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Distribuciones muestrales e introducción al diseño de experimentos

DISTRIBUCIONES MUESTRALES E INTRODUCCIÓN AL DISEÑO DE EXPERIMENTOS
Vladimir Moreno Gutiérrez 17 de Septiembre de 2011


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Índice general
Introducción 1.
ESTIMACIÓN Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS 1.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. MUESTRAS ALEATORIAS Y MUESTREO ALEATORIO . . . 1.3. DISTRIBUCIONES MUESTRALES . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Distribuciones muestrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. DISTRIBUCIONES MUESTRALES ASOCIADOS CON LA DISTRIBUCIÓN NORMAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO. . . . . . . . . . . .


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ÍNDICE GENERAL


Prefacio
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ÍNDICE GENERAL


Introducción
The introduction is entered using the usual chapter tag. Since the introduction chapter appears before the mainmatter TeX …eld, it is an unnumbered chapter. The primary di¤erence between the preface and the introduction in this shell document is that the introduction will appear in the table of contents and the page headings for the introduction are automatically handled without the need for the markboth TeX…eld. You may use either or both methods to create chapters at the beginning of your document. You may also delete these preliminary chapters.

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INTRODUCCIÓN


Capítulo 1

ESTIMACIÓN Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS
1.1. INTRODUCCIÓN

En esta sección estudiaremos la distribución de probabilidad de varios estadisticos muestrales tal como la media muestral y la varianza muestral, y aprenderemos sobre su uso.




1.2.

MUESTRAS ALEATORIAS Y MUESTREO ALEATORIO

Cuando se hace una investigación estadística se siguen ciertos pasos, como se hace en toda investigación; después de de…nir el modelo estadístico relativo al problema en estudio y antes de recolectar los datos es necesario decidir de que forma se van a recolectar estos datos, es decir que procedimientos se van a emplear para obtener la muestra, de manera que sea posible aprender algo acerca de la población sustentados estadisticamente en los datos extraídos de una parte de ella. Las razones por las cuales se utiliza el muestreo y no toda la población (censo) son varias: en las últimas décadas los grandes avances hechos en la teoría del muestreo, hacen posible medir algunas propiedades de una población obteniendo resultados …dedignos de métodos y procedimientos de muestreo correctos; por otra parte las poblaciones bajo estudio pueden ser in…nitas, en cuyo caso el muestreo es el único procedimiento posible, incluso en el caso de poblaciones …nitas lacantidad de sus elementos puede ser millones o miles de millones, y su enumeración sería imposible en términos practicos. Ademas, en algunas investigaciones, la medición de las propiedades o características de los elementos de la muestra conllevan a una destrucción de éstas, caso en el cual un censo implicaría la destrcción de la población. 1


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CAPÍTULO 1.
ESTIMACIÓN Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS

En la practica, para hacer inferencias solamente se toma una muestra, e independientemente del tamaño de ésta un hecho seguro es que sus características no son exactamente las de la población. ¿Cómo podemos, entonces, estar seguros sobre el grado de con…anza de nuestras conclusiones? La resupuesta es simple: la aleatoriedad de la muestra. La medición objetiva de los errores por muestreo requiere que la muestra sea al azar, para de esta manera aplicar las leyes de la probabilidad. TIPOS DE MUESTREO Los modelosde muestreo pueden agruparse en al azar y no al azar. El muestreo al azar también se conoce como muestreo probabilistico. El muestreo no al azar (juicio de expertos u otras consideraciones) es un proceso de selección de muestras sin el uso del azar, es decir se selecciona una muestra sobre una base de consideracioens distintas de probabilidad. En el caso de muestreo no al azar, la probabilidad de que cada individuo de la población sea extraído de la población es desconocida y la …delidad de sus resultados no es objeto deanalisis probabilístico, sino que consecuentemente debera depender del juicio de los expertos. Los distintos tipos de muestreo se resumen a continuación: 8 8 8 Con reemplazo > > > > > > Simple > > > > > > Sin > > > > 8 reemplazo > > > > > > > > < Proporcional > > > > > > > > > > > > No proporcional Estrati…cado > > < > > : > > > > Cruzado Único > > > > 8 < > > > > Una etapa < > < > Azar > > Agrupado (conglomerados) Dos etapas Muestreo > > > > : > > > > > > Múltiples etapas > > > > > > : > > > > Sistematico > > > > > > > Doble > > > > > > > > > Múltiple > > > > : > > Secuencial > > : No al Azar (Juicio de espertos) MUESTREO ALEATORIO SIMPLE (M.A.S.) A partir de una población de N unidades se selecciona una, dando igual probabilidad a todas las unidades, con ayuda de una tabla de números aleatorios (o algún método matematico para generarlos). Si el muestreo simple se hace con reemplazo, entonces se toma la información relevante de la unidad seleccionada y se regresa a la población donde se mezcla con las demas. Si este procedimiento se repite n veces, se obtiene una M.A.S. de n unidades. Si cada una de las n unidades seleccionadas, una a una, se separa de la población (no se retorna) entonces se tendra una M.A.S. sin reemplazo. De…nición 1.1 Si de una población de tamaño N se selecciona un tamaño de muestra n, de manera que cada muestra tenga la misma probabilidad de ser seleccionada, el procedimiento de muestreo se denominamuestreo aleatorio simple. A una muestra obtenida de esta manera se denomina muestra aleatoria simple.




