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Arquitectura - curso de análisis estructural




1.1 CONCEPTO DE ESTRUCTURA EN INGENIERÍA MECÁNICA
Una estructura es, para un ingeniero, cualquier tipo de construcción formada por uno o varios elementos enlazados entre sí que están destinados a soportar la acción de una serie de fuerzas aplicadas sobre ellos. Esta definición es quizás excesivamente simplista, ya que al emplear los términos “elementos enlazados entre sí”, se induce a pensar en estructuras formadas por componentes discretos, por lo que sólo puede servir como una primera definición. La realidad es que las estructuras con componentes discretos son muy frecuentes en la práctica por lo que su estudio resulta del máximo interés. Además lo habitual es que los elementos sean lineales, del tipo pieza prismática, conocidos como vigas o barras, y cuyo comportamiento estructural individual es relativamente fácil de estudiar, como se hace en Resistencia de Materiales. Con la definición anterior serían ejemplos de estructuras una viga, un puente metálico, una torre de conducción de energía, la estructura de un edificio, un eje La definición anterior puede generalizarse diciendo que una estructura es cualquier dominio u extensión de un medio material sólido, que está destinado a soportar alguna acción mecánica aplicada sobre él. Esta definición amplía el concepto de estructura a sistemas continuos donde no se identifican elementos estructurales discretos, como por ejemplo: la carrocería de un automóvil, la bancada de una máquinaherramienta, un depósito de agua, un ala de avión, una presa de hormigón, que no estaban incluidas en la idea inicial. De esta manera se introduce en realidad el estudio de problemas de mecánica de sólidos en medios continuos, que requieren del empleo de métodos sofisticados de análisis. Por esta razón este texto se limita al estudio de estructuras formadas por elementos discretos, de directriz habitualmente recta y en algunos casos curva.



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En las definiciones anteriores se dice que actúan sobre la estructura unas cargas, que normalmente son de tipo mecánico, es decir fuerzas o pares. También se considera la posibilidad de otros efectos, como: variaciones en la temperatura del material de la estructura, movimientos conocidos de los apoyos, errores en la longitud y forma de los elementos, esfuerzos de pretensión durante el montaje, etc. Todos estos efectos dan lugar a unas cargas mecánicas equivalentes, por lo que resulta fácil considerarlos. Respecto a la forma en que la estructura debe soportar las cargas no es fácil poner un límite claro. Quizás lo más general sea decir que la estructura debe tener un estado de tensiones y deformaciones tal que no se produzca un fracaso estructural que lleve a la destrucción de la misma, en ninguno de los estados de carga posibles. Por debajo de este amplio límite se imponen limitaciones más estrictas en función del tipo de estructura y de su aplicación concreta. La limitación que siempre se impone es la del valor máximo delas tensiones que aparecen en el material, en cualquier punto de la estructura, a fin de evitar su rotura. Este es el caso de edificios, naves industriales, bastidores de vehículos y maquinaria, tuberías, etc. Además de la limitación en las tensiones, es también muy habitual imponer un límite a las deformaciones de la estructura, bien por motivos funcionales (p.e. bastidores de máquinas), estéticos, o de resistencia de los elementos que apoyen sobre la estructura (tabiques de edificios de viviendas). En estructuras sofisticadas las tensiones alcanzadas pueden ser muy grandes, llegando a sobrepasar el límite elástico, y permitiéndose incluso la existencia de alguna grieta, cuyo tamaño máximo es entonces el límite para el buen funcionamiento estructural, siempre bajo severas condiciones de control (esto ocurre por ejemplo en tecnología nuclear). En otros casos más complejos la idoneidad de la estructura viene controlada por la ausencia de inestabilidades en la misma (pandeo), o incluso porque su respuesta dinámica sea la adecuada (por ejemplo en brazos de manipuladores, antenas, …). El problema que trata de resolver el Análisis Estructural es la determinación del estado de deformaciones y tensiones que se producen en el interior de la estructura, a consecuencia de todas las acciones actuantes sobre ella. Como consecuencia también se determinan las reacciones que aparecen en la sustentación de la estructura. Una vez conocidas las tensiones y deformaciones, el decidir si éstas son admisibles y si laestructura está en buen estado de funcionamiento, es objeto de otras materias específicas como el diseño de estructuras metálicas o de hormigón armado, la construcción de máquinas, etc, y a veces la propia experiencia y sentido común del analista. Como primeras reseñas históricas sobre Análisis Estructural se debe citar a Leonardo da Vinci y a Galileo1, que fue el primero en estudiar el fallo de una viga en voladizo. Posteriormente han sido muy numerosos los autores que han colaborado al desarrollo del estudio de las estructuras. Una excelente revisión de la contribución de todos ellos ha sido publicada por Timoshenko en 1953. Asimismo una revisión bibliográfica muy detallada



