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Constante de gravitaciÓn universal, movimiento de planetas y satÉlites, velocidad orbital de un satÉlite, satÉlites geoestacionarios, energÍa potencial gravitacional



INTRODUCCIÓN

Todo objeto en el universo que posea masa ejerce una atracción gravitatoria sobre cualquier otro objeto con masa, aún si están separados por una gran distancia.
Según explica esta ley, cuanta más masa posean los objetos, mayor será la fuerza de atracción, y además, cuanto más cerca se encuentren entre sí, mayor será esa fuerza también, según una ley de la inversa del cuadrado.
Considerando dos cuerpos de tamaño pequeño comparado con la distancia que los separa, se puede expresar lo anterior en una ecuación o ley diciendo que «la fuerza que ejerce un objeto con masa m1 sobre otro con masa m2 es directamente proporcional al producto de ambas masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa

La gravedad se extiende por todo el universo, según Isaac Newton, que obtuvo esta idea cuando estaba sentado bajo un manzano. Newton entendía el concepto de inercia de Galileo, sabía que en ausencia de fuerzas externas los objetos se conservan en movimiento o en línea recta con rapidez constante. También sabía que todo cambio en la rapidez o dirección de un objeto se debe a la acción de una fuerza.



Newton había estado reflexionando acerca del hecho de que la Luna no describe una trayectoria recta , sino, gira alrededor de la Tierra y también que , un movimiento circular es un movimiento acelerado, lo que implica la presencia de una fuerza ; esta fuerza sedesconocía .

Newton tubo la perspicacia de comprender que la fuerza que actúa entre la Tierra y la Luna es la misma fuerza que tira de todas la manzanas y de todas las cosas a la que llamó fuerza de gravedad.

CONSTANTE DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

La constante de gravitación universal fue medida por primera vez por Henry Cavendish en 1798.
La medida de 'G' ha sido repetida por otros experimentadores con diversas mejoras y refinamientos. Todas las medidas de 'G' son difíciles a causa de la extremada pequeñez de la atracción gravitatoria. Por ello, el valor de 'G' se conoce hoy sólo con una precisión de 1 parte en 10000. Aunque 'G' fue una de las primeras constantes físicas universales determinadas, sigue siendo una de las conocidas menor exactitud. Esta constante determina la intensidad de la fuerza de atracción gravitatoria entre los cuerpos. Se denota por G y aparece tanto en la Ley de gravitación universal de Newton como en la Teoría general de la relatividad de Einstein. También se puede decir que es una ley que se encarga de tratar las masas de los cuerpos en el universo y su fuerza.


LEY GRAVITACIONAL DE NEWTON

La constante de la gravitación que aparece en la teoría newtoniana de la gravitación puede calcularse midiendo la fuerza de atracción entre dos objetos de un kilogramo cada uno separados por un metro de distancia.
Newton formuló la siguiente ley, conocida como ley de laGravitación Universal:
'La interacción gravitatoria entre dos cuerpos puede expresarse mediante una fuerza directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.'


La cual puede ser expresada vectorialmente de la forma

Donde G es la constante de gravitación universal cuyo valor es:

Sólo se sabe con certeza que son correctas las tres primeras cifras decimales: se trata de una de las constantes físicas que han sido determinadas con menor precisión. Esto ocasiona dificultades a la hora de medir con precisión la masa de los diferentes cuerpos del Sistema Solar, como el Sol o la Tierra.

MASA INERCIAL
La masa inercial para la física clásica viene determinada por la Segunda y Tercera Ley de Newton.
Dados dos cuerpos, A y B, con masas inerciales mA (conocida) y mB (que se desea determinar), en la hipótesis dice que las masas son constantes y que ambos cuerpos están aislados de otras influencias físicas, de forma que la única fuerza presente sobre A es la que ejerce B, denominada FAB, y la única fuerza presente sobre B es la que ejerce A, denominada FBA, de acuerdo con la Segunda Ley de Newton:

