POLINOMIOS

Expresiones algebraicas
Habitualmente utilizamos expresiones (a las cuales llamamos fórmulas) para efectuar calculos relacionados con distintas ramas de la ciencia.
Tomemos como ejemplo el calculo de la superficie de
un rectangulo; la expresión que utilizamos es la siguiente:
S = b.h h
Donde S : Superficie
b : Base del rectangulo b
h : Altura del rectangulo

En cinematica, cuando estudiamos la distancia recorrida por un móvil que se mueve con movimiento rectilíneo uniformemente variado, lo hacemos utilizando la siguiente expresión:
d = v0.t + ½ a.t2
Donde d : Distancia recorrida
v0: Velocidad inicial
a : Aceleración
t : Tiempo
Como ven, éstas son fórmulas donde se relacionan entre sí distintas variables. A éste tipo de expresiones se las denomina expresiones algebraicas.
Supongamos dos expresiones algebraicas cualesquiera:
my (1) -2a2 + 3b – 5 (2)
En la expresión (1), estamos indicando un producto entre dos valores representados por letras, las que reciben el nombre de variables; el signo “X” de multiplicación no esta escrito, y ésta omisión se aplica tanto al producto entre dos variables, como al producto entre una variable y un valor numérico.

En la expresión (2), tenemos distintas cantidades separadas por signos “ + ” ó “ – “.Cada una de dichas cantidades recibe el nombre de término, por lo tanto ésta expresión esta formada por 3 términos. Cada uno de dichos términos consta de : signo, coeficiente y parte literal ó variable. Si tomamos como ejemplo al 1er término de la expresión (2), veremos que su signo es “ – “, su coeficiente es 2 y su parte literal ó variable es a2. Cuando un término no tiene parte literal, se le llama término independiente.
Polinomios
De aquí en adelante nos ocuparemos de un tipo deexpresión algebraica en especial : los polinomios.
Reciben el nombre de polinomios aquellas expresiones algebraicas del tipo
P(x)= anxn + an-1xn-1 + … …+ a2x2 + a1x1 + a0
Cada uno de los términos de un polinomio recibe el nombre de monomio, y esta compuesto de la siguiente manera :
anxn Donde an≠0 → Coeficiente (Debe ser siempre un número real)
x → Variable ( También llamada Indeterminada)
n → Exponente (Debe ser siempre un número natural)
El exponente también recibe el nombre de grado del monomio.
Ejercitación : Determinar si las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indicar el grado

-2x3 .. . . ..Grado:
2ix .. . . .Grado:
0,5x2 .. . . .Grado:
3x-3 .. . . ..Grado:
3√3x4 .. . . ..Grado:

0,55x1/2 .. . . ..Grado:
823x6 .. . . ..Grado:
√2x-4 .. . . ..Grado:
-5ix4 .. . . ..Grado:
-4x-1 .. . . ..Grado:

Grado de un Polinomio- Polinomio ordenado y completo
El grado de un polinomio esta expresado por el grado del monomio de mayor grado.
Supongamos el siguiente ejemplo :
P(x) = -2x3 + 5/8x2 + 3x - √5
En éste caso, el término de mayor grado es de grado 3, por lo cual el polinomio también es de grado 3.
Al coeficiente del monomio de mayor grado se lo llama coeficiente principal. En éste caso, el coeficiente principal es -2. Cuando el coeficiente principal de un polinomio es igual a 1, el polinomio recibe el nombre de polinomio mónico.
En el ejemplo anterior, el polinomio tiene todos sus términos ordenados de acuerdo a su grado, en forma decreciente. Dado que no siempre los polinomios se encuentran expresados ordenadamente, debemos proceder a ordenarlos (nosotros lo haremos en forma decreciente)
Puede suceder también que en un polinomio no figure alguno de los términos. Veamos el siguiente ejemplo :
Q(x) = 8x4 - 0,4x + 2/3
En éste polinomio de orden 4 faltan los términos correspondientes al orden 3 y al orden 2, por lo cual se dice que estaincompleto. Para poder efectuar operaciones entre polinomios, éstos deben estar completos, por lo cual debemos agregar los términos faltantes, acompaña-
-dos de un coeficiente nulo. De ésta manera, el polinomio anterior, ordenado y completo, tomaría la forma
Q(x) = 8x4 + 0x3 + 0x2 – 0,4x + 2/3
Los términos 0x3 y 0x2 son monomios nulos.
Ejercitación :
1-Ordenar y completar los siguientes Polinomios
P(x) = 2 – 3/4x3 + √7x .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Q(x) = -0,6x5 + 3 – 1/5x2 + 4x4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
R(X) = -5x2 + 0,9 – 7x4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
S(x) = √8x – 3/5x6 + 0,25 + 2x3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
T(x) = 3x5 – 7/8 + 2,5x2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
U(x) = 4x4 – 0,85x – 5x2 … …… …… …… …… …… …… … …… …… …… …… …… ….
2-Completar la tabla siguiente