Galileo Galilei, “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno à due nuove science”, 1638.
Traducción al inglés: The Macmillan Company, New York, 1933.

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sobre los fundamentos teóricos del Análisis Estructural ha sido publicada por Oravas y McLean, en 1966. La concepción de una estructura, por parte del ingeniero, se desglosa en tres fases: fase de planteamiento, fase de diseño y fase de construcción. En la fase de diseño, que es la que interesa para el análisis estructural, se pueden distinguir a su vez las siguientes etapas: Determinación de la forma y dimensiones generales: se eligen el tipo de estructura y la geometría de la misma, de acuerdo con su funcionalidad y la normativa aplicable. Se determinan asimismo los materiales principales a utilizar. Determinación de lascargas: se determinan las fuerzas exteriores que actúan sobre la estructura, así como todos aquellos efectos que puedan afectar a su comportamiento (errores de forma, movimientos de los apoyos, …). Análisis. Consiste en determinar los esfuerzos internos y las deformaciones que se originan en la estructura como consecuencia de las cargas actuantes. Para efectuar el análisis de una estructura es necesario proceder primero a su idealización, es decir a asimilarla a un modelo cuyo cálculo sea posible efectuar. Esta idealización se hace básicamente introduciendo algunas suposiciones sobre el comportamiento de los elementos que forman la estructura, sobre la forma en que éstos están unidos entre sí, y sobre la forma en que se sustenta. Una vez idealizada la estructura se procede a su análisis, calculando las deformaciones y esfuerzos que aparecen en ella, y utilizando para ello las técnicas propias del Análisis Estructural. Para este análisis siempre se dispone, como datos de partida, de los valores de las acciones exteriores y las dimensiones de la estructura, determinadas en las fases anteriores. Salvo en casos muy simples, para el análisis de la estructura es necesario conocer las dimensiones transversales de los elementos que la componen, pero ocurre que estas dimensiones están básicamente determinadas por los esfuerzos internos que aparecen sobre ellos, y que en principio son desconocidos. Por esta razón el análisis de una estructura suele ser en general iterativo, hasta lograr unos esfuerzos internosy unas deformaciones que sean adecuados a las dimensiones transversales de los elementos. Para comenzar este proceso iterativo de análisis se deben imponer unos valores para las dimensiones transversales de los elementos, basándose en la experiencia, o en un predimensionamiento, que normalmente se basa en hipótesis simplificativas. Diseño de detalles. Son propios de la tecnología usada en la construcción de la estructura: nudos de unión, aparatos de apoyo, armaduras de hormigón, etc. El análisis de estructuras no interviene en esta fase.

1.2 DEFINICIONES GENERALES
Para que el análisis de una estructura sea correcto es necesario que la idealización que de ella se haga se acerque lo más posible a su comportamiento real. Para efectuar esta idealización existen diversos aspectos a tener en cuenta, como son: • Disposición espacial de la estructura: puede ser en una, dos o tres dimensiones.


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De entre todos estos aspectos, en este texto se estudian estructuras de las siguientes características: estructuras formadas por elementos discretos, sometidas a cargas no variables con el tiempo, es decir en régimen estático, con uniones entre los elementos rígidas, articuladas o flexibles, extendidas en una, dos o tres dimensiones, formadas por un material con comportamiento elástico lineal, y con pequeñas deformaciones.

