CURVAS DE NIVEL
Una curva de nivel es aquella línea que en un mapa une todos los puntos que tienen igualdad de condiciones y de altura . Las curvas de nivel suelen imprimirse en los mapas en color siena para el terreno y en azul para los glaciares y las profundidades marinas y lacustres. La impresión del relieve suele acentuarse dando un sombreado que simule las sombras que produciría el relieve con una iluminación procedente del Norte o del Noroeste. En los mapas murales, las superficies comprendidas entre dos curvas de nivel convenidas se imprimen con determinadas tintas convencionales (tintas hipsométricas). Por ejemplo: verde oscuro para las depresiones situadas por debajo del nivel del mar, verdes cada vez mas claros para las altitudes medias, y sienas cada vez mas intensos para las grandes altitudes, reservando el rojo o violeta para las mayores cumbres de la tierra 1]

En Geodesia, es cada una de las curvas de nivel que materializa una sección horizontal de relieve representado. La equidistancia, diferencia de altitud entre dos curvas sucesivas, es constante y su valor depende de la escala del mapa y de la importancia del relieve

SUPERFICIES CILINDRICAS.

Sea C una curva de un plano n y sea l una recta no paralela a n. Se define Superficie Cilíndrica al conjunto de puntos que perteneces a rectas paralelas aly que intersecan a C.

A C sela denomina Curva Generatriz (o Directriz) ya l sela denomina Recta Generatriz.
Las superficies Cilíndricas que trataremos aquí seran aquellas que tienen la Curva Generatriz perteneciente a los planos coordenados y Rectas Generatrices Paralelas a los ejes coordenados. Es decir, si tienen una de la forma siguiente

F(x,y) =0 Curva Generatriz perteneciente al plano xy Rectas Generatrices paralela al eje z.

F(x,z)=0 curva generatriz perteneciente al plano xz, restas generatrices paralelas al eje y.

F(y,z)=0 Curva Generatriz perteneciente al plano yz Rectas Generatrices paralelas al eje x.

Ejemplo
Graficar z - ln y = 0
Solución.
Se dibuja primero la curva z = ln y en el plano zy y luego se trazan rectas paralelas al eje x siguiendo esta curva.

Ejemplos
Grafica z - seny = 0
y
Solución.Se dibuja primero la curva z = seny en el plano zy y luego se trazan rectas paralelas al eje x siguiendo esta curva.

2) SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

Las Superficies de Revolución que trataremos aquí son aquellas que se generan al girar 360° una curva perteneciente a uno de los planos coordenados alrededor de uno de los ejes coordenados.
Por ejemplo suponga que se tiene la curva z = f (y) (contenida en elplano ZY) y la hacemos girar 360°alrededor del eje y, entonces se forma una superficie de revolución, observe la figura:

La ecuación de la superficie de revolución se la deduce de la siguiente manera, La sección transversal es circular, por tanto:
r = √(0 - 0)2 + (y- y)2 + (f (y) - 0)2 = f (y) Como también se observa que:
r = √x - 02 + y- y2 + z - 02 = x2-z2

Entonces, igualando resulta:
X2 + Z2 =[ (F(Y) ] 2

Ecuación de una superficie de Revolución con curva generatriz x = f (y) (en el plano xy ) o también z = f(y) (en el plano zy), girada alrededor del eje 'y '.

X2 + Z2 ,también se llama binomio de circularidad, En cambio, si la curva generatriz anterior la hacemos girar alrededor del eje z, obtendríamos otra superficie de revolución, observe la figura:

Ejemplo 1
Encontrar la ecuación de la superficie de revolución que se generar al girar y = x
alrededor del eje y .

Solución.
Primero grafiquemos la curva generatriz en el plano xy y formemos la superficie de revolución.

Como el eje de rotación es el eje y, el binomio de circularidad sera: x2 + z2.

Por tanto, la ecuación de esta superficie sera de la forma: x2 + z2 = [ f(y)]2, donde f (y) es la ecuación de la curva generatriz; que en este caso seria: f (y) = y Por tanto, la ecuación de la superficie: x2+z2=y2
3SUPERFICIES CUADRICAS.

Las Superficies Cuadricas o simplemente Cuadricas con eje central paralelo a los ejes coordenados, tienen por ecuación

Ax2 + By2 + Cz2 + Dx + Ey + Fz + G = 0

Si la llevamos a la forma canónica, completando cuadrado, tendremos los siguientes lugares geométricos

3.1 ESFERA.

La ecuación canónica de la esfera es de la forma

(x – h) + (y - k)2 + (z-l )2 = r2 : con r2 > 0 Donde, su centro es C (h, k, l) y su radio es r.

Ejemplo-
La ecuación (x - 3)2 + (y - 2)2 + (z -1)2 = 9, tiene como lugar geométrico una esfera de centro C(3,2,1) y radio r = 3



Analice el lugar geométrico, si r2 < 0 y si r2 = 0

3.2 ELIPSOIDE

La ecuación canónica de un elipsoide es de la forma:
(x - h)2 + (y - k)2 + (z -l)2 = 1
A2 b2 c2
Donde, su centro es: C(h,k,l)

Ejemplo
La ecuación x2 + y2 + z2 = 1 representa un elipsoide con centro al origen. Su
4 9 1
traza(intersección) con el plano xy, se obtiene haciendo z=0, entonces resulta x2 + y2 = 1 la
4 9
ecuacion de un elipse. Ademas Toda la seccion transversales sonelipses ¿por que?
x2 + y2 + z2 =
4 9 1
y

