Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Arquitectura Instalaciones 1 Arq. Vinicio González.

Hidrostática e Hidrodinámica


Introducción
En este capítulo, se estudiarán los denominados fluidos ideales o perfectos, aquellos que se pueden desplazar sin que presenten resistencia alguna. Posteriormente, estudiaremos los fluidos reales, aquellos que presentan cierta resistencia al fluir. La dinámica de fluidos es muy compleja, sobre todo si se presentan los denominados vórtices o torbellinos.

INDICE

Introducción Índice Objetivos Contenido: Estática de fluidos Dinámica de Fluidos Leyes de Newton y su relación con la mecánica de fluidos Concepto de densidad de fluidos Principio de pascal y la ecuación de hidrostática La Prensa Hidráulica Principio de Arquímedes Evangelista Toricelli y la presión Atmosférica Teorema de Toricelli Teorema de Bernoulli Ecuación Fundamental de la Hidrodinámica Conceptos de Caudal y presión con relación a la Hidrodinámica Conclusiones Recomendaciones Bibliografía


OBJETIVOS



Definir y aplicar los conceptos de presión de fluidos y empuje vertical hacia arriba (fuerza de flotación) para resolver problemas físicos. Aplicar formulas para calcular la ventaja mecánica deuna prensa hidráulica en términos de las fuerzas o de las aéreas de entrada y salida. Escribir la ecuación de Bernoulli en su forma general y describir la ecuación cuando se aplica a un fluido en reposo, un flujo de fluido a presión constante y el flujo a través de un tubo horizontal.


ESTATICA DE FLUIDOS
Presión en un fluido. Es la magnitud de la fuerza en cada punto por unidad de superficie, es un campo escalar que depende de la posición P = P(x, y, z). Su unidad en el sistema Internacional de unidades es el Pascal, Pa N Se cumplen las siguientes relaciones entre unidades: 1 atm = 1013* Pa = 1013* baria = 1013bar = 1013*10³ mbar 1atm = 10,33m.c.a = 1,033kp/cm² (atm. técnica) = 760mmHg Las superficies isóbaras son el lugar geométrico de los puntos del espacio con la misma presión, se obtienen igualando el campo de presiones a una constante: P(x, y, z) = Cte. Ecuaciones fundamentales de la estática de fluidos. Si un fluido en su conjunto está en equilibrio, es decir en reposo, cada uno de sus puntos está también en equilibrio. Siendo: P = P(x, y, z) el campo de presiones, ρ = ρ (x, y,z) el campo de densidades y suponiendo que el fluido está sometido a la acción de fuerzas exteriores, definidas por unidad de masa de la forma, →F= FË£ i + FÊž j + Fᶻ k (N / kg) FË£ = 1 ∂ρ ρ ∂x F = 1 P ρ FÊž= 1 ∂ρ ρ ∂x Fᶻ= 1 ∂ρ ρ ∂x

Si las fuerzasexteriores son conservativas, existe un potencial (V) tal que, en cada punto, la fuerza pueda expresarse como el gradiente de la función potencial F = − V, la ecuación vectorial queda, V + 1/ ρ P = 0, que permite obtener la ecuación diferencial que resuelve el equilibrio de un fluido: dV + dP/ρ= 0. En consecuencia, las superficies equipotenciales son también isóbaras. Si la única fuerza exterior es el peso, dV = −gdz, la ecuación diferencial que expresa el equilibrio es dP = ρgdz. Si el fluido es incompresible, por ejemplo un líquido, la densidad es constante y la integral de esta ecuación es P = P + gz 0 ρ que indica que la presión a una profundidad z por debajo de la superficie libre de un líquido es igual a la presión P0 sobre dicha superficie mas el producto del peso 5

específico ρg por la profundidad z. En este caso las isóbaras son planos horizontales (z=Cte). Para medir presiones desconocidas podemos utilizar un manómetro de tubo abierto, constituido por un tubo en forma de U que contiene un líquido; uno de los extremos está conectado al recipiente cuya presión se desea determinar, y el otro está abierto a la atmósfera y sometido a la presión atmosférica. La diferencia de presión entre el recipiente y la atmósfera es P − P = gh 0 ρ, siendo ρg el peso específico del líquido del tubo, y h la diferencia de altura entre las ramas.

