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Maximos y mínimos mediante el método de lagrange



Maximos y mínimos mediante el método de lagrange

Maximos y mínimos mediante el método de Lagrange:
Sea una función continua y derivable de varias variables f ( x, y ) (“varias” variables, o sea , dos en este ejemplo). Sabemos que para encontrar los extremos de la función (es decir, los puntos (x,y) donde f alcanza su maximo o mínimo valor), debemos resolver las ecuaciones: ∂f ( x , y ) ∂f ( x, y ) = 0; =0 ∂x ∂y Esto es lo mismo que especificar el punto donde el gradiente de la función en el plano XY se anula:
f ( x, y ) = 0. Como usted sabe (!), el gradiente en este caso es un vector en el plano XY que indica la dirección hacia donde hay que moverse para que la función aumente mas bruscamente. El gradiente se anula en los puntos donde la función es “horizontal” (donde la función no aumenta hacia ningún lado).



En la figura se muestra una función con un maximo bien notorio. Las curvas de nivel indican los puntos donde la función tiene un valor dado. El gradiente de la función en un punto dado tiene dirección perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto. En el maximo, la curva de nivel degenera en un solo punto. En tal caso, el gradiente es cero: a partir de ese punto no hay ninguna dirección hacia donde la función aumente. _______________ A veces no queremos buscarel maximo de la función en todo el dominio (plano XY, en este caso), sino sólo a lo largo de una curva en el plano XY (en el caso de una función de 3 variables, es decir en el volumen XYZ, la restricción puede ser una curva o una superficie en el espacio XYZ). Nuestro problema es entonces cómo encontrar los extremos de f si queremos limitarnos sólo a puntos (x,y) que estén sobre una curva definida por: g ( x, y ) = 0 . La forma mas directa (aunque no necesariamente la mas simple de calcular) es usar la condición de restricción g ( x, y ) = 0 para despejar y como función de x, y = y ( x ) , y luego reemplazar este valor de y en la función f ( x, y ( x )) . De esta forma, tenemos una función de una variable menos (en este caso una función que sólo depende de x) sin restricciones. Para encontrar los extremos, simplemente buscamos los puntos x tales que df ( x, y ( x)) =0 dx Lo malo de este método es que en la practica no siempre es posible despejar y = y ( x ) !!! Alternativamente, podemos definir la curva g ( x, y ) = 0 en forma paramétrica, es decir, mediante un par de funciones de un parametro t: x = x (t ) e y = y (t ) tales que g ( x(t ), y (t )) = 0 . En este caso, buscamos el extremo de la función f (t ) = f ( x (t ), y (t ))usando, como siempre, la condición:




df =0 dt En la practica, esto a veces tampoco resulta facil de hacer!!! Veamos entonces la otra alternativa: el método de Lagrange. Graficamente, la función f ( x, y ) se puede representar por un mapa de curvas de nivel en el plano XY, que en el ejemplo anterior son curvas circulares. Como sabemos, el punto maximo esta en el centro de las curvas de nivel. Sobre este grafico podemos dibujar la curva de restricción g ( x, y ) = 0 , que es la línea que atraviesa la figura. Note que en esta figura, hemos dibujado la curva con un parametro t, que avanza de izquierda a derecha. En el ejemplo, la función es mayor mientras mas nos movemos hacia el centro de las curvas de nivel. t El maximo de f a lo largo de la curva ocurre en el punto tal que al avanzar sobre la curva no nos cambiamos de nivel, es decir donde la curva es tangente a la correspondiente curva de nivel. En otras palabras, el extremo de la función f sobre la curva g = 0 ocurre donde el gradiente de f es perpendicular a la curva g = 0. Hay otra forma de especificar esto mas elegantemente: uno siempre puede definir el gradiente de la función g, esto es g , puesto que g ( x, y ) es simplemente otra función mas en en plano XY, donde la restricción g( x, y ) = 0 simplemente corresponde a una de las curvas de nivel de g. Esto significa que g , para puntos sobre la curva g = 0, es un vector perpendicular a esta curva. La condición del extremo es, por lo tanto, un punto donde el gradiente de f es paralelo al gradiente de g: Condición de extremo: f = λ g , donde λ es una constante de proporcionalidad. Esta elegante condición corresponde exactamente al Método de Lagrange para encontrar maximos y mínimos de una función f ( x, y ) sujeto a la restricción g ( x, y ) = 0 : a) Construya una nueva función f ( x, y ) = f ( x, y ) − λ g ( x, y ) , donde λ es una cosntante (multiplicador de Lagrange), hasta aquí desconocida. b) Extremice esta nueva función, considerando las variables sin restricción, es decir: f ( x, y ) = 0 Las ecuaciones obtenidas seran funciones de las coordenadas x, y y del parametro λ . c) Use la ecuación de restricción g ( x, y ) = 0 para determinar λ .