1.2. MUESTRAS ALEATORIAS Y MUESTREO ALEATORIO

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El número de muestras de tamaño n tomadas aleatoriamente de una población N N de tamaño N , sin reemplazo es igual a = n!(N ! n)! n El número de muestras de tamaño n tomadas aleatoriamente de una población de tamaño N , con reemplazo es igual a N n Ventajas de este procedimiento: 1) Es sencillo y de facil comprensión. 2) Es de calculo rapido de medias y varianzas. 3) Existen paquetes computacionales para analizar los datos. Desventajas: 1) Requiere que se enumere a toda la población (por tanto se recomienda para poblaciones pequeñas) 2) Si se trabaja con muestras pequeñas, se corre el riesgo de que no representen a las población adecuadamente. Ejemplo 1.1 Una población esta conformada por las unidades A; B; C; D; E; Hacer un listado de todas las muestras de tamaño 2 que se peuden seleccionar aleatoriamente de la población. En este caso N = 5; n = 2, por tanto el número de muestras de tamaño 2 5 5! es = 2!3! = 10, el listado de estas muestras es AB; AC; AD; AE; BC, 2 BD; BE; CD; CE; DE: ¿ Cual es el número de muestras aleatorias de tamaño 3, con repetición que se pueden sacar de esta población?, ¿ Cual es el número de muestras aleatorias de tamaño 2, si el muestreo simple se hace sin reemplazo? ¿ Cual es el número de muestras aleatorias de tamaño 3, si el muestreosimple se hace sin reemplazo? MUESTREO ESTRATIFICADO Si la población es heterogénea y las consideraciones de costo limitan el tamaño de la muestra, podría ser imposible obtener un estimador lo su…cientemente preciso tomando una muestra aleatoria simple de toda la población. La idea es dividir la población de manera que se reduzca, considerablemente, la variación dentro de los subconjuntos en que ésta se dividió, para hacer una mejor estimación de la característica o propiedad en estudio de la población. El proceso de estrati…cación requiere que la población sea dividida en grupos o clases, llamados estratos. Entocnes se toma una muestra de cada estrato por métodos simples al azar y la muestra resultante se denomina muestra estrati…cada. Una muestra estrati…cada puede ser porporcional o no proporcional. En el muestreo estrati…cado proporcional el número de unidades extraídas de cadaestrato es proporcional al tamaño de éste. Ejemplo 1.2 Si la población se divide en cuatro estratos, de tamaños 15 %, 20 %, 25 % y 40 % de la población, y ha de extraerse una muestra de tamaño


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CAPÍTULO 1. ESTIMACIÓN Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS

1000, entonces la muestra proporcional deseada se debera obtener de la siguiente manera: Estrato Tamaño de la muestra I 1000 15 % = 150 unidades II 1000 20 % = 200 unidades . III 1000 25 % = 250 unidades IV 1000 40 % = 400 unidades Tamaño de la muestra estrati…cada 1000 unidades El muestreo estrati…cadono proporcional incluye los procedimientos de tomar un número igual de unidades de cada estrato, sin tener en cuentasu tamaño, ode dar solo una pequeña rpresentación a uno o mas estratos cuyos miembros son demasiado costosos de investigar pero que resulta valioso incluirlos. Este tipo de muestreo es e…ciente con poblaciones heterogéneas o altamente asimétricas, estrati…cando la población de manera que dentro de cada estrato haya la mayor homogeneidad posible, y entre losdistintosestratos las diferencias sean lo mas grande posibles. MUESTREO POR CONGLOMERADOS. Este método de muestreo consiste en dividir la población en en grupos o regiones, y extraer una muestra de ellos pararepresentar la población. Cuando los grupos o regiones (que son las unidades primarias) son extraídos, se peuden incluír en la muestra todas las unidades elementales de las unidades primarias, o tomar una muestra de cada unidad primaria para construir la muestra de…nitiva. En el caso de tener en cuenta todas las unidades elementales de las undiades primarias, se dice que se ha realizado un muestreo por conglomerados en una sola etapa, y cuando se toma una muestra de cada unidad primaria entonces se ha desarrollado un muestreo por conglomerados en dos etapas, o un submuestreo. En ambos diseños la muestra se toma simple y al azar. MUESTREO SISTEMATICO. Este tipo de muestreo se consigue enumerando las unidades de muestreo de la población progresivamentede 1 a N , determinar la longitud del intervalo de muestreo, k = N , entonces se selecciona un número a al azar en el primer inn tervalo de muestreo, el que va de 1 a [k], entonces la muestra de tamaño n tendra como sus unidades a los miembros cuyos números de serie correspondientes a a; a + k; a + 2k; a + 3k; : : : ; a + (n 1)k: Ejemplo 1.3 De una población de tamaño 100000 se queire tomar una muestra sistematica de tamaño 500. entonces procedemos a determinar la longitud del intervalo de muestreo: k = 100000 = 200, Después escogemos un número al azar 500 entre 1 y 200, digamos que es 85, entonces la muestra sistematica comenzara con el miembro número 85 de la población numerada y se escogera cada 200 un nuevo miembro, es decir la muestra sistematica correspondera a los miembros cuya etiqueta ordinal es: 85; 285; 485; 685; 885; 1085; : : : ; 99885: MUESTREO DOBLE, MULTIPLE Y SECUENCIAL. Los anteriores métodos de muestreo se concoen como muestreos únicos, ya que cada método se empela para obtener un sola muestra, de la cual se hara una estimación o prueba de hipótesis.


1.3. DISTRIBUCIONES MUESTRALES

5

El muestreo doble es el proceso mediante el cual se toma una muestra pequeña y de acuerdo con algún criterio, previamente establecido, se toma ladecisión de aceptar, rechazar o tomar una segunda muestra. El muestreo múltiple realiza una serie de muestras pequeñas tal que el número acumulado de alguna característicase compara con algún criterio para aceptar o rechazar luego de extraida cada muestra hasta que …nalmente pueda tomarse una decisión. En el muestreo secuencial, se inspeccionan las unidades una a una y se decide si aceptar o rechazar la muestra de acuerdo con los resultados obtenidos en cada unidad. Ejemplo 1.4 Para un muestreo doble de…nimos la siguiente regla de decisión: Escoja una muestra al azar de 50 unidades, si se encuentran 3 o menos unidades defectuosas se acepta la muestra ( o lote), si se encuentran 5 o mas unidades defectuosas se rechaza la muestra, pero si se encuentran exactamente 4 unidades defectuosas se toma una segunda muestra de 30 unidades, el total muestreado es de 80 unidades.

1.3.
1.3.1.

DISTRIBUCIONES MUESTRALES
INTRODUCCIÓN

Las distribuciones muestrales juegan un papel muy importante en analisis estadístico y toma de decisiones. Empezaremos el estudio de este tema analizando la distribución de un estadístico calculado de una muestra aleatoria. En la sección anterior al tomar una muestra aleatoria de una población cada unidad de la muestra fue tomada aleatoriamente, de esta manera cada unidad de una muestra corresponde a la realización de una variable aleatoria. En este sentido una muestra es un conjunto de variables aleatorias X1 ; X2 ; X3 ; : : : ; Xn , por tanto un estadístico muestral, que es una función de la muestra aleatoria, también es una variable aleatoria. La distribución deprobabilidad de un estadístico muestral se llama su distribución muestral. Las distribuciones muestrales son los instrumento de enlace entre la teoría de probabilidad y la inferencia estadística. La capacidad paradeterminar la distribución de un estadístico es una etapa crítica en la construcción y evaluación de modelos o procedimientos estadísticos. Es importante observar que existe diferencia entre la distribución de la población, de la cual la muestra se tomó, y la distribución del estadístico muestral. En general una población tiene una distribución que usulamente es desconocida, mientras que un estadístico tiene una distribución muestral, que usualmente di…ere de la distribución poblacional. La distribución muestral de un estadístico provee de un modelo teórico del histograma de frecuencias relativas para los posibles valores del estadístico que uno podría observar a través del muestreo repetido.