DINAMICA DE FLUIDOSDinámica de fluidos, (también conocida como mecánica de fluidos), es la ciencia de movimientos de un fluido. Al movimiento de los fluidos se le conoce como, fluir. La mecánica de fluidos es la rama de la mecánica de medios continuos (que a su vez es una rama de la física) que estudia el movimiento de los fluidos (gases y líquidos). La característica fundamental que define a los fluidos es su incapacidad para resistir esfuerzos cortantes. También estudia las interacciones entre el fluido y el contorno que lo limita. Un fluido es una sustancia o medio continuo que se deforma continuamente en el tiempo ante la aplicación de una solicitación o tensión tangencial sin importar la magnitud de ésta. También se puede definir un fluido como aquella sustancia que, debido a su poca cohesión intermolecular, carece de forma propia y adopta la forma del recipiente que lo contiene. Los fluidos. Los líquidos y los gases son fluidos porque los átomos o moléculas están dispuestos de forma más desordenada que en los sólidos, no están confinados a posiciones específicas sino que pueden moverse entre los demás.

LEYES DE NEWTON Y SU RELACION CON LA MECANICA DE FLUIDOS
Ecuación de Continuidad Cambio de la sección transversal de una manguera: Se puede observar que al obstruir parcialmente el orificio de salida del agua en una manguera, el chorro tiene un alcance mayor. Estose debe al aumento de velocidad de líquido por la disminución del área transversal de la manguera.



Pequeños orificios de una ducha: Al conectar una ducha a una manguera se puede observar como los chorritos de cada orificio tiene mayor alcance que el chorro completo.

Bote a vapor Se tiene una pequeña balsa impulsada por el efecto producido por un chorro de vapor saliendo de un estrecho orificio.

CONCEPTO DE DENSIDAD DE FLUIDOS
Densidad relativa: Se llama densidad relativa de un medio respecto a otro medio a la razón entre densidades. r= ρ/ ρo Nótese que por ser un cociente entre densidades, la densidad relativa no tiene dimensiones. Es un número que indica simplemente cuantas veces más denso es e l fluido o el sólido en cuestión, que el fluido o cuerpo patrón. Generalmente se toma como cuerpo patrón para líquidos y sólidos el agua d e s t i l a d a a 4 s C . E n t a l c a s o l a d e n s i d a d a b s o l u t a s e i d e n t i f i c a c o n e l v a l o r d e s u densidad relativa al agua. Densidad de un líquido Para determinar la densidad de un líquido se puede utilizar: a) Un densímetro: este es un instrumento que registra directamente la densidad de un líquido. Se basa en el hecho de que un cuerpo que flota tiene p a r t e s u m e r g i d a c u y o volumen está en relación inversa con la densidad del líquido. Esta es una consecuenciadirecta del llamado Principio de Arquímedes: “Todo cuerpo sumergido en un fluido está sometido a una fuerza hacia arriba que equivale al peso del fluido desplazado por la parte sumergida.”El valor de esa fuerza llamada empuje es: E = ρf gVs

dónde: Ρf : Densidad Del fluido Vs : Volumen de la parte sumergida del cuerpo De lo anterior se desprende que un mismo densímetro se sumergirá más líquidos de baja densidad que en líquidos de alta densidad, por eso se c o n s t r u y e n j u e g o s d e densímetros que cubren diversos rangos de densidades. Como esos rangos son más bien pequeños, los valores obtenidos resultan muy precisos y se lee directamente sobre el densímetro cuando éste flota en el liquido, es decir, cuando se cumple que: Peso del densímetro = empuje debido a la parte sumergida.

PRINCIPIOS DE PASCAL Y LA ECUACION DE HIDROSTATICA
Sabemos que un líquido produce una presión hidrostática debido a su peso, pero si el líquido se encierra herméticamente dentro de un recipiente puede aplicársele otra presión utilizando un émbolo; dicha presión se transmitirá íntegramente a todos los puntos del líquido. Esto se explica si recordamos que los líquidos, a diferencia de los gases y sólidos, son prácticamente incompresibles. Ésta observación fue hecha por el físico francés Blaise Pascal(1623-1662), quién enunció el siguiente principio que lleva sunombre; __________'Toda presión que se ejerce en un líquido encerrado en un recipiente se transmite con la misma intensidad a todos los puntos del líquido y a las paredes del recipiente que las contiene.'__________ El principio de Pascal puede comprobarse utilizando una esfera hueca, perforada de diferentes lugares y provista de un émbolo. Al llenar la esfera con agua y ejercer presión sobre ella mediante le émbolo, se observa que sale el agua por todos los agujeros con la misma presión.


