PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA - PRUEBAS DE HIPÓTESIS (UNA POBLACIÓN)

1.- En el llenado automatizado de bolsas de jabón en polvo, se espera que cada bolsa contenga 1000 gramos. Para ver que esto se cumpla, se toma una muestra aleatoria de 35 bolsas y se obtuvo una media de 1010 gramos y una desviación estandar de 15 gramos. ¿Se esta llevando a cabo correctamente el proceso de envasado?
2.- En un proceso de fabricación, la cantidad de impurezas permisible en la materia prima es de 0.05 miligramos por litro (mg/L). Los analisis que se practicaron a una muestra aleatoria de tamaño 10 de un lote recién recibido dieron una media de 0.058 mg/L con una desviación estandar de 0.012 mg/L. ¿Debera aceptarse el lote?
3.- En un experimento sobre percepción extrasensorial (PES) se pide a un sujeto sentado en un cuarto indicar el color (rojo o azul) de una carta seleccionada de una baraja de 50 cartas bien barajadas por un individuo ubicado en otro cuarto. Siidentifica correctamente 32 cartas, determinar si los resultados son significativos a un nivel de α=0.01.

4.- El fabricante de una medicina de patente afirmó que la misma fue 90% eficaz para aliviar una alergia durante un período de 8 horas. En una muestra de 200 personas que padecían la alergia, la medicina proporcionó alivio a 160. ¿Determinar si la afirmación del fabricante es legítima a un nivel de significancia α=0.05.
5.- Se calcula la media del tiempo de vida de una muestra de 100 focos fluorecentes producidos por una compañía, se obtiene que la media es 1570 horas con una desviación estandar de 120 horas. La compañía afirma que la duración de los focos es de 1600 horas. Probar esta afirmación con un nivel de significancia α=0.05.
6.- En el pasado, la desviación estandar de los pesos de ciertos paquetes de 40 onzas se llenaban mediante una maquina era de 0.25 onzas. Una muestra aleatoria de 20 paquetes mostró una desviación estandar de 0.32 onzas. ¿Esel aumento de la variabilidad significativo a un nivel de significancia α=0.1?
7.- La media del tiempo de vida de los focos eléctricos que producía una compañía era de 1120 horas con una desviación estandar de 125 horas. Una muestra de 8 unidades de un suministro de focos de fabricación reciente mostró que la media del tiempo de vida es de 1070 horas. Pruebe la hipótesis de que no ha cambiado la media del tiempo de vida de los focos a un nivel de significancia α=0.01.
8.- En una prueba para conocer si la varianza de la carga de una fibra de carbono ha cambiado:
H0:σ2=4 kN vs Ha: σ2≠4 kN
se obtuvo un valor p de 0.0349. Concluir la prueba con los niveles de significancia de α=0.1, 0.5 y 0.01.
El grado de un polinomio esta expresado por el grado del monomio de mayor grado.
Supongamos el siguiente ejemplo :
P(x) = -2x3 + 5/8x2 + 3x - √5
En éste caso, el término de mayor grado es de grado 3, por lo cual el polinomio también es de grado 3.
Al coeficiente del monomio de mayor grado se lo llama coeficiente principal. En éste caso, el coeficiente principal es -2. Cuando el coeficiente principal de un polinomio es igual a 1, el polinomio recibe el nombre de polinomio mónico.
En el ejemplo anterior, el polinomio tiene todos sus términos ordenados de acuerdo a su grado, en forma decreciente. Dado que no siempre los polinomios se encuentran expresados ordenadamente, debemos proceder a ordenarlos (nosotros lo haremos en forma decreciente)
Puede suceder también que en un polinomio no figure alguno de los términos. Veamos el siguiente ejemplo :
Q(x) = 8x4 - 0,4x + 2/3
En éste polinomio de orden 4 faltan los términos correspondientes al orden 3 y al orden 2, por lo cual se dice que estaincompleto. Para poder efectuar operaciones entre polinomios, éstos deben estar completos, por lo cual debemos agregar los términos faltantes, acompaña-
-dos de un coeficiente nulo. De ésta manera, el polinomio anterior, ordenado y completo, tomaría la forma
Q(x) = 8x4 + 0x3 + 0x2 – 0,4x + 2/3
Los términos 0x3 y 0x2 son monomios nulos.
Ejercitación :
1-Ordenar y completar los siguientes Polinomios
P(x) = 2 – 3/4x3 + √7x .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q(x) = -0,6x5 + 3 – 1/5x2 + 4x4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
R(X) = -5x2 + 0,9 – 7x4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
S(x) = √8x – 3/5x6 + 0,25 + 2x3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
T(x) = 3x5 – 7/8 + 2,5x2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
U(x) = 4x4 – 0,85x – 5x2 … …… …… …… …… …… …… … …… …… …… …… …… ….
2-Completar la tabla siguiente