|Polinomio |¿Ordenado? |¿Completo? |¿Mónico? |Orden |Coef. Ppal. |
|3x – 5 + 4x2
|8x – 4x4 + 7 + 9x5 – 3x2
|2x5 + 8x4 – 9x3 – 4x2 + 7x – 15
|- 3 + x3 – 8x
|X4 + 3x3 – 10x2 – 5x + 1
|9x8 + 5 – 72x10 + 4x4 | |
|4x4 – 7x + 9 – 2x3 + 12x2
|X - 5

Operaciones con Polinomios
Suma de Polinomios
Para efectuar la suma de dos polinomios, se deben colocar ambos sumandos, ordenados y completos, uno encima del otro, manteniendo encolumnados los términos semejantes (que son los que tienen el mismo grado), y luego se suman los coeficientes de dichos términos.
Supongamos la siguiente suma de polinomios A(x) + B(x)
A(x) = 3 - 9x5 + 3x2 – 6x6 B(x) = 2x4 – 8 + 5x2 – 6x5 + 9x6
El primer paso consiste en ordenar y completar los polinomios
A(x) = – 6x6 – 9x5 + 0x4 + 0x3 + 3x2 + 0x + 3 ; B(x) = 9x6 – 6x5 + 2x4 + 0x3 + 5x2 + 0x – 8
Luego, los encolumnamos y efectuamos la suma
– 6x6 – 9x5 + 0x4 + 0x3 + 3x2 + 0x + 3
+ 9x6 – 6x5 + 2x4 + 0x3 + 5x2 + 0x – 8
3x6 – 15x5 + 2x4 + 0x3 + 8x2 + 0x – 5
La suma de dos polinomios da como resultado otro polinomio.
Resta de Polinomios
Para ejecutar la resta de dos polinomios se deben cumplir las mismas condiciones que en el caso de la suma, vale decir, ambos miembros deben estar ordenados y completos, luego de lo cual procedemos a escribir el sustraendo debajo del minuendo, encolumnando los términos semejantes, y luego efectuamos la resta entre los coeficientes de los términos semejantes del minuendo y del sustraendo. Existen dos procedimientos para realizar la resta de polinomios, pero en ambos casos el resultado final es el mismo.
Supongamos la siguiente resta de polinomios C(x) - D(x)
C(x) = 8x2 – 3 + 6x5 + 4x3 D(x) = 2 + 5x2 – 8x5 + 3x + 5x3
Primero los ordenamos y completamos
C(x) = 6x5 + 0x4 + 4x3 + 8x2 + 0x – 3 ; D(x) = –8x5 + 0x4 + 5x3 + 5x2 + 3x + 2
Uno de los procedimientosconsiste en efectuar la resta en forma directa
6x5 + 0x4 + 4x3 + 8x2 + 0x – 3
– – 8x5 + 0x4 + 5x3 + 5x2 + 3x + 2
14x5 + 0x4 - 1x3 + 3x2 - 3x – 5
El otro procedimiento consiste en efectuar la suma entre el minuendo y el sustraendo cambiado de signo. En nuestro caso, el sustraendo cambiado de signo pasa a ser
- D(x) = 8x5 + 0x4 - 5x3 - 5x2 - 3x – 2 ( A D(x) y –D(x) se los llama polinomios opuestos)
Ahora podemos realizar la suma entre el minuendo (C(x)), y el opuesto al sustraendo (–D(x))
6x5 + 0x4 + 4x3 + 8x2 + 0x – 3
+ 8x5 + 0x4– 5x3 – 5x2 – 3x – 2
14x5 + 0x4 - 1x3 + 3x2 - 3x – 5
Como ven, con cualquiera de los dos procedimientos el resultado es el mismo, y analogamente al caso de la suma, vemos que el resultado de la resta entre dos polinomios es otro polinomio.
Ejercitación :Dados los polinomios, efectuar las operaciones indicadas
A(x) = 7x4 – 1/2x6 + 0,4x - √7x2 + 2/3
B(x) = 3x5 + 3x6 – 3/5x – 1/2 + 3√7x2
C(x) = 1/3x4 – 5/3x6 + 0,3x5 – 2x - 2√7x2 – 1/3x4
[A(x) + B(x)] – C(x) = [A(x) – C(x)] + B(x) = [C(x) – B(x)] + A(x) =
[B(x) + C(x)] – A(x) = [B(x) – A(x)] + C(x) = [C(x) – A(x)] + B(x) =
[B(x) - C(x)] – A(x) = [A(x) – B(x)] + C(x) = [C(x) + A(x)] - B(x) =