Aplicaciones del Principio de Pascal
Transmisión de la presión en un fluido confinado: Un envase de vidrio cerrado, lleno de agua, contiene en su interior un globo inflado. Al ejercer presión sobre el fluido se puede observar como ésta se transmite comprimiendo el globo que se encuentra en el interior del envase. Submarino: Un tubo de vidrio lleno de agua y que tiene una conexión a una jeringa, con la cual se puede variar la presión del líquido, contiene en su interior un gotero el cual puede ascender o descender en dependencia de la presión dada al fluido. Prensa hidráulica: Se dispone de una prensa hidráulica que, aunque no funciona, se puede mostrar para explicar la aplicación en ella del Principio de Pascal.

PRENSA HIDRAULICA
La prensa hidráulica es una aplicación de principio de Pascal. Consta de dos embolos de distintos diámetros, en sendos recipientes, loscuales están intercomunicados por un tubo. La presión de un líquido se transmite a todos los puntos del mismo y a las paredes del recipiente que los contiene. Las flechas sólo indican que la presión es perpendicular a la superficie. Por medio de uno de los émbolos se puede ejercer una presión en el líquido (agua o aceite contenido en el aparato). De acuerdo con el principio de Pascal, de esta presión se transmite al otro émbolo con la misma intensidad, por lo que éste debe subir. Para que los émbolos mantengan la misma posición, ambos deben ejercer la misma presión sobre el líquido. Es decir, la presión que sobre el líquido ejerce el émbolo mayor es p= F/S, donde F es la fuerza que actúa y S es la superficie del émbolo mayor. La presión que sobre el líquido ejerce él embolo menor es f/s donde f es la fuerza que actúa y s es la superficie del émbolo menor.



Entonces, si las presiones que ejercen ambos émbolos han de ser iguales tenemos que: F=f S=s En donde: F= fuerza en el émbolo de mayor superficie (rojo) S= superficie del émbolo mayor f= fuerza en el émbolo de menor superficie (amarillo) s= superficie del émbolo menor

Aplicaciones de la prensa Hidráulica La prensa hidráulica es un dispositivo que tiene varias aplicaciones técnicas, porque la fuerza que ejerce en el émbolo menor se multiplica en el émbolo mayor, de tal manera que la fuerzaresultante mucho mayor que la fuerza aplicada. En el elevador de autos, en el émbolo menor envía por un tubo aceite a presión hasta un gran cilindro, donde levanta un émbolo de gran superficie que destaca sobre el aceite.

PRINCIPIO DE ARQUIMIDES
En el siglo III a.c., el gran filósofo, matemático y físico griego Arquímedes, al realizar cuidadosos experimentos descubrió la manera de calcular el empuje ascendente que actúa sobre los cuerpos sumergidos en líquidos. Sus conclusiones fueron expresadas en un enunciado que recibe el nombre de Principio de Arquímedes y cuyo texto es: __________'Todo cuerpo sumergido en un líquido recibe un empuje vertical hacia arriba, igual al peso del líquido desplazado por el cuerpo.'_________


Fuerza de empuje
Sumergimiento parcial: Una botella llena de arena se suspende de una romana. Luego se introduce poco a poco en un tobo con agua. Se puede observar la disminución gradual de su peso.

Sumergimiento total Una botella llena con arena se cuelga de una romana, luego se introduce totalmente en un tobo con agua. Se puede determinar la disminución de peso que experimenta, la cual no varía al seguir hundiendo la botella en el tobo.

Comprobación del Principio de Arquímedes Se utiliza una romana, una botella con arena. Y una caja de vidrio llena de agua la cual tiene un tubo para desaguar. Se puede comprobar que alintroducir la botella con arena en el agua la disminución de peso es igual al peso del líquido desalojado.


Cuerpos de igual forma y distinto peso
La fuerza de empuje depende del volumen de agua desalojada: Se tienen dos botellas plásticas iguales que están completamente llenas de arena y limaduras de hierro. Se puede comprobar que al introducirlas completamente en agua la disminución de peso en cada una de ellas es la misma.

