INTRODUCCIÓN
Todo objeto en el universo que posea masa ejerce una atracción gravitatoria
sobre cualquier otro objeto con masa, aún si están separados por una gran
distancia. Según explica esta ley, cuanta más masa posean los objetos, mayor
será la fuerza de atracción, y además, cuanto más cerca se encuentren entre sí,
mayor será esa fuerza también, según una ley de la inversa del cuadrado.
Considerando dos cuerpos de tamaño pequeño comparado con la distancia que los
separa, se puede expresar lo anterior en una ecuación o ley diciendo que «la
fuerza que ejerce un objeto con masa m1 sobre otro con masa m2 es directamente
proporcional al producto de ambas masas, e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que los separa
La gravedad se extiende por todo el universo, según Isaac Newton, que obtuvo
esta idea cuando estaba sentado bajo un manzano. Newton entendía el concepto de inercia de
Galileo, sabía que en ausencia de fuerzas externas los objetos se conservan en
movimiento o en línea recta con rapidez constante. También sabía que todo
cambio en la rapidez o dirección de un objeto se debe
a la acción de una fuerza.
Newton había estado reflexionando acerca del hecho de que la Luna no describe
una trayectoria recta , sino, gira alrededor de la Tierra y también que , un
movimiento circular es un movimiento acelerado, lo que implica la presencia de
una fuerza ; esta fuerza sedesconocía .
Newton tubo la perspicacia de comprender que la fuerza que actúa entre la
Tierra y la Luna es la misma fuerza que tira de todas la manzanas y de todas
las cosas a la que llamó fuerza de gravedad.
CONSTANTE DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
La constante de gravitación universal fue medida por primera vez por Henry
Cavendish en 1798. La medida de 'G' ha sido repetida por otros
experimentadores con diversas mejoras y refinamientos. Todas
las medidas de 'G' son difíciles a causa de la extremada pequeñez de
la atracción gravitatoria. Por ello, el valor de
'G' se conoce hoy sólo con una precisión de 1 parte en 10000. Aunque 'G' fue una de las primeras constantes físicas
universales determinadas, sigue siendo una de las conocidas menor exactitud.
Esta constante determina la intensidad de la fuerza de
atracción gravitatoria entre los cuerpos. Se denota por G y aparece
tanto en la Ley de gravitación universal de Newton
como
en la Teoría general de la relatividad de Einstein. También
se puede decir que es una ley que se encarga de tratar las masas de los cuerpos
en el universo y su fuerza.
LEY GRAVITACIONAL DE
NEWTON
La constante de la gravitación que aparece en la teoría newtoniana de
la gravitación puede calcularse midiendo la fuerza de atracción entre
dos objetos de un kilogramo cada uno separados por un metro de distancia.
Newton formuló la siguiente ley, conocida como
ley de laGravitación Universal:
'La interacción gravitatoria entre dos cuerpos puede expresarse mediante
una fuerza directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.'
La cual puede ser expresada vectorialmente de la forma
Donde G es la constante de gravitación universal cuyo valor es:
Sólo se sabe con certeza que son correctas las tres primeras cifras decimales:
se trata de una de las constantes físicas que han sido determinadas con menor
precisión. Esto ocasiona dificultades a la hora de medir con precisión la masa
de los diferentes cuerpos del
Sistema Solar, como
el Sol o la Tierra.
MASA INERCIAL
La masa inercial para la física clásica viene determinada por la Segunda y
Tercera Ley de Newton. Dados dos cuerpos, A y B, con masas inerciales mA
(conocida) y mB (que se desea determinar), en la hipótesis dice que las masas
son constantes y que ambos cuerpos están aislados de otras influencias físicas,
de forma que la única fuerza presente sobre A es la que ejerce B, denominada
FAB, y la única fuerza presente sobre B es la que ejerce A, denominada FBA, de
acuerdo con la Segunda Ley de Newton:
Donde aA y aB son las aceleraciones de A y B, respectivamente. Es necesario que
estas aceleraciones no sean nulas, es decir, que las
fuerzas entre los dos objetos no sean iguales a cero. Una forma de lograrlo es,por ejemplo, hacer colisionar los dos cuerpos y efectuar
las mediciones durante el choque.