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CAPÍTULO 1.
ESTIMACIÓN Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS

1.3.2.


Distribuciones muestrales.

En muchas situaciones realizar un censo (estudio de todos los elementos de la población) resulta imposible y altamente costoso, es preferible llevar a cabo un muestreo (instrumento para obtener un subconjunto represetativo de la poblacion) para obtener información de toda la población. Ahora bien, un muestreo solamente permitira conseguir información de una parte de la población y por tanto es de esperar un error de precisión enla información obtenida en la muestra respecto a la caracterisica de la población que se quiere medir, es decir en todo muestreo existe un error de muestreo. De…nición 1.2 Una muestra es un conjunto de variables aleatorias observables X1 ; X2 ; X3 ; : : : ; Xn :El número n se llama el tamaño de la muestra. Si cada variable aleatoria Xj tiene la misma distribución de probabilidad entonces se dice que las variables aleatorias X1 ; X2 ; X3 ; : : : ; Xn se distribuyen identicamente. De…nición 1.3 Una muestra aleatoria de tamaño n de una población es un conjunto de n variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas (iid) X1 ; X2 ; X3 ; : : : ; Xn : De…nición 1.4 Una función T de las variables aleatorias X1 ; X2 ; X3 ; : : : ; Xn , que no depende de algún parametro desconocido, se llama un estadístico. Es decir un estadístico es una medidade descripción numérica de una muestra, mientras que un parametro es una medida de descripción numérica de una población.

Ejemplo 1.5 Dada X1 ; X2 ; X3 ; : : : ; Xn una muestra aletoria de una población, n X 1 Xj , y la varianza muesentonces la media muestral esta de…nida por X := n
j=1

tral por S 2 :=

1 n 1

que inclusive con muestras aleatorias, existe una variabilidad muestral o error, es decir si seleccionamos diferentes muestras de la misma población, un estadístico tomara diferentes valores en las diferentes muestras.

n X j=1

Xj

X , son ejemplos deestadísticos. Observemos

2

De…nición 1.5 La distribución de probabilidad de un estadístico muestral se llama distribución muestral. Ejemplo 1.6 Consideremos una población …nita compuesta por cinco unidades f1; 2; 3; 4; 5g. Hallar todas las posibles muestras consistentes de tres unidades seleccionadas aleatoriamente, sin reemplazo, de la población. Obtener la distribución de la media muestral.


1.3. DISTRIBUCIONES MUESTRALES Como no importa el orden de las unidades seleccionadas, entonces existen

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5 = 3 10 muestras de tamaño 3. Éstas son: f1; 2; 3g, f1; 2; 4g, f1; 2; 5g, f1; 3; 4g, f1; 3; 5g, f1; 4; 5g, f2; 3; 4g, f2; 3; 5g, f2; 4; 5g, f3; 4; 5g. Calculamos las medias para cada una de las diez muestras, y obtenemos la distribución muestral de X:
7 8 10 11 x 2 3 4 3 3 3 3 1 2 2 2 1 1 1 P (x) 10 10 10 10 10 10 10 2 Por ejemplo P 10 = P X = 10 = 10 porque las dos muestras f1; 4; 5g y 3 3 f2; 3; 5g ambas dan un promedio x = 10 , que es un estimado de la media pobla3 cional, . El siguiente resultado establece que si se selecciona una muestra aleatoria de una población con media y varianza 2 , entonces se peude obtener la media y desviación estandar del estadistico X en terminos de la media y la desviación estandar de la población, sin importar la forma de la distribución poblacional.

Teorema 1.1 Sea X1 ; X2 ; X3 ; : : : ; Xn , una muestra aleatoria de tamaño n de 2 una población con media y varianza 2 , entoncesE X = y V ar X = n : Se denotara E X =
X

y V ar X
2 X
2

=

2 , X

por tanto del teorema anteri-

or se tendra X = y = n : X se llama el error estandar de la media. Notemos también que la variaza de cada una de las variables aleatorias X1 ; X2 ; X3 ; : : : ; Xn , es 2 , mientras que la varianza de la media muestral X es 2 2: n , que es menor que la varianza de la población para n En el caso de poblaciones …nitas se tienen formulas para las medias y varianzas poblacionales y las correspondientes medias y varianzas muestrales, como se establece a continuación. Sea fc1 ; c2 ; : : : ; cN g una población …nita. Entonces la media y varianza poblaN N X X 2 1 1 cional son = N cj ; 2 = N (cj ) , respectivamente. En el siguiente
j=1 j=1

teorema se establece la relación entre las medias y varianzas muestrales con las poblacionales.

