ANALISIS DE MODELOS DE VIBRACIONES EN LAJAS Y PLACAS
Avelino Samartín Quiroga
Dept. Mee. Medios Con!. y Teoría de Estructuras. ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. UPM

Carlos Moreno Gonzalez
Dept. de Matematicas. ETS de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. UPM
Fecha de recepción: 27-IV-2001

ESPAÑA

400-38

RESUMEN
El presente trabajo se centra en el desarrol/o de los modelos matematicos precisos para simular las excitaciones y respuestas de caracter dinamico, que se introducen en los ensayos no destructivos de detección de imperfecciones. Las estructuras que se consideran se suponen constituidas por chapas de espesor delgado. Las fisuras, en estos casos, pueden ser penetrantes o de una profundidad significativa respecto de su espesor, o no penetrantes o superficiales, que afectan a la zona superficial de chapa. El primer tipo de fisura esta relacionado con la seguridad de la estructura y el segundo mas con su protección ambiental, al deteriorarse las pinturas de protección. Se han considerado dos tipos de modelos: uno, que intenta localizar la posición y magnitud de las imperfecciones en la estructura, en particular las fisuras, de caracter penetrante total. Para el/o se utilizan en el estudio modelos de vibraciones elasticas de estructuras delgadas como placas a flexión. El otro tipo de modelos analiza las vibraciones en lajas y en él se consideran vibraciones superficiales,como las ondas de Rayleigh. Se ha comprobado. en los modelos de estructuras pasantes, que las diferencias entre las frecuencias propias de las estructuras sanas y las fisuradas no son, en general, significativas. Por otra parte. la detección de posición de las fisuras. e. incluso. su mera presencia, mediante distintas normas de comparación entre los vectores modos propios no constituye un procedimiento fiable, ya que puede depender de la posición de la fisura (por ejemplo, cercana a un borde) y del modo de vibración que la excita. El método que parece mas prometedor esta basado en la medida de las rotaciones (o derivadas de los modos respecto a dos ejes ortogonales) en distintos puntos de la estructura y su representación mediante curvas de nivel. La posición de la fisura se refleja de forma muy clara y, en menor medida, pero de forma significativa. su posición e inclinación. Con este método no es estrictamente preciso efectuar el ensayo (o calculo a partir de su proyecto) de la estructura sana. Finalmente. en relación con las fisuras parcialmente pasantes, la utilización de ondas superficiales permite la detección de la existencia de fisuras no penetrantes y. en menor medida, de su geometría y profundidad de penetración. La generación numérica de ondas superficiales es compleja por los problemas de disposición que se producen en el calculo en diferencias en el tiempo y elementos finitos en el espacio.SUMMARY

This paper is related with the development of mathematical models aimed to simulate the dynamic input and output of experimental nondestructive tests in order to detect structural imperfections. The structures to be considered are composed by steel plates of thin thickness. The imperfections in these cases are cracks and they can penetrate either a significant part of the plate thickness or be micro cracks or superficial imperfections. They first class of cracks is related with structural safety and the second one is more connected to the structural protection to the environment. particularly if protective paintings can be deteriorated. Two mathematical groups of models have been developed. The first group tries to locate the position and extension of the imperfection on the first class, i.e. crack. Bending Kirchoff thin plate models belong to this first group and they are used to this respecto The another group of models is dealt with membrane structures under the superficial Rayleigh waves excitation. With group of models the micro cracks detection is intended. In the application of the first group of models to the detection of cracks, it has been observed that the differences belween the natural frequencies of the non cracked and the cracked structures are very smal/. Also modes vectors comparison using different norms are not reliable tools to detect structural imperfections. because thiscomparison may depends on the crack position and the excited mode. However, geometry and crack position can be identified quite accurately if this comparison is carried out belween first derivatives (mode rotations) of the natural modes are used instead. Final/y. in relation with the analysis of the superficial crack existence the use of Rayleigh waves is very promising. The geometry and the penetration of the micro crack can be detected very accurately. The mathematical and numerical treatment of the generation of these Rayleigh waves present, however serious complexities. particularly due to the dispersion problems appearing during the analysis by finite differences along the time domain and the computation of the larger number offinite elements on the spatial coordinates needed in this modelo


