Fractales
Métodos numéricos, Diciembre de 2008.

Abstract
Los fractales son fenómenos presentes tanto en la naturaleza como en las matemáticas. Sin embargo, la difusión de su existencia, características y aplicaciones es precaria. Es por ello que en este trabajo se presenta en términos, más o menos generales, lo que es un fractal, su historia y características así como la construcción de algunos de ellos. Esperando con ello, dar cierto conocimiento de éstos llamados anteriormente “conjuntos monstruosos”.

1. Un poco de historia.
A comienzos del siglo pasado, se empezó a explorar la estructura geométrica de conjuntos de puntos de la recta que, aunque insignificantes en cierto sentido,  poseían sorprendentes propiedades geométricas, aritméticas y analíticas. Estos conjuntos, venían siendo ignorados debido a que eran considerados “informes, amorfos, monstruosos” e incluso “patológicos”[1]; pero a medida que se fueron encontrando procedimientos eficaces para distinguirlos, medirlos y estudiarlos, los matemáticos se fueron percatando de sus semejanzas con procesos y formas de la naturaleza misma y de otros objetos de diferentes campos de la ciencia.

 
En 1919, Hausdorff construyó la herramienta fundamental para la medición de estos conjuntos peculiares mediante la introducción de lo que hoy se llaman medidas y dimensión de Hausdorff. En los años 20, Besicovitch trabajó con las propiedades geométricas de los conjuntos con dimensión de Hausdorff entera creando así la teoría geométrica de lamedida. Sin embargo, es hasta los años 70 cuando Benoit Mandelbrot, se interesó por la posibilidad de que una regla o cierto tipo de orden determinara el ruido que se proyectaba en las comunicaciones entre ordenadores, lo que lo llevó a encontrarse con estos conjuntos “monstruosos” que bautizó con el nombre de fractales. Mandelbrot publicó en 1977 un libro titulado “The Fractal Geometry of Nature” con gran cantidad de aplicaciones de estos conjuntos a diferentes ramas de las ciencias aplicadas. Este libro tuvo gran éxito y difusión entre el mundo científico y desde entonces se conoce a esta rama de la matemática con el nombre de Geometría Fractal 6]

Figura 1 Algunos fractales en la naturaleza. Tomada de: Wikipedia [3]

2. sQué es un fractal?

La palabra “fractal” proviene del latín fractus, que significa “fragmentado”, “fracturado”, o simplemente “roto” o “quebrado”. Un fractal viene a ser el producto que se origina a través de la iteración infinita de un proceso geométrico especificado. Este proceso geométrico elemental (simple), determina perfectamente la estructura final, que muy frecuentemente, debido a la repetición infinita que se ha efectuado, tiene una complicación aparente extraordinaria.[1]

La geometría fractal viene a constituir un puente entre la geometría clásica y el análisis moderno, utilizando como éste, de modo muy fundamental, los procesos infinitos de construcción, pero ampliando los objetos a los que se aplica, que son procesos de naturaleza más global y geométrica. Loanterior, nos provee tanto una descripción como un modelo matemático para muchas de las complejas formas encontradas en la naturaleza. Formas tales como montañas, nubes o líneas costeras no son fáciles de describir con la tradicional geometría euclídea. Esta auto-semejanza estadística es la cualidad fundamental de los fractales que aparecen en la naturaleza 6]

3. Dimensión fractal.

Ahora que conocemos parte del contexto en el que se encuentran los fractales seguiremos con su definición formal, la cual dice

Un fractal es por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.[1]

Dimensión topológica y Dimensión fractal.
Desde un cierto punto de vista (que llamaremos topológico) una circunferencia y un segmento de recta son la misma curva y encierran el mismo tipo de superficie puesto que es posible transformar una en la otra mediante una deformación continua, es decir, sin cortar o someter a manipulaciones 'no topológicas”. Ahora bien, desde otro punto de vista (métrico) no son la misma curva, ya que la circunferencia y el área que encierra, el círculo, son finitos, y, en cambio, el segmento, aunque es finito, no encierra con su borde un área finita. En el ejemplo anterior, lo que se conserva es su carácter topológico, es decir, su dimensión topológica.