La belleza de este método es que es facil de aplicar y facil de generalizar a un número mayor de variables y de restricciones.


En 3 dimensiones, con una restricción:: Queremos encontrar los extremos de f ( x, y , z ) , sujeto a g ( x, y , z ) = 0 . Esto se generaliza en forma muy simple: 1) Ahora trabajamos enel espacio XYZ en vez del plano XY. 2) Ahora f ( x, y , z ) se puede representar en el espacio XYZ por superficies de nivel, donde cada superficie es el lugar de puntos donde la función tiene un valor dado. Tal como las curvas de nivel en dos dimensiones, las superficies de nivel resultan como hojas paralelas en cada vecindad, y el gradiente de la función es un vector que apunta normalmente a las hojas en la dirección en la que la función aumenta. 3) Ahora, la función de restricción g ( x, y , z ) = 0 es una superficie, que corresponde a una de las superficies de nivel de la función g ( x, y , z ) . 4) Claramente, el extremo de la función f sujeta a la restricción g = 0 ocurre donde el gradiente de f es perpendicular a la superficie g = 0, es decir, nuevamente los vectores gradiente de f y g son paralelos! En 3 dimensiones, con dos restricciones: Qué pasa si hay dos ecuaciones de restricción? (en 3 dimensiones, eso puede ocurrir). En tal caso, tenemos una función f ( x, y , z ) , de la cual buscamos los extremos, sujeto a las condiciones conjuntas: g1 ( x, y, z ) = 0 y g 2 ( x, y, z ) = 0 . Cada una de estas condiciones corresponde a una superficie en el espacio XYZ. La restricción simultanea corresponde a los puntos que son comunes aambas superficies, es decir, definen una curva en el espacio XYZ, que es la intersección de las superficies (mas vale que tal intersección exista, pues de otro modo el problema es inconsistente!). En tal caso, el extremo de la función, al igual que en el caso en dos dimensiones, ocurre donde la curva de restricción es tangente a una superficie de nivel de la función f. Ahora, todo el problema es expresar esa condición en término de los gradientes: Sabemos que en cada punto,
f es un vector perpendicular a la superficie de nivel donde yace tal punto. Por lo tanto, en el punto de extremo, f es perpendicular a la curva de restricción. La última pregunta que nos queda es: cómo defino la dirección de la curva de restricción? La respuesta es que, en vez de definir la dirección de dicha curva, voy a identificar el plano normal a la curva. Cada superficie de restricción, en cada punto, tiene definido un gradiente, que es un vector normal a dicha superficie. Por lo tanto, la curva de intersección de ambas superficies es normal a ambos vectores gradiente (ver figura). El plano normal a la curva, por lo tanto, es aquél que contiene a todos los vectores que son combinación lineal de los dos gradientes, g1 y g 2 . g1 g1 = 0 g 2 g2 = 0




Comoen el punto de extremo,
f debe ser normal a la curva, entonces dicho gradiente debe yacer en el plano normal. Esto significa que f es una combinación lineal de los dos vectores gradiente g1 y g 2 : f = λ1 g1 + λ2 g 2 , para algún λ1 y λ2 . Eso es nuevamente el método de Lagrange! Generalicemos: Para encontrar el extremo de la función multivariable f ( x1 , x2 , x3 ,) para valores x1 , x2 , x3 , restringidos a las condiciones g1 ( x1 , x2 , x3, ) = 0 , g 2 ( x1 , x2 , x3, ) = 0 , etc… a) Construya la función f ( x1 , x2 , x3 ,) = f ( x1 , x2 , x3 ,) − λ1 g1 ( x1 , x2 , x3 ,) − λ2 g 2 ( x1 , x2 , x3 ,) − y extremice considerando como independientes a todas las variables y a todos los parametros λ1 , λ2 , es decir, imponga
f = 0 b) Use las ecuaciones de restricción g1 = 0, para determinar los valores de los parametros

λ1 , λ2 ,

Problemas: Encuentre el mínimo de la función f ( x, y ) = x 2 + y 2 para puntos x, y que yacen en la curva ( x − 4) 2 + y 2 = 1 . Haga un grafico de la situación. Solucione el problema haciendo un reemplazo de y en la función usando la restricción y encuentre la solución al problema de minimización en una variable. Alternativamente, use el método de Lagrange.




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