1.3 CLASIFICACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS
Efectuar una clasificación detallada de las estructuras no es tarea fácil, pues depende de la tecnología y materiales usados para su construcción y del uso que se da a la estructura. Por esta razón sólo se incluyen aquí los tipos más usuales de estructuras, atendiendo a sus diferencias desde el punto de vista de su análisis, pero no desde el punto de vista de su funcionalidad. Ya las primeras definiciones del concepto de estructura orientan a considerar dos grandes tipos de ellas: con elementos discretos o con elementos continuos. Ambos tipos se detallan a continuación. 1.3.1Estructuras con elementos discretos

En estas estructuras se identifican claramente los elementos que la forman. Estos elementos se caracterizan por tener: ◊ una dimensión longitudinal mucho mayor que las otras dos,


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◊ el material agrupado alrededor de la línea directriz del elemento, que normalmente es recta. Estos elementos son por lo tanto piezas prismáticas y se denominan habitualmente vigas o barras. Los puntos de unión de unos elementos con otros se llaman nudos y cada elemento siempre tiene dos nudos extremos. Con esto la estructura se asemeja a una retícula formada por los distintos elementos unidos en los nudos. De hecho a estas estructuras se les denomina habitualmente reticulares. La unión de unos elementos con otros en los nudos puede hacerse de distintas formas, siendo las más importantes: ◊ unión rígida o empotramiento, que impone desplazamientos y giros comunes al elemento y al nudo, de tal manera que entre ellos se transmiten fuerzas y momentos, ◊ articulación, que permite giros distintos del elemento y del nudo, y en la que no se transmite momento en la dirección de la articulación, ◊ unión flexible, en la que los giros del elemento y el nudo son diferentes, pero se transmite un momento entre ambos elementos. Los tipos más importantes de estructuras reticulares son: • Cerchas o celosías. Están formadas por elementos articulados entre sí, y con cargas actuantes únicamente en los nudos. Los elementos trabajan a esfuerzo axial, y no hayflexión ni cortadura. Por su disposición espacial pueden ser planas o tridimensionales. • Vigas. Están formadas por elementos lineales unidos rígidamente entre sí, y que pueden absorber esfuerzos de flexión y cortadura, sin torsión. También pueden absorber esfuerzo axial, pero éste está desacoplado de los esfuerzos de flexión y cortadura, en la hipótesis de pequeñas deformaciones. • Pórticos planos. Son estructuras compuestas por elementos prismáticos, unidos rígidamente entre sí, y dispuestos formando una retícula plana, con las fuerzas actuantes situadas en su plano. Estas estructuras se deforman dentro de su plano y sus elementos trabajan a flexión, cortadura y esfuerzo axial. • Pórticos espaciales. Son similares a los anteriores, pero situados formando una retícula espacial. Sus elementos pueden trabajar a esfuerzo axial, torsión y flexión en dos planos. • Arcos. Son estructuras compuestas por una única pieza, cuya directriz es habitualmente una curva plana. Absorben esfuerzos axiales, de flexión y de cortadura. Como caso general existen también los arcos espaciales, cuya directriz es una curva no plana. En muchas ocasiones los arcos se encuentran integrados en otras estructuras más complejas, del tipo pórtico plano o espacial. • Emparrillados planos. Son estructuras formadas por elementos viga dispuestos formando una retícula plana, pero con fuerzas actuantes perpendiculares a su plano. Se deforman perpendicularmente a su plano, y sus elementos trabajan a torsión y flexión. La figura 1.1 muestraalgunos ejemplos de los tipos anteriores.