Donde aA y aB son las aceleraciones de A y B, respectivamente. Es necesario que estas aceleraciones no sean nulas, es decir, que las fuerzas entre los dos objetos no sean iguales a cero. Una forma de lograrlo es,por ejemplo, hacer colisionar los dos cuerpos y efectuar las mediciones durante el choque.
La Tercera Ley de Newton afirma que las dos fuerzas son iguales y opuestas
Sustituyendo en las ecuaciones anteriores, se obtiene la masa de B como

Así, el medir aA y aB permite determinar mB en relación con mA, que era lo buscado. El requisito de que aB sea distinto de cero hace que esta ecuación quede bien definida.
En el razonamiento anterior se ha supuesto que las masas de A y B son constantes. Se trata de una suposición fundamental, conocida como la conservación de la masa, y se basa en la hipótesis de que la materia no puede ser creada ni destruida, sólo transformada (dividida o recombinada). Sin embargo, a veces es útil considerar la variación de la masa del cuerpo en el tiempo; por ejemplo, la masa de un cohete decrece durante su lanzamiento. Esta aproximación se hace ignorando la materia que entra y sale del sistema. En el caso del cohete, esta materia se corresponde con el combustible que es expulsado; la masa conjunta del cohete y del combustible es constante.

MASA GRAVITACIONAL
Considérense dos cuerpos A y B con masas gravitacionales MA y MB, separados por una distancia |r AB|. La Ley de la Gravitación de Newton dice que la magnitud de la fuerza gravitatoria que cada cuerpo ejerce sobre el otro es


Donde G es la constante de gravitación universal. La sentencia anteriorse puede reformular de la siguiente manera: dada la aceleración g de una masa de referencia en un campo gravitacional (como el campo gravitatorio de la Tierra), la fuerza de la gravedad en un objeto con masa gravitacional M es de la magnitud

.
Esta es la base según la cual las masas se determinan en las balanzas. En las balanzas de baño, por ejemplo, la fuerza |F| es proporcional al desplazamiento del muelle debajo de la plataforma de pesado (véase Ley de Hooke), y la escala está calibrada para tener en cuenta g de forma que se pueda leer la masa M.






MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATÉLITES
VELOCIDAD ORBITAL DE UN SATÉLITE

Supongamos que hay una partícula de masa m con trayectoria alrededor de la tierra circular de radio r.
Suponemos que la Tierra está quieta, m lleva velocidad v y no gasta combustible.
Fc = m.ac = m.v²/r
OJO: La ac no depende de la masa, otro cuerpo de masa m` tendría la misma.
Todas las masas en la misma órbita tienen la misma velocidad lineal.
La fuerza gravitatoria de atracción de la Tierra es F = G.MT.m/r².
Es la misma fuerza vista desde dos puntos de vista distintos.
G.MT.m/r² = m.v²/r
v² = G.MT/r
y por tanto

ENERGÍA TOTAL

Se llama energía total a la que tiene una masa o satélite que órbita alrededor de la tierra.
Es la suma de la Ec y de la Ep
Ep = -G.MT.m/r
Ec = (1/2).m.v² = (1/2).m.G.MT/r = G.MT.m/2.r
La energía total es la suma delas dos energías:
ET = (G.MT.m/r).(-1 + 1/2) = -G.MT.m/2.r
Esta es la energía necesaria para que un satélite esté en órbita.
Es negativa e igual a la mitad del valor de la energía potencial. El signo menos corresponde a orbitas cerradas de objetos que no tienen energía suficiente para escapar de la atracción terrestre.
Cuando un satélite cambia de órbita en ausencia de fuerzas exteriores su Energía mecánica se conserva.
EcA + EpA = EcB + EpB
Entonces si lanzamos el satélite desde la superficie de la tierra ya tiene una cierta energía potencial
Eco + Epo = Ecf + Epf
Eco - G.MT.m/RT = -G.MT.m/2.r
y por tanto
Eco = -G.MT.m/2.r + G.MT.m/RT
Eco = G.MT.m 1/RT - 1/2.r)
Esto se conoce como energía de satelización.
Si queremos calcular la velocidad inicial necesaria para llegar a esa órbita
(1/2).m.v0² = G.MT.m.(1/RT - 1/2.r)
y por tanto