Cuerpos de igual peso y distinta forma
Dos cuerpos de igual peso con distinto comportamiento: Se tienen dos botellas plásticas transparentes de distinta forma que contienen la misma cantidad de arena. Se puede observar que una flota y la otra se va al fondo. Peso nulo: Un cuerpo que puede flotar en el agua se cuelga de una romana. Al introducirlo en el agua se observa que su peso disminuye hasta un valor nulo cuando la fuerza de empuje equilibra al peso.

Aplicaciones del Principio de Arquímedes
Fuerza de empuje en cuerpos de diferentes materiales y formas: Se dispone de esferas de distintos materiales: metal, plastilina, plástico, goma, ping-pong. Se puede observar como unas se hunden y otras flotan.

Esfera de metal que no se hunde: Si una esfera de metal se coloca en un envase plástico que le permita desalojar una mayor cantidad de agua no se hunde. Experimento apropiado para explicar la flotación de los barcos.12


EVANGELISTA TORRICELLI Y LA PRESION ATMOSFERICA

La presión atmosférica ha sido determinada en más de un kilo por centímetro cuadrado de superficie pero, sin embargo, no lo notarnos (motivo por el cual, por miles de años, los hombres consideraron al aire sin peso). El aire ejerce su presión en todas direcciones (como todos los fluidos y los gases), pero los líquidos internos de todos esos seres ejercen una presión que equilibra la presión exterior. Experiencia de Torricelli: En 1643, el físico italiano ideó un procedimiento para medir la presión Atmosférica.

Por qué el mercurio no descendió más? El tubo no se yació porque el aire exterior presionaba sobre el mercurio de la cubeta (en cambio, en la parte superior del tubo se produjo vacío). La presión ejercida por la atmósfera en el punto Q es igual a la presión en R, ya que ambos puntos están al mismo nivel en el mismo fluido. Es decir que la presión que la columna de aire de casi 40 km de altura (la atmósfera) ejerce sobre la superficie libre del mercurio (pQ) es igual a la que ejerce la columna de 76 cm de mercurio (pa) , entonces: Patm= PHg hHg = 13,6 g/cm3 . 76cm = 1.033,6 g/cm2 = 101.293 N/m2 = 101.293 Pa Este valor, que corresponde a la presión atmosférica normal, se llama atmósfera (atm). También se acostumbra a dar la presión atmosférica en milímetros de mercurio (Torr) o en milibares(1mb = 0,75 Torr). 1 atm = 760 mm Hg = 760 Torr



Esta experiencia logró explicar por qué había un límite de profundidad para extraer el agua de las minas: la atmósfera no ejerce una presión ilimitada, sólo alcanza a sostener una determinada altura de agua. La presión atmosférica varía según la altitud y también debido a los vientos y tormentas. Suele tomar valores entre 720 y 770 mm Hg. Una presión alta generalmente pronostica buen tiempo; y una baja presión atmosférica promete lo contrario. El aparato que permite medirla se llama barómetro. Poco después de la experiencia de Torricelli, Blaise Pascal predijo que la presión atmosférica debe disminuir cuando se asciende por una montaña, ya que la columna de aire soportada es cada vez menor. Su cuñado se encargó de hacer la experiencia y comprobar la hipótesis en 1658. A medida que ascendía al monte Puy-de Dome observó el descenso de la columna mercurial del barómetro (que desde entonces pudo ser usado también como altímetro).

TEOREMA DE TORRICELLI

Cuando un líquido se encuentra confinado dentro de un recipiente permanecerá estático y sin ningún cambio físico hasta que un factor afecte tales condiciones. El factor más común la aplicación de una fuerza externa al arreglo, ya sea un poco de viento tocando la superficie del líquido, un insecto , una bomba que se ha encendido, etc. Al existir talfuerza, se puede ver que el líquido se deforma muy fácilmente y si una parte de este, o todo, cambia de posición continuamente se dice que está fluyendo. Otro factor interesante para que exista el flujo de un líquido es la presión ejercida entre sus moléculas sobre el recipiente que lo contiene; imagínese que se perfora un orificio en alguna parte del recipiente y por debajo del nivel del líquido, este empezará a fluir como producto del empuje de las moléculas que se encuentran por arriba. Por otro lado, ese flujo tendrá una velocidad proporcional a la presión ejercida por el líquido; es fácil darse cuenta como un l í q u i d o s a l e más rápidamente cuando existe más cantidad de este que cuando un recipiente está casi vacío. Evangelista Torricelli se d i o c u e n t a d e t a l s i t u a c i ó n y experimentó cómo la velocidad de un fluido era cada vez mayor mientras la presión lo era por igual, a esto enunció el siguiente teorema: La velocidad del chorro que sale por un único agujero en un recipiente es directamente proporcional a la raíz cuadrada de dos veces el valor de la aceleración de la gravedad multiplicada por la altura a la que se encuentra el nivel del fluido a partir del agujero. Matemáticamente se tiene: v = raíz cuadrada ((2 * g) * (h)) Ejemplo de aplicación del teorema de Torricelli (vaciado de un recipiente): 14