Producto de Monomios

El producto de dos monomios da como resultado otro monomio. El coeficiente del resultado es igual al producto de los coeficientes de los factores, y el grado de la indeterminada del resultado es la suma de los grados de los monomios intervinientes.
Supongamos el producto entre dos monomios F(x) . G(x)
F(x) = -3X2 G(x) = 2x3
F(x) . G(x) = - 3x2 . 2x3 = - 6x5
Para calcular el grado de la indeterminada, aplicamos la propiedad de producto de potencias de igual base.

Producto de Polinomios

Para calcular el producto entre dos polinomios, debemos multiplicar cada uno de los monomios del primer polinomio por cada uno de los monomios del segundo polinomio, y luego sumamos los términos semejantes. Es conveniente disponer losfactores de la misma manera que en el caso de una multiplicación de números.

Supongamos el siguiente producto de polinomios R(x) . S(x)
R(x) = 1/4x - 2x3 + 3 S(x) = -2 + 3x2

- 2x3 + 0x2 + 1/4x + 3 → Ordenado y completo
x 3x2 - 2 → Ordenado
4x3 + 0x2 – 1/2x – 6 Encolumnamos los términos semejantes
-6x5 + 0x4 + 3/4x3 + 9x2 y luego sumamos
-6x5 + 0x4 +19/4x3 + 9x2 – 1/2x – 6
El producto de dos polinomios es otro polinomio, cuyo grado es igual a la suma de los grados de los polinomios intervinientes.
Ejercitación Dados los polinomios, efectuar los ejercicios indicados
|A(x) = –3+1/2x2 – 5x5 + 0,4x | B(x) = 2x – 3/5x4 + 0,6x2 |C(x) = 4x3 – 2/3 + 0,25x |
|D(x) = 3/9x – 0,5x3 + 4 | E(x) = 0,75x4 – 2x – 4x2 | F(x) = 5/8x3 – 3 + 2,5x4 |

Indicar el grado del polinomio resultado (sin efectuar el producto)

|A(x) . B(x) |B(x) . E(x) |C(x) . F(x) |
|D(x) . A(x) |E(x) . A(x) |F(x) . D(x) |

Efectuar los siguientes productos

|B(x) . C(x) |A(x) . F(x) |D(x) . E(x) |
|F(x) . B(x) |E(x) . C(x) |C(x) . D(x) |

Cociente entre dos Monomios

El cociente entre dos monomios da como resultado otro monomio. Para poder efectuarlo, el grado del dividendo debe ser mayor ó igual que el grado del divisor. El coeficiente del resultado es igual al cociente entre el coeficientes del dividendo y el coeficiente del divisor, y el grado de la indeterminada del resultado es ladiferencia entre el grado del dividendo y el grado del divisor.
Supongamos el cociente entre dos monomios A(x) ÷ B(x)

A(x) = 18X4 B(x) = 6x2

A(x) ÷ B(x) = 18x4 ÷ 6x2 = 3x2
Para calcular el grado de la indeterminada, aplicamos la propiedad de cociente de potencias de igual base (los exponentes se restan).