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Viga

Celosía plana

Celosía espacial

Pórtico plano

Pórtico espacial

Emparrillado

Arco
Figura 1.1

1.3.2

Estructuras con elementos continuos

En esta estructuras no se identifica a priori ninguna dirección preponderante y el material está distribuido de manera continua en toda la estructura. El concepto de nudo estructural tampoco puede introducirse de forma intuitiva y simple. Su análisis es más complejo que para las estructuras reticulares y no se aborda en este texto. Sin embargo, a continuación se resumen los casos más habituales de estructuras continuas. • Membranas planas. Consisten en un material continuo, de espesor pequeño frente a sus dimensiones transversales, situado en un plano y con cargas contenidas en él. Corresponde al problema de elasticidad bidimensional, y son el equivalente continuo de un pórtico.


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• Placas.
Consisten en un medio continuo plano, de espesor pequeño frente a sus dimensiones transversales, con fuerzas actuantes perpendiculares a su plano. Son el equivalente continuo de un emparrillado plano. • Sólidos. Son medios continuos tridimensionales sometidos a un estado general de tensiones y deformaciones. • Cáscaras. Son medios continuos curvos, con pequeño espesor. Son el equivalente a la suma de una membrana y una placa, pero cuya superficie directriz es curva.

1.4 CLASIFICACIÓN DE LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS
Acontinuación se resumen los principales métodos de análisis estructural para estructuras discretas, no pretendiéndose hacer una clasificación exhaustiva, sino sólo indicar los más importantes. Se presentan englobados en cuatro grandes bloques, en base a su naturaleza. • Soluciones analíticas. Consisten en resolver directamente las ecuaciones que controlan el problema, por lo que normalmente sólo se pueden aplicar a casos sencillos. ◊ Integración de la ecuación de la elástica en vigas. ◊ Teoremas de Mohr para vigas. ◊ Método de la viga conjugada para vigas. • Empleo de las ecuaciones de la estática: sólo se pueden aplicar a estructuras isostáticas. ◊ Método del equilibrio de los nudos para celosías. ◊ Método de las secciones para celosías. ◊ Método de la barra sustituida para celosías. • Métodos basados en la flexibilidad. ◊ Principio del Trabajo Virtual Complementario y principio del potencial complementario estacionario. ◊ Segundo teorema de Castigliano y teorema de Crotti-Engesser. ◊ Método general de flexibilidad, basado en el segundo teorema de Engesser. ◊ Método de la compatibilidad de deformaciones en vigas. ◊ Fórmula de los tres momentos para vigas. ◊ Principio de Müller-Breslau para cargas móviles. • Métodos basados en la rigidez. ◊ Principio del Trabajo Virtual y principio del potencial total estacionario. ◊ Primer teorema de Castigliano. ◊ Método de rigidez en formulación matricial, para estructuras de cualquier tipo. ◊ Método de la distribución de momentos, o de Cross, para pórticos planos.
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1.5 CONDICIONES DE SUSTENTACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS
Para que una estructura pueda considerarse como tal, debe estar en equilibrio bajo la acción de todas las fuerzas que actúan sobre ella, entre las que se incluyen tanto las acciones exteriores conocidas, como las reacciones desconocidas en los puntos de sustentación. En el equilibrio de la estructura juega un papel fundamental la forma en que la estructura se halla unida a su sustentación, que se efectúa habitualmente a través de uno o varios puntos de apoyo, cada uno de los cuales introduce una o varias restricciones al movimiento de la estructura. Se denomina condición de ligadura (o simplemente ligadura, o también condición de apoyo) a una condición que define la deformación en un punto y una dirección dados de la estructura. Como cada ligadura define la forma en que la estructura puede deformarse en el punto y la dirección donde está aplicada, aparece una fuerza o momento desconocido en la dirección de la ligadura, denominada fuerza o momento de reacción. Esta fuerza de reacción es la fuerza que la sustentación debe hacer para que se satisfaga la condición de ligadura. Las ligaduras son direccionales, es decir que cada una de ellas actúa en una sola dirección del espacio. Sin embargo las condiciones de apoyo habituales de las estructuras hacen que varias ligaduras aparezcan agrupadas, introduciendo simultáneamente varias condiciones de deformación. Siempre se cumple que en la dirección donde hay unaligadura aplicada se conoce el valor de la deformación (normalmente dicho valor es cero), y se desconoce el valor de la reacción que aparece. En el caso de desconocerse el valor de la deformación se dice que no hay ninguna ligadura aplicada, y en ese caso se conocerá el valor de la fuerza exterior aplicada en esa dirección, estando la deformación controlada por el comportamiento de la estructura. A continuación se describen los tipos de apoyos más habituales que pueden encontrarse en las estructuras, indicando las condiciones de ligadura que introducen. 1.5.1 Estructuras planas