La Tercera Ley de Newton afirma que las dos fuerzas son iguales y opuestas
Sustituyendo en las ecuaciones anteriores, se obtiene la masa de B como
Así, el medir aA y aB permite determinar mB en relación con mA, que era lo
buscado. El requisito de que aB sea distinto de cero hace que
esta ecuación quede bien definida.
En el razonamiento anterior se ha supuesto que las masas de A
y B son constantes. Se trata de una suposición fundamental, conocida como
la conservación de la masa, y se basa en la hipótesis de que la materia no
puede ser creada ni destruida, sólo transformada (dividida o recombinada). Sin
embargo, a veces es útil considerar la variación de la masa del cuerpo en el
tiempo; por ejemplo, la masa de un cohete decrece durante su lanzamiento. Esta
aproximación se hace ignorando la materia que entra y sale del sistema. En el
caso del cohete, esta
materia se corresponde con el combustible que es expulsado; la masa conjunta del cohete y del
combustible es constante.
MASA GRAVITACIONAL
Considérense dos cuerpos A y B con masas gravitacionales MA y MB, separados por
una distancia |r AB|. La Ley de la Gravitación de Newton dice que la magnitud
de la fuerza gravitatoria que cada cuerpo ejerce sobre el otro es
Donde G es la constante de gravitación universal. La sentencia anteriorse puede
reformular de la siguiente manera: dada la aceleración g de una masa de
referencia en un campo gravitacional (como el campo gravitatorio de la Tierra), la
fuerza de la gravedad en un objeto con masa gravitacional M es de la magnitud
.
Esta es la base según la cual las masas se determinan en las balanzas. En las
balanzas de baño, por ejemplo, la fuerza |F| es proporcional al desplazamiento del
muelle debajo de la plataforma de pesado (véase Ley de Hooke), y la escala está
calibrada para tener en cuenta g de forma que se pueda leer la masa M.
MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATÉLITES
VELOCIDAD ORBITAL DE UN SATÉLITE
Supongamos que hay una partícula de masa m con trayectoria alrededor de la
tierra circular de radio r.
Suponemos que la Tierra está quieta, m lleva velocidad v y no gasta
combustible.
Fc = m.ac = m.v²/r
OJO: La ac no depende de la masa, otro cuerpo de masa m` tendría la misma.
Todas las masas en la misma órbita tienen la misma velocidad
lineal.
La fuerza gravitatoria de atracción de la Tierra es F = G.MT.m/r².
Es la misma fuerza vista desde dos puntos de vista distintos.
G.MT.m/r² = m.v²/r
v² = G.MT/r
y por tanto
ENERGÍA TOTAL
Se llama energía total a la que tiene una masa o satélite que órbita alrededor
de la tierra.
Es la suma de la Ec y de la Ep
Ep = -G.MT.m/r
Ec = (1/2).m.v² = (1/2).m.G.MT/r = G.MT.m/2.r
La energía total es la suma delas dos energías:
ET = (G.MT.m/r).(-1 + 1/2) = -G.MT.m/2.r
Esta es la energía necesaria para que un satélite esté en órbita.
Es negativa e igual a la mitad del valor de la energía potencial.
El signo menos corresponde a orbitas cerradas de
objetos que no tienen energía suficiente para escapar de la atracción
terrestre.
Cuando un satélite cambia de órbita en ausencia de
fuerzas exteriores su Energía mecánica se conserva.
EcA + EpA = EcB + EpB
Entonces si lanzamos el satélite desde la superficie de la tierra ya tiene una
cierta energía potencial
Eco + Epo = Ecf + Epf
Eco - G.MT.m/RT = -G.MT.m/2.r
y por tanto
Eco = -G.MT.m/2.r + G.MT.m/RT
Eco = G.MT.m 1/RT - 1/2.r)
Esto se conoce como
energía de satelización.