La definición de dimensión topológica dada por Henri Poincaré fue la siguiente:
* El conjunto vacío tiene dimensión -1.
* Si los bordes de los entornospequeños de todos los puntos del ente son espacios (n-1)-dimensionales, decimos que el espacio que consideramos es n-dimensional.

Así, según esto, se tiene:
* Conjunto vacío: dimensión topológica: D = -1
* Punto: D = 0
* Segmento: D = 1
* Cuadrado: D = 2
* Cubo: D = 3

Otra definición de dimensión topológica es por semejanza, llamada también de autosemejanza, que sugirió Félix Hausdorff en 1919, readaptada posteriormente por Besicovich (dimensión de Hausdorff-Besicovich o Topológica). Si al obtener desde un ente H, N entes iguales, semejantes al original, con razón de semejanza r, entonces la dimensión topológica de H es el número real D que verifica[6]:
NrD = 1
Figura 2 Segmento dividido en 5 partes iguales (5 seg. congruentes). Adaptada de: Polar (2006) [5

Figura 3 Cuadrado dividido en 16 partes iguales (16 cuadrados congruentes) para lo cual se dividió cada lado en 4 partes. Adaptada de: Polar (2006) [1

Figura 4 Cubo dividido en 8 partes iguales (8 piezas cúbicas congruentes) para lo cual se dividió cada arista en 2 segmentos iguales. Adaptada de: Polar (2006) [5]

El número de partes o piezas en cada uno de los tres casos presentados en la página anterior es:

En el segmento

En el cuadrado 16 = 42
En el cubo 8 = 23

Si examinamos el valor del exponente en cada una de esas igualdades, encontramos que éste es la dimensión de cada objeto (1, 2 y 3) y así podemos formular la siguiente ecuación[5]:

De esa ecuación resulta, al despejar D:Ahora seguimos ese procedimiento con un objeto fractal, por ejemplo, con el conjunto de Cantor, partiendo de un segmento, se divide en tres segmentos de igual longitud y se suprime el segmento o parte central; se obtienen dos segmentos congruentes y se itera con éstos el procedimiento anterior. Como cada segmento se divide en tres piezas idénticas y se suprime una pieza, entonces N=2 y el factor de disminución es c= 1/3, por lo tanto k=3 es el factor de aumento, resultando 2=3D de donde:

D= Ln 2 / Ln 3 = 0 . Como 0<D<1, el conjunto o fractal de Cantor es más que un punto (dimensión 0) y menos que una línea (dimensión 1).

Figura 5 Fractal: Conjunto de Cantor Adaptada de: Polar (2006) [5

Un fractal, además de tener una dimensión fraccionaria, es una forma geométrica que presenta “simetría de escala”. Es decir, si se aumenta cualquier zona de la misma un número cualquiera de veces seguirá pareciendo la misma figura[7].

Figura 6 Un Fractal, el conjunto de Mandelbrot para denotar la autosemejanza de un fractal. Nótese que el cuadro ampliado en la imagen de abajo es casi idéntico al de arriba. Tomada de: Wikipedia (2008) [3]

4. Tipos de fractales.

Los fractales (“artificiales”) pueden generarse empleando números reales o complejos.

4.1 Fractales Reales.
Este tipo de fractales poseen reglas geométricas de reemplazo que se realizan un número infinito de veces, como el conjunto de Cantor mencionado anteriormente. Algunos de estos fractales son

Curva deHilbert
Descrita por el matemático alemán David Hilbert en 1891 es, a grandes rasgos, una línea que llena un área. Su construcción es como sigue.

Teniendo un cuadrado, se divide en cuatro cuadrados iguales (imaginarios). Se unen los centros de los cuatro cuadrados como muestra la figura superior izquierda. Se vuelve a dividir cada cuadrado en cuatro y se unen de nuevo los centros de todos los cuadrados mediante una sola curva siguiendo el patrón mostrado en la figura superior central, nótese que la curva serpentea sin pasar dos veces por el mismo punto. Repitiendo el procedimiento infinitamente en el límite se obtiene la curva de Hilbert[8].