Cociente de un Polinomio por un Monomio

Para poder entender éste tipo de operación, debemos recordar el algoritmo de la división entera entre dos números enteros.
Supongamos la división 43 ÷ 8

Dividendo → 4 3 8 →Divisor
4 0 5 →Cociente
3. → Resto

De acuerdo a ésta división, verificamos que se cumple la igualdad

43 = 8 . 5 + 3

que es la forma que en éste caso toma la expresión general de la división entera

Dividendo = Divisor . Cociente + Resto

Supongamos ahora dividir el Polinomio P(x) = – 3 + 6x3 – 9x2 por el Monomio 3x; analizaremos el procedimiento paso por paso

|Ordenamos el Polinomio | P(x) = 6x3 – 9x2 – 3 |
|Disponemos ambos términos como en una división de números naturales. | 6x3 – 9x2 – 3 3x |
|Para calcular el 1er término del cociente, divi- | 6x3 – 9x2 – 3 3x |
|-dimos al 1er término del dividendo por el divisor. |2x2 |
|Multiplicamos a 2x2 por el divisor, para obtener el primer resto parcial. | 6x3 – 9x2 – 3 3x |
6x3 2x2 |
0x3 – 9x2 – 3 } → 1er resto parcial|
|Para calcular el 2do término del cociente, divi-
|-dimos al 1er término no nulo del resto parcial por el divisor |6x3 – 9x2 – 3 3x |
|(verificando previamente la condición necesaria entre el grado del |6x3 2x2 – 3x |
|dividendo y el del divisor). |0x3 – 9x2 – 3 |
|Multiplicamos a – 3x2 por el divisor, para obtener el segundo resto | 6x3 – 9x2 – 3 3x |
|parcial. En éste caso, no podemos seguir dividiendo porque el grado del |6x3 2x2 – 3x |
|resto parcial es menor que el grado del divisor. |0x3 – 9x2 – 3 |
– 9x2 |
0x2 – 3 → Resto |

Poniendo los resultados de acuerdo a la expresión general de la división entera
6x3 – 9x2 – 3 = ( 3x ) . ( 2x2 – 3x ) + ( – 3 )

Ejercitación Dados los polinomios, efectuar los ejercicios indicados

|L(x) = 1/2x3 + 3x4 – 2x + 0,3 | M(x) = 4/3 – 6x4 + 2x |N(x) = – 0,1x + 3x3 + 1/3 |
|L(X) ÷ ( -3x2 ) |M(x) ÷ ( 2x5 ) |N(x) ÷ ( 1/4x ) |
| L(X) ÷ ( 0,3x4 ) | M(x) ÷ (- 3/5x2 ) |N(x) ÷ ( -4x3 ) |

Cociente de Polinomios

Para poder efectuar el cociente entre dos Polinomios, el grado del dividendo debeser mayor ó igual que el grado del divisor. Dicho cociente da como resultado otro Polinomio, cuyo grado es la diferencia entre el grado del dividendo y el grado del divisor. El procedimiento es semejante al del cociente entre un polinomio y un monomio.
Supongamos calcular el cociente P(x) ÷ Q(x)
P(x) = – 3 + 8x5 – 2x2 + 8x3 Q(x) = 3 +2x2
Nuevamente, analizaremos el procedimiento paso por paso

|Completamos y ordenamos el Polinomio dividendo; ordenamos el polinomio | P(x) = 8x5 + 0x4 + 8x3 – 2x2 + 0x – 3 |
|divisor |Q(x) = 2x2 + 3 |
|Disponemos ambos términos como en una división de números naturales. | 8x5 + 0x4 + 8x3 – 2x2 + 0x – 3 2x2 + 3 |
|Para obtener el primer término del cociente, dividimos al primer término | 8x5 + 0x4 + 8x3 – 2x2 + 0x – 3 2x2 + 3 |
|del dividendo por el primer término del divisor |4x3 |
|Multiplicamos al primer término del cociente por el polinomio divisor; al | 8x5 + 0x4 + 8x3 – 2x2 + 0x – 3 2x2 + 3 |
|resultado de dicha multiplicación lo restamos del dividendo; de ésta forma|8x5 12x3 4x3 |
|obtenemos el 1er resto parcial |0x5 + 0x4 – 4x3 → 1er resto parcial |
|Al 1er resto parcial le agregamos los demas términos del polinomio | 8x5 + 0x4 + 8x3 – 2x2 + 0x – 3 2x2 + 3 |
|dividendo; para obtener el segundo término del cociente, dividimos al 1er |8x5 12x3 4x3 – 2x |
|término no nulo del dividendo por el 1er término del divisor |0x5 + 0x4 – 4x3 – 2x2 + 0x – 3 |
|Repetimos los pasos anteriores .| 8x5 + 0x4 + 8x3 – 2x2 + 0x – 3 2x2 + 3 |
|El cociente termina cuando el grado del dividendo es menor que el grado |8x5 12x3 4x3 – 2x – 1 |
|del divisor. |0x5 + 0x4 – 4x3 – 2x2 + 0x – 3 |
– 4x3 – 6x |
0x3 – 2x2 + 6x – 3 |
– 2x2 – 3 |
0x2 + 6x + 0 |