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l. Introducción

Un problema de gran importancia económica en los países industrializados corresponde a la gestión, mantenimiento y conservación de sus infraestructuras (puentes, presas, edificios, fabricas, etc.) así como medios de transporte e instalaciones. En esencia, la tarea se resume en alcanzar un conocimiento lo mas exacto posible del estado de funcionamiento y de resistencia de estructuras, normalmente no monitorizadas, de forma permanente. Las caracteristicas reales de la construcción de estas estructuras no son conocidas, en general, deforma precisa, lo que introduce un grado de incertidumbre acerca de su estado actual. No es de extrañar la existencia de programas europeos cuyos objetivos son desarrollar herramientas eficaces que permitan determinar el estado y la vida útil de las infraestructuras existentes. Entre estos programas, cabe citar [1] o los trabajos de la Universidad de Leuven, que utilizan modelos vectoriales autorregresivos (modelos ARMA) entre los que se pueden mencionar [4]. Una componente esencial en estos programas de investigación corresponde a la elaboración de técnicas de detección de imperfecciones en estructuras mediante ensayos no destructivos. Si bien existen procedimientos estaticos, una de las clases de ensayos mas utilizadas consiste en producir un estado de vibraciones [6], libres o forzadas, que permiten poner en evidencia la existencia de las imperfecciones estructurales que se estan considerando (geométricas, fisuraciones, degradaciones del material, etc.). El trabajo que aquí se presenta esta incluido dentro de un proyecto de investigación, de título: EXPLORACIÓN, MODELIZACIÓN Y
OPTIMIZACIÓN DE TÉCNICAS PARA LA DETECCIÓN DE GRIETAS EN ELEMENTOS MEC4NICOS MEDIANTE HOLOGRAFÍA TVBAJO EXCITACIÓN SÓNICA Y ULTRASÓNICA, financiado por la Comisión Interministerial Cientí-

fica y Técnica, y que se lleva a cabo en colaboración con los Departamentos de Física Aplicada de las ETS de Ingenieros Industriales de laUniversidad de Vigo y de Minas de la Universidad Politécnica de Madrid. En este proyecto se desarrollan tanto las técnicas de excitación dinamica de la estructura a evaluar, como las de medida de su respuesta, con objeto de alcanzar una metodología que vaya dirigida hacia la detección de sus posibles imperfecciones estructurales. La descripción global de este proyecto se espera que sea objeto de una publicación futura. En el presente estudio se analizaran los aspectos teóricos necesarios para replicar, mediante procedimientos matematicos, el comportamiento de las estructuras bajo las acciones dinamicas y, de esta forma, identificar, tanto cualitativa como cuantitativamente, la imperfección. En el estudio se pueden distinguir dos fases: en una primera fase se analiza el efecto de la presencia de una grieta o fisura y, posteriormente, mediante la resolución de un problema inverso o de identificación, se intentara deducir su posición y geometría. Este artículo se concentrara en la primera fase. Con objeto de simplificar el lenguaje se denominara, en lo que sigue, imperfección en una estructura a determinadas modificaciones de ésta respecto a las características teóricas del proyecto, tales como la presencia de grietas y fisuras, modiiicación de sus propiedades elasticas o geométricas, etc. Se distinguiran dos tipos de imperfecciones: el primero incluye fisuras, en general imperfecciones, denominadas penetrantes,que afectan a todo el espesor de la estructura y, el segundo, a fisuras no pasantes; es decir, que penetran en parte del espesor de la estructura y que suelen ser dificiles de detectar, particularmente si la estructura es de espesor delgado. Para el estudio del primer tipo de situaciones se aplicara la teoría de vibraciones de placas delgadas de Kirchhoff, de facil desarrollo y calculo. En el segundo, se recurrira a experimentación con ondas superficiales, en particular ondas Rayleigh, que permiten detectar fisuras con profundidades de penetración muy pequeñas.