Propiedades
Dimensión Hausdorff (cuando ): 2
Perímetro: (cuando ):
Figura 7 Fractal: Curva de Hilbert. Tomada de: CampusRed (2007) [8

Copo de nieve de Koch:
Fue inventado por el matemático sueco Helge von Koch en 1906. Su construcción es como sigue.

Se toma un segmento, se lo divide en tres partes iguales, se remplaza la parte central por dos partes de igual longitud haciendo un ángulo de π/3 radianes (60 grados). Luego, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da 16 segmentos pequeños. Repitiendo el procedimiento infinitamente en el límite se obtiene el copo de nieve de Koch[3].
Propiedades
Dimensión Hausdorff (cuando ): 1.26
Perímetro cuando :

Área:

Figura 8 Fractal: Copo de nieve de Koch. Tomada de: Anónimo (2008

Triángulo de Sierpiński
Descrita por el matemático polaco Waclaw Sierpińskien 1915. Su construcción es como sigue.

Partiendo de un triángulo (no tiene por qué ser equilátero) se dibuja otro uniendo los puntos medios de sus lados. La figura resultante contiene cuatro triángulos semejantes al anterior, pero sólo tres comparten su orientación. Ese cuarto triángulo no pertenece a la curva, y se elimina. Repitiendo el procedimiento infinitamente en el límite se obtiene el triángulo de Sierpiński[2].

Propiedades
Dimensión Hausdorff (cuando ): 1.58
Perímetro: (cuando ):
Área cuando : cero

Figura 9 Fractal: Triángulo de Sierpiński. Adaptada de: Wikipedia (2008) [3]

La representación de este fractal en MATLAB se hace mediante el siguiente código:

function sierpinski(a,b,c,n)
hold on;
plot(a(1),a(2),'.');
plot(b(1),b(2),'.');
plot(c(1),c(2),'.');
if nivel>0
p1=[(a(1)+c(1))/2 (a(2)+c(2))/2];
p2=[(a(1)+b(1))/2 (a(2)+b(2))/2];
p3=[(c(1)+b(1))/2 (c(2)+b(2))/2];
sierpinski(a,p2,p1,n-1);
sierpinski(p1,p3,c,n-1);
sierpinski(p2,b,p3,n-1);
end

En donde ‘a’, ‘b’ y ‘c’ representan las coordenadas de los vértices del plano y ‘n’ el número de iteraciones. El comando ‘hold on’ sirve para que futuras alteraciones se sobrescriban en la gráfica ya existente; ‘plot’ grafica en las coordenadas dadas un punto de color (default: azul). Después dependiendo el número de iteraciones se calculan los puntos medios que son los vértices de los triángulos interiores y se sigue con este proceso hasta la enésima vez. El resultado se muestra en las figuras siguientes con3 y 9 iteraciones respectivamente.

Figura 10.a Triángulo de Sierpiński en MATLAB con tres iteraciones. Tomada de: MATLAB 6.5 [4

Figura 10.b Triángulo de Sierpiński en MATLAB con nueve iteraciones. Tomada de: MATLAB 6.5 [4]

4.1 Fractales Complejos.
También conocidos como “de tiempo de escape” o de “orbita”, este tipo de fractales están definidos mediante una formula o relación recurrente (como iteración por punto fijo) en cada punto del espacio (real y complejo). Algunos de estos fractales son

Conjuntos de Julia
Sabemos que al evaluar una función polinomial, ciertos valores iniciales una vez iterados suficientes veces escapan al ∞ y otros parecen atraídos por el origen del plano, estando perfectamente acotados, estos últimos son los que forman J (Conjunto de Julia)[6].

Gastón M. Julia y Pierre Fatou, trabajaron a principios de siglo (1918) en funciones de variable compleja. Iterándolas y observando su comportamiento, dieron con muchas de las propiedades básicas de la iteración en el plano complejo[6]. Dado que las de tercer grado eran demasiado complejas para la época, Julia decidió enfocarse en los polinomios de segundo grado. Con su trabajo se convirtió en un precursor de los sistemas dinámicos, sistemas muy sensibles a las condiciones iniciales, en las que una pequeña variación provoca un comportamiento radicalmente distinto del previsto; para un valor z(0)=p la órbita generada era atraída al origen del plano, para otro valor z(0)=p+0.001i escapaba hacia el ∞.
Figura 11Conjunto de Julia para z2-c, con c=-0.75. El color negro indica convergencia, el blanco divergencia al infinito. Tomada de: MATLAB 6.5 [1]