|Polinomio |¿Ordenado? |¿Completo? |¿Mónico? |Orden |Coef. Ppal. |
|3x – 5 + 4x2
|8x – 4x4 + 7 + 9x5 – 3x2
|2x5 + 8x4 – 9x3 – 4x2 + 7x – 15
|- 3 + x3 – 8x
|X4 + 3x3 – 10x2 – 5x + 1
|9x8 + 5 – 72x10 + 4x4 | |
|4x4 – 7x + 9 – 2x3 + 12x2
|X - 5

Operaciones con Polinomios
Suma de Polinomios
Para efectuar la suma de dos polinomios, se deben colocar ambos sumandos, ordenados y completos, uno encima del otro, manteniendo encolumnados los términos semejantes (que son los que tienen el mismo grado), y luego se suman los coeficientes de dichos términos.
Supongamos la siguiente suma de polinomios A(x) + B(x)
A(x) = 3 - 9x5 + 3x2 – 6x6 B(x) = 2x4 – 8 + 5x2 – 6x5 + 9x6
El primer paso consiste en ordenar y completar los polinomios
A(x) = – 6x6 – 9x5 + 0x4 + 0x3 + 3x2 + 0x + 3 ; B(x) = 9x6 – 6x5 + 2x4 + 0x3 + 5x2 + 0x – 8
Luego, los encolumnamos y efectuamos la suma
– 6x6 – 9x5 + 0x4 + 0x3 + 3x2 + 0x + 3
+ 9x6 – 6x5 + 2x4 + 0x3 + 5x2 + 0x – 8
3x6 – 15x5 + 2x4 + 0x3 + 8x2 + 0x – 5
La suma de dos polinomios da como resultado otro polinomio.
Resta de Polinomios
Para ejecutar la resta de dos polinomios se deben cumplir las mismas condiciones que en el caso de la suma, vale decir, ambos miembros deben estar ordenados y completos, luego de lo cual procedemos a escribir el sustraendo debajo del minuendo, encolumnando los términos semejantes, y luego efectuamos la resta entre los coeficientes de los términos semejantes del minuendo y del sustraendo. Existen dos procedimientos para realizar la resta de polinomios, pero en ambos casos el resultado final es el mismo.
Supongamos la siguiente resta de polinomios C(x) - D(x)
C(x) = 8x2 – 3 + 6x5 + 4x3 D(x) = 2 + 5x2 – 8x5 + 3x + 5x3
Primero los ordenamos y completamos
C(x) = 6x5 + 0x4 + 4x3 + 8x2 + 0x – 3 ; D(x) = –8x5 + 0x4 + 5x3 + 5x2 + 3x + 2
Uno de los procedimientosconsiste en efectuar la resta en forma directa
6x5 + 0x4 + 4x3 + 8x2 + 0x – 3
– – 8x5 + 0x4 + 5x3 + 5x2 + 3x + 2
14x5 + 0x4 - 1x3 + 3x2 - 3x – 5
El otro procedimiento consiste en efectuar la suma entre el minuendo y el sustraendo cambiado de signo. En nuestro caso, el sustraendo cambiado de signo pasa a ser
- D(x) = 8x5 + 0x4 - 5x3 - 5x2 - 3x – 2 ( A D(x) y – 9.- Se sospecha que el agua de un lago ha disminuido su pH debido a la lluvia acida. Las hipótesis planteadas fueron:
H0:μ=7 vs Ha: μ<7
Se obtuvo un valor p de la prueba de 0.0123. Concluir la prueba con los niveles de significancia de α=0.1, 0.5 y 0.01