Si queremos calcular la velocidad inicial necesaria para llegar a esa órbita
(1/2).m.v0² = G.MT.m.(1/RT - 1/2.r)
y por tanto
VELOCIDAD DE ESCAPE
Es la velocidad que hay que comunicar a un cuerpo de masa m situado sobre la
superficie del planeta para que pueda escapar del campo gravitatorio e irse al ∞.
En el ∞ la EM= 0 ya que hemos dicho que la Ep= 0 y la velocidad con la
que llega es 0, por tanto Ec + Ep = 0.
Por tanto:
(1/2).m.v0² - G.MT.m./RT = 0
(1/2).m.v0² = G.MT.m./RT
v0² = 2.G.MT./RT
Se puede escribir:
go = G.MT/RT²
®
SATÉLITES GEOESTACIONARIOS
Un satélite se llama geoestacionario cuando se encuentra siempre sobre el mismo
punto de la superficieterrestre, es decir, recorre toda su orbita en el tiempo
que la tierra hace una rotación completa (24 h)
Aplicando la 3s ley de Kepler:
Si sustituimos los datos:
T = 24 h = 86400 s
G = 6,67 · 10-11 Nm²/kg² el valor de r = 4,2 · 107 m
MT= 5,97 · 1024 kg
También puede calcularse r igualando la Fc a la fuerza de Newton m.ω².r =
G.M.m/r² y despejar r
Como RT = 6370 · 10³ m ® h = r – RT = 35863. Altura de la órbita.
Son órbitas de altitudes elevadas y no obtienen imágenes de alta
resolución de la Tierra. Son órbitas ecuatoriales y se usan
para aplicaciones meteorológicas y de comunicaciones. Las
órbitas de baja altitud (600 a 1200 km) se llaman heliosincronas (orientación
fija respecto al Sol). Se usan para observación de la
Tierra.
EL CAMPO GRAVITACIONAL
En la teoría de la relatividad general el campo gravitatorio no se describe como
un campo de fuerzas, sino que las trayectorias curvas que los cuerpos siguen en
el espacio tridimensional, son sólo un reflejo de que el espacio-tiempo es
curvo. De acuerdo con la teoría de la relatividad general, una partícula
puntual en un campo gravitatorio está siguiendo una
línea de mínima curvatura, llamada geodésica, sobre un espacio-tiempo curvo.
Por tanto, la curvatura de las trayectorias tridimensionales se debe a que la línea más recta posible en el
espacio-tiempo de cuatro dimensiones no se proyecta como una recta, vista desde el
espaciotridimensional.
El campo gravitatorio se interpreta en relatividad como la curvatura del
espacio-tiempo que, en presencia de materia, deja de ser plano. Allí donde el espacio-tiempo no es plano, se percibe ese hecho como campo gravitatorio local, y viceversa, allí donde se
percibe campo gravitatorio se tiene una geometría curva del espacio-tiempo. Así, la teoría
relativista de Einstein del campo gravitatorio es una teoría de la estructura
geométrica local del
espacio-tiempo. En esta teoría el tensor de curvatura de Ricci está asociado al
tensor de energía-momento de la materia
Donde:
Son las componentes del tensor
de curvatura de Ricci.
Son las componentes del tensor métrico que
permite medir distancias en el espacio-tiempo curvo.
Es el escalar de curvatura de Ricci.
Son las componentes del Tensor de
energía-impulso de la materia que crea el campo.
* Son la constante de la gravitación universal y la velocidad de
la luz.
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL
El ejemplo mas cotidiano de energía potencial es la
energía potencial gravitacional.
Se define la energía potencial (EP) gravitacional de un objeto de masa m que se
encuentra a una altura y de algún nivel de referencia como
EPG = mgy
g es la aceleración de gravedad
Esta definición es totalmente compatible con la definición de trabajo por
cuanto el trabajo necesario para elevar la masa m desde el nivel de
referenciahasta la altura y es Fy = Peso•y = mgy. El objeto
ha acumulado una energía mgy.
Si dejamos que el objeto de masa m caiga libremente bajo la acción de la
gravedad sobre una estaca que sobresale del suelo, efectuará un trabajo
sobre la estaca igual a la energía cinética que adquiera llegando a ella.