2. Fisuras penetrantes. Placas elasticas
Se considera un problema modelo muy simple, con objeto de comprobar las posibilidades de los ensayos dinamicos con bajas frecuencias en estructuras de placas de flexión de espesor delgado. Se estudia el caso de una placa cuadrada simplemente apoyada en todo se contorno sujeta a vibraciones libres. El comportamiento de una placa de planta cuadrada, excitada en vibraciones libres, de lado a, espesor delgado h y simplemente apoyada en su contorno, se describe por el siguiente problema de autovalores:
pha4w

V'4 W = W=--= W=--= ax 2

D




(41)

0'33 =
O'r3 =

O O


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Informes de la Construcción, Vol. 53 n° 473, mayo/junio 2001

Dado el caracter lineal del problema de contorno definido por las ecuaciones (40) Y (41) es valido el principio de superposición y, por lo tanto, sólo se precisa resolver los dos siguientes problemas de contorno (i = 1,2) independientes de la variable tiempo t:
L(~)

=O

en

n

con las condiciones de contorno

~=

UÓi= UÓi= UÓi= O O'3aOi = O 0':3Oi =
La solución
U
S

en Xl = O si i = 1 en Xl = O si i = 2 en X3 -+ -00 en Xl -+ 00 en X3 = O en X3 = O

se obtiene entonces mediante la superposición de los dos calculos anteriores, es decir:

u' = ~l cos(wt) + ~2sen(wt)

(42)

Al sustituir (39) en el problema de condiciones iniciales y de contorno definido por (22), (37) y (38) y teniendo en cuenta la expresión (42) se obtiene el nuevo problema dinamico de elasticidad 2-D, con condiciones iniciales y de contorno homogéneas nulas siguientes:

L(u)

+ pü =

w2pu'

en

n

(43)

con las condiciones de contorno

u= u= u= O 0'33 = O 0'13 =
y las condiciones iniciales

en Xl = O en X3 -+ -00 en Xl -+ 00 en X3 = O en X3 = O

(44)

t) = O para t=O u(x¡, x3, t) = O para t=O
U(XI,X3'

(45)

El problema de condiciones iniciales y de contornodefinido por las ecuaciones (43), (44) Y (45) no presenta discontinuidades en el contorno y, por consiguiente, su comportamiento numérico es mas regular.

5. Simulación numérica. Aplicación
En la simulación numérica de ondas elasticas se utilizan, con diferentes ventajas e inconvenientes, métodos de diferencias finitas, de elementos finitos y de elementos de contorno. En este trabajo, se usa un esquema en diferencias finitas para la discretización temporal del modelo continuo y un método de elementos finitos para la discretización espacial. La ventaja de los elementos finitos reside en su versatilidad para refinar la malla en las zonas previsiblemente próximas a la fisura y en las zonas superficiales por donde se desplazan las ondas de Rayleigh. Se han utilizado elementos finitos isoparamétricos bilineales con interpolación en los vértices de los cuadrilateros de la red. La cuadratura numérica se ha llevado a cabo con una fónnula de Gauss de 4 nudos. La discretización espacial conduce a un sistema de ecuaciones diferenciales de gran tamaño. Al fin de aumentar la precisión y disminuir los efectos disipativos y dispersivos de un esquema, se ha considerado un esquema trapezoidal que produce un método implícito incondicionalmente estable de segundo orden de precisión, incluido en la llamada familia de métodos de Newmark. Los parametros seleccionados del método han sido -621, 200 l.

[7] Yuen, M. N. F. A numerical study oftheeigenparametersofadamaged cantilever. 10umal ofSound and Vibration, 103(3):301-310, 1985.
[8] Zienckiewicz, O.e. and Taylor, R.L. The Finite Element Method. Butterworth-Heinemann, Oxford, 2000.

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