Los sistemas dinámicos complejos estudiados por Julia y Fatou eran (C, fc) donde C es el campo complejo y viene dado por la expresión

fc(z)=z2+c
El trabajo de estos matemáticos se centró en determinar que sucedía con un punto en el sistema dinámico (C, fc), llegando a la conclusión de que para ciertos valores de ‘c’, la órbita de los puntos en un entorno del origen convergían a un punto fijo de la aplicación de fc, mientras que la órbita de los puntos más alejados del origen se iban al ∞. Cada uno de estos tipos de puntos constituye una región y en medio queda una frontera 'infinitamente delgada' que se conoce con el nombre de 'Conjunto de Julia'[6].

Sin embargo, no todos los valores z(0) que escapan al ∞ lo hacen a la misma velocidad, algunos lo hacen a la 3S iteración, otros a la 10S y otros debemos iterarlos cientos de veces para prever su comportamiento. Igualmente, tampoco todos los valores cuya órbita queda delimitada en el plano lo hacen a la misma velocidad. Por lo tanto, para representarlo se usan distintas tonalidades de colores dependiendo de la velocidad con que las órbitas escapan hacia el ∞ y a la que se acercan al origen[6].

Figura 12 Conjunto de Julia para z2-c, con c=-0.285 + 0.01i. El color y su tonalidad indican además la velocidad de convergencia. Tomada de: Wikipedia [3

A continuación se muestra un ejemplo decómo podemos visualizar los fractales gracias al uso de MATLAB.

puntos=300;
puntosx=linspace(-2, 2, puntos);
puntosy=linspace(-1.5, 1.5, puntos);
[X,Y]=meshgrid(puntosx,puntosy);
c=-.194-.6557*i;
Z=X+Y*i;
iteraciones=20;
for k=1:iteraciones
Z=Z.^2+c;
W=exp(-abs(Z));
end
colormap(bone);
pcolor(W);
shading flat;

El primer campo es la cantidad de intervalos en la que se dividen los ejes X y Y, denotados por las variables ‘puntosx’ y ‘puntosy’. Para convertirlos a ejes cartesianos, se utilizan el comando ‘meshgrid’ para asignarlo a una matriz [X, Y]. Por otra parte, estos valores de X y Y serán introducidos en la función Z, que representa un número complejo formado por X, la parte real, y Y*i, la parte imaginaria. A su vez, ese valor será introducido como semilla en la función Z a iterar n veces. Usando una variable adicional, se eleva e a la potencia del módulo del valor que devuelve Z. Usando el comando ‘pcolor’ se mapea el valor de la variable adicional en una paleta de colores. El algoritmo anterior devolvería algo como esto
Figura 13 Conjunto de Julia para z2-c, con c=-.194 + 0.6557i. El color blanco indica divergencia, el negro valores inmensos y el gris convergencia. Tomada de: MATLAB 6.5 [1

Lo que muestra MATLAB al mapear los colores es una representación del número Z en cada píxel en función de X y Yi. Si los valores son muy pequeños, tendrán una tonalidad gris plateada, mientras más pequeños sean, más claros serán, y mientras más grandes sean, se volverán másoscuros, o si son muy grandes, adquirirán un color negro. En el caso de los números que salen del conjunto y se disparan hacia el infinito, su color es blanco. Mientras menos iteraciones se hagan, MATLAB no puede alcanzar el valor más acertado de Z. Para explicar esto puede verse la siguiente figura, las mismas condiciones pero con 2 iteraciones solamente:

Figura 14 Figura anterior con sólo 2 iteraciones. No hay divergencia debido al reducido número de iteraciones. Tomada de: MATLAB 6.5 [4

En esta ocasión aparece el fondo de color negro debido a que los valores de Z en estos píxeles no se han disparado al infinito, pero tienen valores muy grandes. Por otra parte, se observa la región gris más extendida, debido a que MATLAB no ha podido determinar si el valor en esos puntos es más grande como para asignarle color negro. Lo anterior se demuestra en la siguiente figura donde se han hecho 40 iteraciones.
Figura 15 Figura anterior con 40 iteraciones. Obsérvese la similitud entre cada una de las “islas”. Tomada de: MATLAB 6.5 [4]