Si ponemos los resultados de acuerdo a la expresión general de la división entera, nos queda lo siguiente
8x5 + 0x4 + 8x3 – 2x2 + 0x – 3 = ( 2x2 + 3 ) . ( 4x3 – 2x – 1 ) + 6x

Dividendo Divisor Cociente Resto

Ejercitación Dados los polinomios, efectuar los ejercicios indicados

|P(x) =– 2/3 + 0,4x4 – 4x + 4x2 | Q(x) = 4x2 – 3 + 3/5x |R(x) = - 3x3 + 0,25 + 7/8x2 |
|S(x) = 7x – 1/6x5 + 0,8 + x2 | T(x) = 3/5x + 0,6 – 6x2 |U(x) = 1/2x5 – 0,75x + 3 – 2x3 |

a) Indicar el grado del polinomio resultado (sin efectuar el cociente)

|U(x) ÷ P(x) = |P(x) ÷ T(x) = |S(x) ÷ R(x) = |
|R(x) ÷ Q(x) = |S(x) ÷ P(x) = |T(x) ÷ U(x) = |

b) Efectuar los siguientes cocientes

|P(x) ÷ Q(x) =|P(x) ÷ R(x) = |R(x) ÷ T(x) = |
|T(x) ÷ R(x) = |U(x) ÷ P(x) = | S(x) ÷ Q(x) = |
|U(x) ÷ R(x) = |S(x) ÷ T(x) = |P(x) ÷ U(x) = |

Regla de Ruffini

Hemos desarrollado el método para efectuar la división entre dos polinomios. Ahora veremos un procedimiento practico mediante el cual podemos dividir dos polinomios, cuando el divisor es un polinomio mónico ( coeficiente principal igual a 1 ) y de grado 1.
Veamos el siguiente ejemplo: ( 3x3 – 2 + 3x5 ) ÷ ( x – 2)
Analizaremos el procedimiento paso por paso:
|Ordenamos y completamos el polinomio dividendo |3x5 + 0x4 + 3x3 + 0x2 + 0x – 2 |
|Disponemos los coeficientes del dividendo de acuerdo al siguiente | 3 0 3 0 0 – 2 → Coef. del dividendo |
|algoritmo |2 → Término indep. del divisor, cambiado de signo |
|
|Bajamos el primer coeficiente en forma directa, el cual pasa a ser el | 3 0 3 0 0 – 2 |
|coeficiente del primer término del resultado |2 |
3 |
|Al primer coeficiente que habíamos bajado lo multiplicamos por el término | 3 0 3 0 0 – 2 |
|independiente del divisor; al resultado de dicho producto lo encolumnamos |2 6|
|debajo del segundo coeficiente |3 |
|Sumamos los coeficientes encolumnados; el resultado de dicha suma pasa a | 3 0 3 0 0 – 2 |
|ser el coeficiente del segundo término del resultado |2 6 |
3 6 |
|Repetimos el procedimiento con los demas términos de la división; el | 3 0 3 0 0 – 2 |
|último término del resultado constituye el resto del cociente; con los |2 6 12 30 60 120 |
|demas términos escribimos el polinomio resultado |3 6 15 30 60 118 Resto |

Para escribir el polinomio resultado, recordamos la regla que dice que el grado de un cociente es igual a la diferencia entre el grado del dividendo y el grado del divisor; en nuestro caso, el dividendo es un polinomio de grado 5, y el divisor es un polinomio de grado 1, por lo cual, el cociente es un polinomio de grado 4. Teniendo en cuenta éstas consideraciones, procedemos a escribir el polinomio resultado
3x4 + 6x3 + 15x2 + 30x + 60 - Resto = 118
Como vemos, éste es un procedimiento mas sencillo que el anterior, pero sólo puede ser aplicado para polinomios mónicos de grado 1.