Esta energía cinética puede calcularse mediante la ecuación cinemática vf2 =
vi2 + 2gy. Como
vi = 0,
vf2 = 2gy. La energía cinética justo antes de golpear la estaca es ½mvf2.
Reemplazando vf2 por 2gy se obtiene ½ m•2gy = mgy.
O sea, para elevar un objeto de masa m a una altura y
se necesita una cantidad de trabajo igual a mgy y una vez en la altura y, el
objeto tiene la capacidad de efectuar trabajo igual a mgy.
Notemos que la EPG depende de la altura vertical del objeto sobre
algún nivel de referencia, en el caso de este ejemplo, el suelo.
El trabajo necesario para elevar un objeto a una
altura y no depende de la trayectoria que se siga. O sea, la trayectoria puede
ser vertical o en pendiente u otra y el trabajo para subirlo será el mismo. Igualmente, el trabajo que puede efectuar al descender tampoco
depende de la trayectoria.
sDesde qué nivel medir la altura y? Lo que realmente
importa es el cambio en energía potencial y escogemos un
nivel de referencia que sea cómodo para resolver determinado problema. Una vez
escogido el nivel, debemos mantenerlo en todo el problema.CONSIDERACIONES
CUALITATIVAS ENERGÉTICAS
Escribamos la energía total, otra constante de movimiento, E = T + V, pero
aprovechando la constancia de pθ, expresamos la velocidad angular en T, en
términos de esta constante del movimiento, resultando
E = 1/2 m. r2 + pθ2 /2mr2 + V(r).
Consideremos ahora toda la dependencia en r como un potencial eficaz Vef
, Vef = V(r) + pθ2 /2mr2
Bajo cuya acción evoluciona la coordenada r (distancia al origen), y apliquemos
las consideraciones cualitativas hechas en la sección respecto de
movimientos unidimensionales conservativos. [Notar que el movimiento que se
analiza aquí es bidimensional, no obstante, la conservación del momento angular
nos permite escribir una ecuación de conservación de la energía en términos de
la única variable r (distancia al centro de fuerzas) que permite, entonces,
aplicar lo conocido para una dimensión].
Para ejemplificar, supongamos a V(r) = -K/r, que corresponde al caso
gravitatorio, con K= G.M.m, donde G es constante gravitatoria universal, M,
masa del sol, m masa del planeta (suponemos
m<<M). El potencial eficaz es, entonces
Vef = -K/r + pθ2 /2mr2
La forma es general, independiente del valor de las constantes y se debe a que
la hipérbola positiva crece más rápidamente (Como 1/r2) cuando r tiende a 0 que
la negativa (que va como 1/r), mientras que cuando r tiende a oo dominará el
término negativo en sucomportamiento asintótico al 0.
Así, con energía total positiva, el movimiento es limitado a distancias
superiores a un r mínimo allí donde Vef=E, y con
energías negativas pero superiores al mínimo de Vef, el movimiento está
limitado entre dos rs, rmin y rMax. Esto se traduce en que la trayectoria
está limitada entre dos circunferencias que tienen a dichos valores por radios,
donde se muestra una trayectoria permitida por estas consideraciones
semicuantitativas.
CONCLUSIÓN
A pesar de ser tan obvio en este momento el concepto
de gravedad, se debe tener en cuenta que pasaron muchos años para que Newton, se hiciera la gran pregunta, sporque se caen las cosa?
Nuestros antepasados, pudieron haber contestado que
era por no tener apoyo. Pero Newton se encargo de definir a
partir de teorías y ecuaciones cual era realmente la respuesta, adecuada.
Al someter a una sola ley matemática los fenómenos físicos más importantes del universo observable, Newton demostró que la
física terrestre y la física celeste son una misma cosa. El concepto de
gravitación lograba de un solo golpe:
* Revelar el significado físico de las tres leyes de Kepler sobre el movimiento
planetario.
* Resolver el intrincado problema del origen de las
mareas
* Dar cuenta de la curiosa e inexplicable observación de Galileo Galilei de que
el movimiento de un objeto en caída libre es independiente de su peso.