Teorema 1.2 Si X1 ; X2 ; X3 ; : : : ; Xn , es una muestra de tamaño n, seleccionada sin reemplazo de una población de tamaño N , entonces E X = ; y V ar X =
2

n

N N

n 1

:

Observaciones: En el teorema no se exige que la muestra sea aleatoria, y las variables aleatorias XJ no son iid. El factor N n es frecuentemente llamado el factor de corrección para población N 1 …nita. Aunque el muestreo sin reemplazo en poblaciones …nitas causa dependencia de las variables aleatorias Xj , cuando el tamaño de la muestra es pequeño (respecto del tamaño de la población), este factor decorrección es aproximadamente igual a 1. Por consiguiente emplearemos, para poblaciones …nitas, la varianza muestral con este factor igual a 1.


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CAPÍTULO 1.
ESTIMACIÓN Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS

Ejemplo 1.7 Hallar la media y la varianza de X en el ejemplo 1.6.
Solución 1.1 Este ejemplo corresponde a una población …nita de cinco unidades, 1 1 8 con media poblacional = 3, y 2 = 2. Entonces E X = 2 10 + 7 10 + 3 3
2 10

+3

2 10 2 10

+ 10 3

2 10 2 10

+ 11 3
10 2 3

1 10

+4
2 10 2

1 10

= 3, y E X
1 2 10 + 4 2 = 28 3

2

= 22
1 840 10 = 90 1 32 = 3 ,

1 10

+

7 2 3

1 10

+

8 2 3

+ 32

+

+

11 2 3

=

28 3 ,

entonces,

E X la varianza es V ar X = E X a la sexta parte de la varianza poblacional.

que corresponde

Proposición 1.1 Si X1 ; X2 ; X3 ; : : : ; Xn , es una muestra de tamaño n, seleccionada de una población con media y varianza 2 , entonces la varianza muesPn 2 tral S 2 := n 1 1 i=1 Xi X satisface E[S 2 ] = 2 : Esta proposición signi…ca que el estadístico S 2 es e…ciente ya que su valor esperado es exactamente igual al parametro población que se pretende estimar.

Ejemplo 1.8 Supongamos que la población de interés consiste de cinco jugadores de un equipo de atletismo, que se llamaran A, B, C, D y F. La característica de interés es su altura, la siguiente tabla lista estos valores: Atleta A B C D E estatura(cm) 172 180 165 175 170 a) Obtenerla distribución muestral de la media muestral para muestras detamaño 2. b) Emitir concepto estadístico respecto del error muestral cuando altura media de una muestra aleatoria de tamaño dos se utiliza para estimar la altura media poblacional. c) Hallar la probabilidad de que, para una muestra de tamaño dos, el error muestral al estimar la media poblacional por la media muestral sea de 2cm o menos, es decir determine la probabilidad de que x se encuentre a 2cm de . 5 X

Calculemos la media poblacional: = i=1 = 172+180+165+175+170 = 171;4 5 5 a) Dado que la población es pequeña, entonces podemos listar todas las muestras de tamaño dos en una tabla: Muestra Estaturas Media 176 168.5 173.5 171 172.5 177.5 175 167.5 167.5 172.5


1.3. DISTRIBUCIONES MUESTRALES

9

B) De esta tabla podemos deducir que ninguna de las muestras de tamaño dos tiene una estatura promedio igual a la estatura media de la población, por tanto el muestreo aleatorio simple da liugar a un error, en este caso el error de muestreo va desde 0.4 hasta 6.1. C) Las muestras aleatorias de tamaño 2 que se encuentran a 2cm o menos de la estatura media poblacional son: {, , }, por tanto la probabilidad de que la estatura media muestral se encuentre a 2cm o menos de 3 la estatura mediapoblacional es de 10 = 0;30 = 30 % Ejercicio 1 Supongamos que la población de interés consiste en los principales jugadores de fútbol de la selección española, que alcanzó el campeonato en el año 2010. Llamaremos a estos jugadores A, B, C, D, E, F, G, H, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U. Supongamos que las características de interés son: estatura, peso, edad. En la siguiente tabla se listan los jugadores y los valores de las tres características. Jugador Estatura (cm) Peso (kg) Edad (años) A 182 85 29 B 190 85 28 C 192 85 23 D 178 78 32 E 183 81 24 F 182 79 28 G 189 83 22 H 175 69 23 I 168 66 30 J 170 65 26 K 177 67 24 L 169 68 23 M 185 69 26 N 175 69 29 O 182 76 31 P 190 86 22 Q 195 90 25 R 182 78 32 Emplear el programa R para desarrollar los siguientes puntos. a) Obtener la distribución muestral de la media muestral para muestras de tamaño 2, para cada una de las características: estatura, peso, edad. b) Hallar la probabilidad de que, para una muestra de tamaño dos, el peso medio muestral se encuentre a mas de 2 kg del peso medio poblacional. c) Hallar la probabilidad de que, para una muestra de tamaño dos, la edad media muestral se encuentre a mas de 5 años de la edad media poblacional.