Apoyo deslizante o de rodillos Impide el desplazamiento perpendicular a la línea de apoyo, y su reacción es una fuerza perpendicular a dicha línea. Se supone sin rozamiento y bidireccional, es decir que es capaz de ejercer reacción en los dos sentidos (a pesar de la forma sencilla que se emplea para su representación). Este apoyo no influye en el giro de la estructura, que puede tener uno o varios giros, en función de la forma en que los distintos elementos estructurales se unan al nudo, como se muestra en la figura 1.2.


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θ
V

θ1 aˆ†
V

θ2 aˆ†
V

θ aˆ†

Figura 1.2

Apoyo articulado No permite ningún tipo de desplazamiento, y su reacción es una fuerza de dirección arbitraria, que equivale a dos fuerzas según dos ejes ortogonales.
Este apoyo no influye en el giro de la estructura, que puede tener uno o varios giros, en función de la forma en que los distintos elementosestructurales se unen al nudo (figura 1.3).



θ1
H V

θ2
H V

θ

H

V

Figura 1.3

Empotramiento No permite ningún desplazamiento ni el giro. Su reacción son dos fuerzas (H y V) contenidas en el plano de la estructura, y un momento M perpendicular a él (figura 1.4).

V H M
Figura 1.4

Empotramiento deslizante Permite únicamente el desplazamiento en una dirección, pero impide el desplazamiento en la dirección perpendicular y también el giro.
Se trata por lo tanto de un caso particular del empotramiento, pero que permite el deslizamiento en una dirección determinada. Su


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reacción es una fuerza perpendicular al eje de deslizamiento H, y un momento M perpendicular al plano de la estructura (figura 1.5). Este tipo de apoyo no suele encontrarse habitualmente en la realidad, pero aparece cuando se emplean simplificaciones para considerar la simetría de una estructura.

aˆ†

M H

Figura 1.5

Apoyo flexible El apoyo flexible está constituido por un punto de la estructura que está unido a la sustentación mediante uno o varios muelles, como se muestra en la figura 1.6. En general puede haber constantes de rigidez distintas en cada dirección, pudiendo ser cero en alguna de ellas (dirección libre). Asimismo el apoyo elástico puede coexistir con otras condiciones de ligadura.

aˆ†Y aˆ†X
KX KY KX

θ

aˆ†X

Figura 1.6

Es habitual incluir el apoyo flexible en la descripción de los tipos de apoyos, pero en sentido estricto este apoyo no es unacondición de ligadura para la estructura, pues no es un punto en el que se conoce el valor de la deformación. En efecto, no se conocen ni el desplazamiento del nudo ni la fuerza en el muelle, sino únicamente la relación entre ellos, que es la constante de rigidez del muelle: la fuerza en el muelle es proporcional a la deformación del apoyo y la reacción de la sustentación es igual a la fuerza en el muelle. Esta igualdad entre la fuerza en el muelle y la reacción de la sustentación es la que hace que este nudo se considere a veces como un apoyo, aunque como se ha dicho no lo es. Se trata por lo tanto de un nudo de la estructura como cualquier otro, al que llegan una serie de elementos estructurales y además el muelle, que debe considerarse como uno más. En este sentido, siempre se considerarán aquí los muelles como elementos estructurales, y se les dará el mismo tratamiento que a los demás. 1.5.2 Estructuras tridimensionales

Rótula esférica Es el equivalente tridimensional de la articulación plana. No permite ningún desplazamiento, y sí permite los tres giros. Su reacción son tres fuerzas ortogonales (o un vector fuerza de dirección arbitraria), como se indica en la figura 1.7.