Teorema del Resto
Hemos visto cómo calcular la división de polinomios cuando el divisor es un polinomio del tipo ( x – a ), es decir, un polinomio mónico de grado 1. Pero puede ocurrir que, en una división de polinomios, sólo sea necesario conocer el resto; esto se puede efectuar a través del teorema del resto, aplicando el procedimiento siguiente:
Supongamos una división de polinomios, en la cual intervienen los siguientes términos
D(x) → Dividendo
( x – a ) → Divisor
C(x)→ Cociente ó resultado
R → Resto de la división
Si recordamos la expresión general de la división entera
Dividendo = Divisor . Cociente + Resto
Reemplazando cada término C(x) = (x – a) . D(x) + R ( 1 )
D(x) = (x – a) . C(x) + R ( 1 )
Ésta igualdad se cumple para cualquier valor que tome la indeterminada x; supongamos reemplazar x por a, que es el valor del término independiente del divisor, cambiado de signo, con lo cual la expresión ( 1 ) queda de la siguiente manera
D(a) = ( a – a ) . C(a) + R (2)
En el 2do miembro de la igualdad, ( a – a ) = 0
Reemplazando en la expresión (2) , nos queda D(a) = 0 . C(a) + R (3)
Todo valor multiplicado por cero es igual a cero, por lo cual 0 . C(a) = 0
Reemplazando en la expresión (3) , nos queda D(a) = 0 + R
O, lo que es lo mismo D(a) = R
Expresando en castellano el desarrollo anterior, podemos decir lo siguiente :
Cuando tenemos un cociente de polinomios donde el divisor es un polinomio mónico de grado 1, podemos conocer el resto de dicho cociente reemplazando en el polinomio dividendo el valor de la indeterminada x por el término independiente del dividendo, cambiado de signo.
Calcularemos el resto en el siguiente ejemplo : (– 3x2 + 1/8x3 + 7 + 5/2x ) ÷ ( x – 2 )
El término independiente del divisor es – 2, si lo cambiamos de signo nos queda 2
Reemplazando x por 2 en el polinomio dividendo, nos queda
– 3 . 22 + 1/8 . 23 + 7 + 5/2 . 2 =
= – 3 . 4 + 1/8 . 8 + 7 + 5/2 . 2 =
= – 12 + 1 + 7 + 5 =
= 1 → Resto del cociente
Ejercitación Dados los polinomios, calcular los siguientes cocientes aplicando la Regla de Ruffini; verificar mediante el Teorema del Resto
Polinomios
|A(x) = 2x3 – 3 + 0,4x –3/2x4 |B(x) = 5/8 + 0,25x3 – 3x5 + 2x |C(x) = –2x4 + 3/5x + 0,5 – 3x2 |
|D(x) = x3 – 4/5 + 8,75x | E(x) = 2x5 – 0,3x2 + 1/5x4 | F(x) = 7x5 – 2/9 + 0,2x3 |
|G(x) = 2/7x + 0,6x4 – 3 | H(x) = 3/5x + 2 – 0,8x5 | I(x) = 3x – 0,8x5 + 5 + 1/4x2 |

Cocientes
|A(x) ÷ ( x – 2) |B(x) ÷ ( x + 2) |C(x) ÷ ( x – 3) |
|D(x) ÷ ( x + 3) |E(x) ÷ ( x – 4) |F(x) ÷ ( x + 4) |
| G(x) ÷ ( x – 1/ 2) | H(x) ÷ ( x + 1/ 2) | I(x) ÷ ( x – 0,25) |

Raíces de polinomios
Supongamos que al polinomio P(x) = 4 –2x3 + 3 + 1/3x2 lo evaluamos para un valor x =3
Evaluar un polinomio consiste en reemplazar la indeterminada (x) por el valor indicado (3), por lo cual el polinomio se expresa como P(3)
P(x) = 4 –2x3 + 3 + 1/3x2
P(3) = 4 – 2 . 33 + 3 + 1/3 . 32
P(3) = 4 – 2 . 27 + 3 + 1/3 . 9
P(3) = 4 – 54 + 3 + 3
P(3) = – 44
De acuerdo a éste procedimiento, decimos que el valor del polinomio, evaluado para x = 3, es igual a –44.
Veamos que pasa cuando al polinomio Q(x) = 8x2 + 8 – 2x3 + 3x lo evaluamos para un valor x = 4
Q(x) = 8x2 + 8 – 2x3 + 3x
Q(4) = 8 . 42 + 8 – 2 . 43 + 3 . 4
Q(4) = 8 . 16 + 8 – 2 . 64 + 12
Q(4) = 108 + 8 – 128 + 12
Q(4) = 0 → El polinomio se anula
En éste caso, el polinomio se anula cuando es evaluado en x = 4


|Cuando evaluamos un polinomio, y éste se anula para un valor determinado, dicho valor es una raíz del |
|polinomio |