VELOCIDAD DE ESCAPE

Es la velocidad que hay que comunicar a un cuerpo de masa m situado sobre la superficie del planeta para que pueda escapar del campo gravitatorio e irse al ∞.
En el ∞ la EM= 0 ya que hemos dicho que la Ep= 0 y la velocidad con la que llega es 0, por tanto Ec + Ep = 0.
Por tanto:
(1/2).m.v0² - G.MT.m./RT = 0
(1/2).m.v0² = G.MT.m./RT
v0² = 2.G.MT./RT

Se puede escribir:
go = G.MT/RT²
 ® 

SATÉLITES GEOESTACIONARIOS

Un satélite se llama geoestacionario cuando se encuentra siempre sobre el mismo punto de la superficieterrestre, es decir, recorre toda su orbita en el tiempo que la tierra hace una rotación completa (24 h)
Aplicando la 3s ley de Kepler:

Si sustituimos los datos:
T = 24 h = 86400 s
G = 6,67 · 10-11 Nm²/kg² el valor de r = 4,2 · 107 m
MT= 5,97 · 1024 kg
También puede calcularse r igualando la Fc a la fuerza de Newton m.ω².r = G.M.m/r² y despejar r
Como RT = 6370 · 10³ m ® h = r – RT = 35863. Altura de la órbita.
Son órbitas de altitudes elevadas y no obtienen imágenes de alta resolución de la Tierra. Son órbitas ecuatoriales y se usan para aplicaciones meteorológicas y de comunicaciones. Las órbitas de baja altitud (600 a 1200 km) se llaman heliosincronas (orientación fija respecto al Sol). Se usan para observación de la Tierra.

EL CAMPO GRAVITACIONAL
En la teoría de la relatividad general el campo gravitatorio no se describe como un campo de fuerzas, sino que las trayectorias curvas que los cuerpos siguen en el espacio tridimensional, son sólo un reflejo de que el espacio-tiempo es curvo. De acuerdo con la teoría de la relatividad general, una partícula puntual en un campo gravitatorio está siguiendo una línea de mínima curvatura, llamada geodésica, sobre un espacio-tiempo curvo. Por tanto, la curvatura de las trayectorias tridimensionales se debe a que la línea más recta posible en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones no se proyecta como una recta, vista desde el espaciotridimensional.
El campo gravitatorio se interpreta en relatividad como la curvatura del espacio-tiempo que, en presencia de materia, deja de ser plano. Allí donde el espacio-tiempo no es plano, se percibe ese hecho como campo gravitatorio local, y viceversa, allí donde se percibe campo gravitatorio se tiene una geometría curva del espacio-tiempo. Así, la teoría relativista de Einstein del campo gravitatorio es una teoría de la estructura geométrica local del espacio-tiempo. En esta teoría el tensor de curvatura de Ricci está asociado al tensor de energía-momento de la materia

Donde:
 Son las componentes del tensor de curvatura de Ricci.
 Son las componentes del tensor métrico que permite medir distancias en el espacio-tiempo curvo.
 Es el escalar de curvatura de Ricci.
 Son las componentes del Tensor de energía-impulso de la materia que crea el campo.
* Son la constante de la gravitación universal y la velocidad de la luz.

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL

El ejemplo mas cotidiano de energía potencial es la energía potencial gravitacional.

Se define la energía potencial (EP) gravitacional de un objeto de masa m que se encuentra a una altura y de algún nivel de referencia como

EPG = mgy
g es la aceleración de gravedad

Esta definición es totalmente compatible con la definición de trabajo por cuanto el trabajo necesario para elevar la masa m desde el nivel de referenciahasta la altura y es Fy = Peso•y = mgy. El objeto ha acumulado una energía mgy.

Si dejamos que el objeto de masa m caiga libremente bajo la acción de la gravedad sobre una estaca que sobresale del suelo, efectuará un trabajo sobre la estaca igual a la energía cinética que adquiera llegando a ella.