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Z

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RZ

X

RX
Y

RY

Figura 1.7

Apoyo deslizante sobre un plano Se trata de un punto que puede moverse apoyado sobre todo un plano, el cual puede ser uno de los planos coordenados, u otro cualquiera. Su reacción es una fuerza normal al plano de deslizamiento(figura 1.8). No influye en los giros que pueda tener la estructura, que podrán ser uno o varios, en función de la forma en que los distintos elementos estructurales se unan al nudo.
Z

RZ
Y

X

Figura 1.8

Apoyo deslizante sobre una recta. En este caso el punto de apoyo está obligado a moverse sobre una recta conocida, por lo que el único desplazamiento posible es en la dirección de dicha recta (figura 1.9). La reacción son dos fuerzas perpendiculares a la recta (H, V). Al igual que en caso anterior, esta condición de ligadura no influye sobre los giros.
Z

V
Y

X

H
Figura 1.9


12 Empotramiento deslizante prismático

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En este caso el punto de apoyo se mueve sobre una recta, pero no tiene ninguna posibilidad de giro, como se muestra en la figura 1.10. Existe por lo tanto un sólo grado de libertad, que es el desplazamiento en la dirección de la recta. La reacción tiene cinco componentes: dos fuerzas perpendiculares a la recta (V y T) y tres momentos ( ML, MV y MT).

V

aˆ†

MT T
Figura 1.10

MV ML

Empotramiento deslizante cilíndrico En este caso el punto puede deslizar sobre una recta y además puede girar respecto a ella. Existen por lo tanto dos grados de libertad: el desplazamiento en la dirección de la recta y la rotación alrededor de ella (figura 1.11). La reacción tiene cuatro componentes: dos fuerzas perpendiculares a la recta (V y T), y dos momentos también perpendiculares a ella (MV y MT).
Z

Y X

V MV MT

aˆ† θ
Figura 1.11T

1.6 CONDICIONES DE CONSTRUCCIÓN
Los distintos elementos que componen una estructura reticular se pueden unir básicamente de dos formas: • De forma totalmente rígida, transmitiéndose entre los elementos unidos todas las fuerzas y momentos posibles: tres fuerzas y tres momentos en el caso espacial, y dos fuerzas y un momento en el caso plano. En este caso todas las deformaciones de los elementos unidos son iguales. • Mediante uniones imperfectas, que permiten un cierto movimiento relativo entre los elementos unidos. Estas uniones imperfectas se obtienen a base de anular la capacidad de transmisión de alguno de los esfuerzos transmitidos entre los elementos. Al


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eliminarse esta capacidad de transmitir algún esfuerzo, aparece un movimiento relativo entre los elementos, en la dirección del esfuerzo anulado. Se denominan condiciones de construcción a estas condiciones de esfuerzo nulo impuestas a las uniones entre los elementos de la estructura. Su presencia juega un papel importante en la estabilidad de la estructura, o en su naturaleza isostática o hiperestática. Los tipos más importantes de condiciones de construcción se indican en la tabla 1.1. Tipo Articulación (o rótula) Esfuerzo anulado Momento flector Representación

Deslizadera

Esfuerzo cortante

Deslizadera axial

Esfuerzo axial

Articulación a torsión

Momento torsor

Rótula esférica

Dos momentos flectores, y un momento torsor
Tabla 1.1

Puede ocurrir que en un mismopunto existan varias condiciones de construcción, que se deben ir identificando de manera independiente, y cuyos efectos se suman. Así por ejemplo, la rótula esférica está compuesta por dos articulaciones según dos ejes perpendiculares al elemento y una articulación a la torsión. Ejemplo En un nudo totalmente articulado de una estructura plana, al que llegan n barras, el número de condiciones de construcción es n-1. La ecuación n-sima es la ecuación estática de suma de momentos nulos en el nudo.