Conjunto de Mandelbrot
Siguiendo las aportaciones de Gastón Julia, Mandelbrot descubrió en 1980 el principio organizativo de los Conjuntos J e ideó una forma fractal que se convertiría en índice de los infinitos Conjuntos J (z2+c)[6].
Mandelbrot definió su conjunto, M, como el formado por los puntos c tales que el conjunto J asociado a fc estuviera formado por una sola pieza, es decir, que fuera conexo[6].
Los Conjuntos J inconexos, es decir, aquellos queson un conjunto de puntos isolados entre si, tipo polvo fractal o polvo de Cantor, que se distribuyen en distintas zonas del plano, con distinta densidad, no forman parte del Conjunto M.

Figura 16 Conjunto de Mandelbrot. Nótese que está formado de “una sola pieza”. Tomada de: Andrés (2008) [6]

5. Aplicaciones.

Puede parecer que los fractales son meras curiosidades matemáticas sin ninguna utilidad. Sin embargo son herramientas de gran potencia para afrontar el estudio de fenómenos complejos.

Aplicaciones de los fractales |
Rama | Aplicación |
Comunicaciones | Modelado del tráfico en redes |
Informática | Técnicas de compresión (audio y vídeo) |
Robótica | Robots fractales |
Infografía | Paisajes fractales y otros objetos |
Biología | Crecimiento tejidosOrganización celularEvolución de poblaciones |
Matemáticas | Convergencia de métodos numéricos |
Música | Composición musical |
Física | Transiciones de fase en magnetismo |
Química | Agregación por difusión limitada |
Geología | Análisis de patrones sísmicosFenómenos de erosiónModelos de formaciones geológicas |
Economía | Análisis bursátil y de mercado |
Tomada de: Gayo (2001) [7] |

  
6. Conclusiones.

Los fractales se han desarrollado tremendamente en los últimos años y nos han ayudado a unir el desarrollo matemático puro con las ciencias naturales y la informática. En los últimos años la geometría fractal ha llegado a ser una herramienta fundamental en la mayoría de las ciencias de lanaturaleza: Química, Física, Biología, etc. Al mismo tiempo han sido muy apreciados por los diseñadores gráficos para la creación de formas que diseñan mundos artificiales con gran realismo. Las imágenes fractales, aunque parecen complejas, hemos comprobado que se derivan de fórmulas sencillas, lo cual es visible gracias al uso de las computadoras y su capacidad gráfica que ha desembocado en un gran desarrollo y entendimiento de la geometría fractal como una nueva disciplina.
 
 
   .
 

Referencias

[1] Mandelbrot, Benoit B. La geometría fractal de la naturaleza; 4° reimpr.; Tusquets: Barcelona, 1997; 589 pp.

[2] Peitgen, Heinz-Otto et al.; Fractals for the classroom: Strategic activities; 2° ed., vol. 1; Springer-Verlag: New York, 1991; 128 pp.

[3] Wikimedia Foundation, Inc.; “Fractals”; Obtenido el 28 de Noviembre de2008 de: https://es.wikipedia.org/wiki/Fractales

[4] The MatWorks Inc.; MATLAB 6.5; Estados Unidos, 2002.
[5] Fundación Polar. “La naturaleza fractal”, Matemática maravillosa, 2006, 193–198. www.fpolar.org.ve/matematica3/fasciculo25.pdf
[6] Andrés, José Luís. “Fractales.org” Obtenido el 28 de Noviembre de 2008 de: https://fractales.org/archives/category/fractalesorg/fractales.

[7] Gayo, Daniel. “Algorítmica y Lenguajes de Programación” Obtenido el 28 de Noviembre de2008 de: https://www.di.uniovi.es/~dani/asignaturas/.

[8] CampusRed; “Curva de Hilbert” Obtenido el 28 de Noviembre de 2008 de: https://www.campusred.net/straining/cursos/C2Dignacioargote/lecciones/peano.htm7 a–