MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACION LINEAL
Cualquier transformación lineal T: V o W puede representarse mediante una matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V, en la base de W. Supongamos que el espacio V tiene una base y el espacio W tiene una base . Entonces cualquier transformación lineal de V en W se representa por una matriz A m x n. Si T (vi ) = ai1 w1 + . + aim wm, entonces la columna i de A es (ai1 ., aim )Thttps://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/TL/matriz.html

Si V y W tienen dimensión finita y uno tiene elegidas bases en cada uno de los espacios, entonces todo mapa lineal de V en W puede representarse por una matriz. Recíprocamente, toda matriz representa una transformación lineal. Sean T: V→W una transformación lineal, B= una base de V, C= base de W. Para calcular la matriz asociada a T en las bases B y C debemos calcular T (vi) para cada i=1,,n y escribirlo como combinación lineal de la base C: T(v1)=a11w1+ +am1 wm, , T(vn)=a1nw1+ +amn wm.

La matriz asociada se nota C[T]B y es la siguiente:

https://es.wikipedia.org/wiki/Aplicaci%C3%B3n_lineal#Matriz_asociada_a_una_transformaci.C3.B3n_lineal
Si hay dos vectores con dimensiones finitas y uno tiene bases en cada uno de los espacios entonces todo mapa lineal puede representarse por una matriz, aun asi, toda matriz representa una transformación lineal.
Ejemplo
Sea   dada por   la derivada de f; y sean   y  las bases canónicas  de   y   (ordenadas en la forma estándar) , respectivamente.