Esta energía cinética puede calcularse mediante la ecuación cinemática vf2 = vi2 + 2gy. Como vi = 0,
vf2 = 2gy. La energía cinética justo antes de golpear la estaca es ½mvf2. Reemplazando vf2 por 2gy se obtiene ½ m•2gy = mgy.

O sea, para elevar un objeto de masa m a una altura y se necesita una cantidad de trabajo igual a mgy y una vez en la altura y, el objeto tiene la capacidad de efectuar trabajo igual a mgy.

Notemos que la EPG depende de la altura vertical del objeto sobre algún nivel de referencia, en el caso de este ejemplo, el suelo.

El trabajo necesario para elevar un objeto a una altura y no depende de la trayectoria que se siga. O sea, la trayectoria puede ser vertical o en pendiente u otra y el trabajo para subirlo será el mismo. Igualmente, el trabajo que puede efectuar al descender tampoco depende de la trayectoria.

sDesde qué nivel medir la altura y? Lo que realmente importa es el cambio en energía potencial y escogemos un nivel de referencia que sea cómodo para resolver determinado problema. Una vez escogido el nivel, debemos mantenerlo en todo el problema.CONSIDERACIONES CUALITATIVAS ENERGÉTICAS
Escribamos la energía total, otra constante de movimiento, E = T + V, pero aprovechando la constancia de pθ, expresamos la velocidad angular en T, en términos de esta constante del movimiento, resultando
E = 1/2 m. r2 + pθ2 /2mr2 + V(r).
Consideremos ahora toda la dependencia en r como un potencial eficaz Vef , Vef = V(r) + pθ2 /2mr2
Bajo cuya acción evoluciona la coordenada r (distancia al origen), y apliquemos las consideraciones cualitativas hechas en la sección respecto de movimientos unidimensionales conservativos. [Notar que el movimiento que se analiza aquí es bidimensional, no obstante, la conservación del momento angular nos permite escribir una ecuación de conservación de la energía en términos de la única variable r (distancia al centro de fuerzas) que permite, entonces, aplicar lo conocido para una dimensión].
Para ejemplificar, supongamos a V(r) = -K/r, que corresponde al caso gravitatorio, con K= G.M.m, donde G es constante gravitatoria universal, M, masa del sol, m masa del planeta (suponemos m<<M). El potencial eficaz es, entonces
Vef = -K/r + pθ2 /2mr2
La forma es general, independiente del valor de las constantes y se debe a que la hipérbola positiva crece más rápidamente (Como 1/r2) cuando r tiende a 0 que la negativa (que va como 1/r), mientras que cuando r tiende a oo dominará el término negativo en sucomportamiento asintótico al 0.
Así, con energía total positiva, el movimiento es limitado a distancias superiores a un r mínimo allí donde Vef=E, y con energías negativas pero superiores al mínimo de Vef, el movimiento está limitado entre dos rs, rmin y rMax. Esto se traduce en que la trayectoria está limitada entre dos circunferencias que tienen a dichos valores por radios, donde se muestra una trayectoria permitida por estas consideraciones semicuantitativas.


CONCLUSIÓN

A pesar de ser tan obvio en este momento el concepto de gravedad, se debe tener en cuenta que pasaron muchos años para que Newton, se hiciera la gran pregunta, sporque se caen las cosa?
Nuestros antepasados, pudieron haber contestado que era por no tener apoyo. Pero Newton se encargo de definir a partir de teorías y ecuaciones cual era realmente la respuesta, adecuada.
Al someter a una sola ley matemática los fenómenos físicos más importantes del universo observable, Newton demostró que la física terrestre y la física celeste son una misma cosa. El concepto de gravitación lograba de un solo golpe:
* Revelar el significado físico de las tres leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.
* Resolver el intrincado problema del origen de las mareas
* Dar cuenta de la curiosa e inexplicable observación de Galileo Galilei de que el movimiento de un objeto en caída libre es independiente de su peso.





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