M1=0

M2=0 M3=-M1-M2=0


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1.7 ESTABILIDAD Y GRADO DE DETERMINACIÓN EXTERNO
Para analizar una estructura se debe establecer en primer lugar el diagrama de sólido libre de toda ella. En este diagrama se considera a toda la estructura como un sólido rígido, y se sustituyen las ligaduras por sus reacciones correspondientes, con lo que se obtienen tantas incógnitas como reacciones haya, en número r. A este conjunto se le aplica un estudio de estabilidad. La estática facilita q=3 ecuaciones de equilibrio en el caso plano, y q=6 ecuaciones en el espacial. En función de como sea el número de reacciones incógnita, en relación con este número de ecuaciones de equilibrio se presentan tres casos diferentes. Suponiendo que no hay condiciones de construcción en la estructura, es decir que las uniones en todos los nudos son rígidas, dichos casos son: A. El número de reacciones es menor que el de ecuaciones de equilibrio rq. La estructura está estáticamente indeterminada enprincipio, y se dice que es externamente hiperestática: es necesario introducir nuevas condiciones, además de las de la estática, para calcular las reacciones exteriores. Al igual que en el caso anterior esta condición es necesaria pero no suficiente: puede ocurrir que aunque haya reacciones en exceso, éstas tengan una disposición espacial tal que no impidan la existencia de algún tipo de inestabilidad en alguna otra dirección. Normalmente los casos de inestabilidad externa suelen ir acompañados de algún tipo de hiperestaticidad externa en alguna otra dirección, de tal manera que el cómputo global de incógnitas y ecuaciones no da una respuesta correcta. La tabla 1.2 resume las posibles situaciones.
Isostática externamente Hiperestática externamente rq Tabla 1.2 Inestable externamente

Puede concluirse que la comparación del número de reacciones r con el número de ecuaciones de la estática q, brinda nada más que un balance global del estado de la


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estructura, pero no permite determinar con precisión su situación. Esto requiere en general una inspección de la misma y un análisis de si existen posibles situaciones de inestabilidad. Ejemplos Las estructuras de la figura siguiente tienen ambas r=q=3. Sin embargo la de la izquierda es estable e isostática, ya que las tres reacciones son independientes, mientras que la de la derecha es inestable, pues las tres reacciones se cortan en el apoyo de la izquierda.

Estable, isotática

Inestable

Laestructura de la figura siguiente tiene r=4, y es externamente hiperestática.

Hiperestática
Las estructuras siguientes tienen ambas r=q=3, pero su situación es muy diferente, pues la disposición de las reacciones produce inestabilidad de distinto tipo. Esta inestabilidad está unida a una hiperestaticidad en otra dirección, de tal manera que el cómputo total de reacciones hace parecer que la estructura es isostática.

Hiperestática s/X

Hiperestática s/Y

Inestable al giro

Inestable s/X


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1.8 BIBLIOGRAFÍA
1.
Argüelles Alvarez, R., y Argüelles Bustillo, R., Análisis de Estructuras: Teoría, Problemas y Programas, Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Montes, Madrid, 1996. Hibbeler, R. C., Structural Analysis, Prentice-Hall, New Jersey, 1996. Oravas, G. A., McLean, L., Historical Development of Energetical Principles in Elastomechanics, Applied Mechanics Review, Parte I, Vol. 19, Ns 8, pp. 647-658, Agosto 1966. Oravas, G. A., McLean, L., Historical Development of Energetical Principles in Elastomechanics, Applied Mechanics Review, Parte II, Vol. 19, Ns 11, pp. 919-933, Noviembre 1966. Timoshenko, S. P., History of Strength of Materials, McGraw-Hill, New York, 1953. Timoshenko, S. P., y Young, D. H., Teoría de las Estructuras, Ed. Urmo, Bilbao, 1974. Tuma, J. J., Análisis Estructural, Serie Schaum, McGraw-Hill, New York, 1970. Wang, C. K., Intermediate Structural Analysis, McGraw-Hill, New York, 1983.

2. 3.



5. 6. 7. 8.




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