maximo absoluto

Demostración:

* Por hipótesis, f es continua en [a,b] => por el lema de Weierstrass f esta acotada en [a,b], es decir, existen m y n tales que m <= f(x) <= n para todo x perteneciente a [a,b].
* La demostración se realiza por reducción al absurdo.
* Primero demostraremos que f tiene maximo absoluto en [a,b].
Queremos probar que existe x1 perteneciente a [a,b] / f(x1) = n.
Supongamos lo contrario de lo que queremos demostrar, o sea que para todo x perteneciente a [a,b] f(x) ≠ n, f(x) < n.
* Sea g una función auxiliar: g(x)=1/(n - f(x)).
* g es continua en [a,b] por ser diferencia y cociente de funciones continuas y n - f(x) ≠ 0. Por el lema de Weierstrass, gesta acotada, es decir, para todo x perteneciente a [a,b]

Teorema de Rolle y Teorema del Valor medio

* La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.
* La ecuación de la recta tangente a una función en el punto A( a , f ( a ) ) viene dada por la expresión: y – f ( a ) = f ’ ( a ) [ x – a ]
* Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
* Si en un punto de la grafica de una función se produce un cambio brusco de dirección ( “un pico” o “punto anguloso”), la función no es derivable en dicho punto.
* Si f es una función continua en [ a , b ], derivable en ( a , b ) y ademas f ( a ) = f ( b ), entonces existe al menos un punto c Î ( a , b ) en el que f ’ ( c ) = 0
Interpretación geométrica

* Si se cumplen las hipótesis del teorema, existe al menos un punto c Î ( a , b ) en el que su recta tangente es paralela al eje de abscisas (es decir, es la recta y = f ( c ) ).

Funciones Crecientes y Decrecientes

* Sea f una función continua con ecuación y=f(x) definida en un intervalo [a,b]
La siguiente es la representación grafica de f en el intervalo .* En la representación grafica anterior puede observarse que la función f es:
* Creciente en los intervalos , ,
* Decreciente en los intervalos , ,
* También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece.

Note ademas que en los puntos
y la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos.

Puntos de Inflexión

Toda función que es una curva en su trazado define dos regiones: la región cóncava (o simplemente concavidad) y la región no cóncava. Observe la siguiente situación donde se describe la concavidad,

Puntos de Inflexión

Sea f ( x ) una función, no resulta complicado verificar que en la región donde f ''( x ) > 0 implica que la función primera derivada f ' ( x ) es una función creciente y esto significa que la curva en dicha región es cóncava hacia abajo (como el segundo grafico). Y si se cumple que f ''( x ) < 0, significa que la función primera derivada es decreciente y por lo tanto es cóncava hacia arriba en dicha región (como en el grafico de la izquierda anterior)