problema seescribirá

Un depósito cilíndrico, de sección S1 tiene un orificio muy pequeño en el fondo de sección S2 mucho más pequeña que S1: Aplicamos el teorema de Bernoulli suponiendo que la v e l o c i d a d d e l f l u i d o e n l a s e c c i ó n m a y o r S1 es despreciable, v1 es más o menos 0 comparada con la velocidad del fluido v2 en la sección menor S2. Por otra parte, el elemento de fluido delimitado por las secciones S1 Y S2 está en contacto con el aire a la misma presión. Luego, p1= p2 = p0. Finalmente, la diferencia de alturas y 1-y2=h. Siendo h a altura de la columna de fluido. La ecuación de Bernoulli Con los datos del de una forma más simple

TEOREMA DE BERNOULLI
Evaluemos los cambios energéticos que ocurren en la porción de fluido señalada en color amarillo, cuando se desplaza a lo largo de la tubería. En la figura, se señala la situación inicial y se compara la situación final después de un tiempo Dt. Durante dicho intervalo de tiempo, la cara posterior S2 se ha desplazado v2Dt y la cara anterior S1 del elemento de fluido se ha desplazado v1Dt hacia la derecha.



ECUACION FUNDAMENTAL DE LA HIDRODINAMICA
La hidrodinámica o fluidos en movimientos presentan varias características que pueden ser descritas por ecuaciones matemáticas muy sencillas. Entre ellas: Ley de Torricelli: si en un recipiente que no está tapado se encuentra un fluido yse le abre al recipiente un orificio la velocidad con que caerá ese fluido será

La otra ecuación matemática que describe a los fluidos en movimiento es el número de Reynolds:

Donde d es la densidad v la velocidad D es el diámetro del cilindro y n es la viscosidad dinámica. El caudal o gasto es una de las magnitudes principales en el estudio de la hidrodinámica. Se define como el volumen de líquido que fluye por unidad de tiempo . Sus unidades en el Sistema Internacional son los m3/s y su expresión matemática

Esta fórmula nos permite saber la cantidad de líquido que pasa por un conducto en cierto intervalo de tiempo o determinar el tiempo que tardará en pasar cierta cantidad de líquido. El principio de Bernoulli es una consecuencia de la conservación de la energía en los líquidos en movimiento. Establece que en un líquido incompresible y no viscoso, la suma de la presión hidrostática, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial gravitatoria por unidad de volumen, es constante a lo largo de todo el circuito. Es decir, que dicha magnitud toma el mismo valor en cualquier par de puntos del circuito. Su expresión matemática es

Donde es la presión hidrostática, la densidad, la aceleración de la gravedad, la altura del punto y la velocidad del fluido en ese punto. Los subíndices 1 y 2 se refieren a los dos puntos del circuito.16


La otra ecuación que cumplen los fluidos no compresibles es la ecuación de continuidad, que establece que el caudal es constante a lo largo de todo el circuito hidráulico

Donde es el área de la sección del conducto por donde circula el fluido y velocidad media.


CAUDAL Y PRESION
En dinámica de fluidos, caudal es la cantidad de fluido que pasa en una unidad de tiempo. Normalmente se identifica con el flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo. Menos frecuentemente, se identifica con el flujo másico o masa que pasa por un área dada en la unidad de tiempo. El caudal de un río puede calcularse a través de la siguiente fórmula: Dónde: Caudal ([L3T−1]; m3/s) Es el área ([L2]; m2) Es la velocidad lineal promedio. ([LT−1]; m/s) Dada una sección de área A atravesada por un fluido con velocidad uniforme v, si esta velocidad forma con la perpendicular a la superficie A un ángulo θ, entonces el flujo se calcula como En el caso particular de que el flujo sea perpendicular al área A (por tanto θ = 0 y ) entonces el flujo vale Si la velocidad del fluido no es uniforme o si el área no es plana, el flujo debe calcularse por medio de una integral:

Donde dS es el vector superficie, que se define como Donde n es el vector unitario normal a la superficie y dA un elemento diferencial de área. Si se tiene una superficie Sque encierra un volumen V, el teorema de la divergencia establece que el flujo a través de la superficie es la integral de la divergencia de la velocidad v en ese volumen:

En física e ingeniería, caudal es la cantidad de fluido que circula por unidad de tiempo en determinado sistema o elemento. Se expresa en la unidad de volumen dividida por la unidad de tiempo (e.g.: m³/s). 17


En el caso de cuencas de ríos o arroyos, los caudales generalmente se expresan en metros cúbicos por segundo o miles de metros cúbicos por segundo. Son variables en tiempo y en el espacio y esta evolución se puede representar con los denominados hidrogramas.

La presión en un fluido
Es la presión termodinámica que interviene en la ecuación constitutiva y en la ecuación de movimiento del fluido, en algunos casos especiales esta presión coincide con la presión media o incluso con la presión hidrostática.  Presión hidrostática: Un fluido pesa y ejerce presión sobre las paredes sobre el fondo del recipiente que lo contiene y sobre la superficie de cualquier objeto sumergido en él. Esta presión, llamada presión hidrostática, provoca, en fluidos en reposo, una fuerza perpendicular a las paredes del recipiente o a la superficie del objeto sumergido sin importar la orientación que adopten las caras. Si el líquido fluyera, las fuerzas resultantes de las presiones ya no seríannecesariamente perpendiculares a las superficies. Esta presión depende de la densidad del líquido en cuestión y de la altura a la que esté sumergido el cuerpo y se calcula mediante la siguiente expresión

Donde, usando unidades del SI, Es la presión hidrostática (en pascales); Es la densidad del líquido (en kilogramos sobre metro cúbico); Es la aceleración de la gravedad (en metros sobre segundo al cuadrado); Es la altura del fluido (en metros). Un líquido en equilibrio ejerce fuerzas perpendiculares sobre cualquier superficie sumergida en su interior Es la presión atmosférica  Presión hidrodinámica En un fluido en movimiento general, al medir la presión según diferentes direcciones alrededor de un punto esta no será constante, dependiendo la dirección donde la presión es máxima y mínima de la dirección y valor de la velocidad en ese punto. De hecho en un fluido newtoniano cuya ecuación constitutiva, que relaciona el tensor tensión con el tensor velocidad de deformación

Dónde: Son las componentes del tensor tensión. Son las componentes del tensor velocidad de deformación. Son las componentes del vector velocidad del fluido. Es la presión hidrodinámica. Son dos viscosidades que caracterizan el comportamiento del fluido. 18


Puede probarse que la presión hidrodinámica se relaciona con la presión media por

Dónde: , es la viscosidad volumétrica. , esla divergencia del vector velocidad



CONCLUSIONES   

Las fuerzas ejercidas por un fluido sobre las paredes de su recipiente siempre son perpendiculares a dichas paredes A cualquier profundidad particular, la presión del fluido es la misma en todas las direcciones Principio de Arquímedes: un objeto que está sumergido total o parcialmente en un fluido experimenta una fuerza ascendente (empuje) igual al peso del fluido desalojado. El trabajo neto realizado sobre un fluido es igual a los cambios de energía cinética y potencial de dicho fluido.



RECOMENDACIONES  
Aplicar cada una de las ecuaciones y teoremas intervenidos y mencionados para la solución de problemas teóricos y físicos sobre los fluidos. Realizar experimentos para la aplicación de los teoremas mencionados y descritos.



BIBLIOGRAFIA
        https://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/fisica/contenido/material-de-clase/Tema7/fluidos.pdf https://www.fis.puc.cl/~jalfaro/fis1503/clases/fluidos.pdf https://avdiaz.files.wordpress.com/2008/10/guia1enclase.pdf https://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/labdemfi/fluidos/html/fluidos.html https://fisica6.galeon.com/enlaces2357991.html https://es.scribd.com/doc/6715150/Teorema-de-Torricelli https://rabfis15.uco.es/MecFluidos/1024/Untitled-19.htm TIPPENS física conceptos y aplicaciones sexta edición Mc Graw Hill.