3.3 HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
Un hiperboloide de una hoja con eje de simetría paralelo al eje z, tiene por ecuación:
(x - h) 2 + (y - k)2+ (z -1)2 = 1
A2 B2 C2
Suponga que 0=h, 0=k, 0=l, se tiene: x 2 + y2 + z2 = 1
A2 B2 C2
si Z=0 (se traza xy) : x 2 + y2 =1 :elipses
a2 b2
si Y=0 (se traza xz) : x 2 + z2 = 1 : hipérbolas
a2 c2
si X=0 (se traza YZ) : z 2 + y2 = 1 : hipérbolas
c2 b2

y

3.4 HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS

Un hiperboloide de dos hojas con eje de simetría paralelo al eje z, tiene por ecuación
(x - h) 2 + (y - k)2 -- (z -1)2 = -1
A2 B2 C2
Suponga que h=0, k=0, l=0 entonces tenemos: x 2 + y2 -- z2 = -1
A2 B2 C2
Z=0, se traza XY : : x 2 + y2 =-1 : no tiene forma geomerica
a2 b2
Z=C, tenemos: x 2 + y2 =0 :es un punto
a2 b2
Z > C, Z < -C tenemos: elipses
Y=0, se traza XZ: x 2 - z2 = -1 : hipérbolas
a2 c2
X=0,se traza ZY: - z 2 + y2 =-1 : hipérbolas
c2 b23.5 DOBLE CONO
Un Doble Cono con eje de simetría paralelo al eje z, tiene por ecuación:
(x - h) 2 + (y - k)2 -- (z -1)2 = 0
A2 B2 C2
Suponga que h = 0, k = 0, l = 0, se tiene: : x 2 + y2 -- z2 = 0
A2 B2 C2

Z=0, se traza XY: x 2 + y2 = 0: un punto
a2 b2
Z≠0, tenemos elipses
X=0, se traza ZY: : - z 2 + y2 =0 : 2 rectas
c2 b2
X≠0, tenemos hipérbolas
Y=0, se traza XZ: x 2 - z2 =0 : 2 rectas
a2 c2
Y≠0,tenemos hipérbolas

3.6 PARABOLOIDE ELIPTICO

Un Paraboloide Elíptico con eje de simetría paralelo al eje z, tiene por ecuación:

(x - h) 2 + (y - k)2 +-- (z -1) = 0
A2 B2

Suponga que h = 0, k = 0, l = 0, se tiene: x 2 + y2 = Z
A2 B2

Z=0, se traza XY: x 2 + y2 = 0: un punto
a2 b2
Z >0, tenemos elipses (a=b tenemos circunferencias, se denomina circunferencia paraboloide)
Si Z<0, no tenemos lugar geométrico
Y=0(Traza XZ ) tenemos : x 2 = Z: parabolas
A2
Si X=0(Traza YZ ) tenemos: y2 = Z: tenemos parabolasB2

3.7 PARABOLOIDE HIPERBÓLICO

Un Paraboloide Hiperbólico con eje de simetría paralelo al eje z, tiene por ecuación:
(x - h) 2 + (y - k)2 +-- (z -1) = 0
A2 B2


Grafiquemos: : -- x 2 + y2 = Z
A2 B2

Z=0, se traza XY: _ x 2 + y2 = 0: 2 rectas
a2 b2
Z >0 o Z<0, tenemos hiperbolas
Y=0 (Traza XZ ) tenemos : _ x 2 = Z: parabolas
A2
Si X=0(Traza YZ ) tenemos: y2 = Z: tenemos parabolas
B2

Interpretación geométrica de la derivada parcial

Recordemos que la grafica de Z= F(x,y) representa una superficie S . Si F(a,b)=c
entonces el punto P = (a, b, c) esta sobre la superficie S . El plano vertical y=b
interseca a la superficie S en la curva C1 (es decir, C1 es la traza de la
superficie S sobre el plano y=b. De manera semejante, el plano vertical x=a
interseca a la superficie S en la curva C2 . Ambas curvas pasan por el punto P.
Observe que la curva C1 es la grafica de la función de G(x,b) de manera que la
pendiente de su recta tangente T1 en el punto P es 3'(a) = fx(a,b).La curva C2 es
la grafica de la función G(y)=f(a,y). así que la pendiente de su tangente T2 en el
Figura 1: derivada parcial en P respecto a x Figura 1: derivada parcial en P respecto a y
[Ver en 3D - LG3D][Ver en 3D - Jview] [Ver en 3D - LG3D][Ver en 3D - Jview]
punto P es g'(b) = fv(a,b).
En las ligas [Ver en 3D - LG3D], puede arrastrar el punto P sobre la curva C

Por consiguiente, las derivadas parciales Fy(a,b) y Fy(a,b) pueden interpretarse geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas C1 y C2 en el punto P , respectivamente.
Las derivadas parciales pueden también ser vistas como razones de cambio.
Si Z=F(x,y), entonces Fx representa la razón de cambio de z con respecto a X,Ycuando permanece fija. De manera semejante,Fy representa la razón de cambio de z con respecto a Y , cuando X permanece fija.

. Ejemplo

cuando
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva que se obtiene de la intersección del
y el plano
£ =1/2
paraboloide

Solución

En este caso la pendiente de la recta tangente esta dada por

con lo cual, la recta es
P = (1/2 /4)
punto y así

pero pasa por el

En la figura 1 se muestra la recta tangente ¿ = 4- zz-yzìy= 1.
Parabola

Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente son
Figura 3: Tangente en P [Ver en 3D - Jview]
Figura 4: Tangente en P