1.4.

DISTRIBUCIONES MUESTRALES ASO-


10

CAPÍTULO 1. ESTIMACIÓN Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS

CIADOS CON LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Proposición 1.2 Sean X1 ; X2 ; X3 ; : : : ; Xn , variables alestorias independientes tales que Xj sedistribuye normal con media j y varianza 2 , para cada j, j n X j = 1; 2; : : : ; n, entonces la distribución de la variable aleatoria Y = aj Xj
j=1

es normal con media

Y

=

n X j=1

aj

j

y varianza

2 Y

=

n X j=1

a2 j

2 j.

Proposición 1.3 Si X1 ; X2 ; X3 ; : : : ; Xn , es una muestra de tamaño n, seleccionada de una población normal con media y varianza 2 , entonces X = n X 2 1 2 Xj se distribuye normal con media X = y varianza X = n : n
j=1

Ejemplo 1.9 Un estudio pediatrico a…rma que la edad promedio para la cual bebés niñas empiezan a caminar es de 11; 4 meses. Veinte bebés niñas, seleccionadas aleatoriamente, se han encontrado que empiezan a caminar a una edad media de 11; 5 meses, con una desviación estandar de 2 meses, ¿ coincide con la a…rmación del estudio pediatrico?. Supongaque la la muestra aleatoria proviene de una población normal. Solución 1.2 Denotemos con X la variable aletoria .ed ad en que una bebé niña empieza a caminar', entonces por la proposición inmediatamente anterior X se 2 4 distribuye normal con media = 11;4 y una varianza n = 20 = 0; 20: Entonces
11;4 0;1 1 = 0; 69146246 = P Z P X 11; 5 = P X 0;20 0;2 = 0; 5 2 69;15 %. No es posible estar de acuerdo con la conclusión del estudio ya que es probable que un signi…cativo número de bebés niñas (un poco mas del 30 %) empeice a caminar luego de los 11; 5 meses.

1.4.1.

DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO.

Unadistribución chi-cuadrado se utiliza en muchos problemas de inferencia, por ejemplo en aquellos que tienen que ver con la varianza. Esta distribución es un caso especial de la distribución Gamma, con = n y = 2. Si n es un númnero 2 entero positivo, entonces se llama grados de libertad. Sin embargo, si n no es un entero positivo pero = 2, todavía nos referiremos a esta distribución como chi - cuadrado. La media y la varianza de una distribución chi-cuadrado son = n y 2 = 2n, respectivamente. Una variable aleatoria chi-cuadrado con n grados de libertad se simboliza mediante 2 (n). Proposición 1.4 La suma de k variables aleatorias chi-cuadrado, independientes, X1 ; X2 ; X3 ; : : : ; Xk donde Xj se distribuye 2 (nj ) es una variable aleatoria chi-cuadrado con n = n1 + n2 + : : : + nk grados de libertad.


1.4. DISTRIBUCIONES MUESTRALES ASOCIADOS CON LA DISTRIBUCIÓN NORMAL11 Proposición 1.5 Sean X1 ; X2 , variables aleatorias independientes X1 chi-cuadrado, con n1 grados de libertad y Y = X1 + X2 chi-cuadrado con n2 gradosde libertad, entonces la variable aleatoria X2 es una distribución chi-cuadrado con n2 grados de libertad. Proposición 1.6 Si X es una variable aleatoria Gamma con parametros y , entonces la variable aleatoria Y = 2X se distribuye chi-cuadrado 2 (2 ) : Proposición 1.7 Si X es una variable aleatoria normal estandar entonces X 2 es una variable aleatoria chi-cuadrado con un grado de libertad.

 





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