Geometría analítica en el espacio



1 El Plano.

El plano es la más sencilla de todas las superficies. Un plano se representa por una ecuación lineal o de primer grado en las variables x,y,z. El reciproco también es cierto, es decir, toda ecuación lineal en x,y,z representa un plano. La ecuación general de un plano es, por consiguiente, Ax+Bx+Cz+D=0, siempre que a,b,c no sean nulos simultáneamente.
La ecuación de la familia de planos que pasan por el punto (x0,y0,z0) es

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.

Forma general de la ecuación de un plano.

Vamos a obtener la ecuación de un plano cualquiera partiendo de sus bien definidas propiedades. En geometría elemental, se dice que una recta es perpendicular aun plano si es perpendicular a cualquier recta del plano que pase por su pie, entonces diremos que una recta a un plano si es perpendicular a toda recta del plano, sin considerar si la recta del plano pasa por el pie de la perpendicular o no. Hay un número infinito de rectas perpendiculares a un plano; cada una de tales rectas se llama normal al plano.
La condición que debe satisfacer cualquier punto del plano, puede escribirse en la forma
Ax+ By+Cz-(Ax1+By1+Cz1)=0

Y como la expresión encerrada entre paréntesis es una constante y, por tanto, puede remplazarse por el término constante –D, resulta que la ecuación es de laforma:

Ax+By+Cz+D=0
ecuación general de un plano.
En donde A,B,C y D son constantes, y [A,B,C] son los números directos de su normal.

Demostración de la ecuación.-

Az+By+Cz+D=0

Tiene un número infinito de soluciones. En efecto, por hipótesis, uno por lo menos de los tres coeficientes A,B, y C es diferente de cero. Si suponemos que A≠0, podemos escribir
x= - B/Ay-C/Az-D/A.



Ahora estamos en libertad de asignar cualquier par de valores a y y a z y calcular el valor correspondiente de x; cada terna tal de valores representa una solución de la ecuación y consecuencia, las coordenadas de un punto que ésta sobre el lugar geométrico de la ecuación. Sean P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2) dos de esos puntos. Tendremos:
Ax1+By1+Cz1+D=0
Ax2+By2+Cz2+D=0

Por resta de ecuaciones resulta;

A(x1-x2)+B(y1-y2)+C(z1-z2)=0

Si se agrega otro punto cualquiera P3(x3,y3,z3) otro punto cualquiera, diferente de los otros dos. Por lo tanto los números directos de l a partir de de P1 y P3 son:
[x1-x3,y1-y3, z1-z3]

Al resultar:

A(x1-x3)+B(y1-y3)+C(z1-z3)=0 al restarle las constantes con función de x1,y1,z1
Obtenemos:
Ax3+By3+Cz3+D=0

al Demostrar que P3 también se encuentra en el mismo plano.

Ejemplo:
1. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P1(-2,-1,5) y es perpendicular ala recta l determinada por los puntos P2(2,-1,2) P3(-3,1-2).

Solución
Los números directosde l son: [-3-2,1+1,-2-2], ósea, [5,-2,4]. Como l es perpendicular al plano, los números directores de su normal son también [5,-2 ]. Por tanto P1(-2-1,5], tenemos que la ecuación buscada del plano es:

5(x+2)-2(y+1)+4(z-5)=0
5x-2y+4z-12=0






2 Rectas en el espacio.
2.1 Distancia entre un punto y un plano.

Sean:
,

La ecuación de un plano, un punto exterior a él y d la distancia del punto P al plano.
Supóngase otro plano, paralelo al interior, apoyado en P. la ecuación de este plano es:
.

Por ser el punto Pa‚ del plano, se tiene:


De donde :


Por tanto: para obtener la distancia de u punto a un plano, iguálese a cero la ecuación del plano y luego sustitúyase, en el primer miembro, las variables (x,y,z) por las coordenadas del punto dado.
Teniendo presente que


Y que el resultado (1) se escribe también:





Observación. Es útil en vista de ciertas aplicaciones, expresar la distancia de un punto a un plano, introduciendo u determinante de cuarto orden, como se indica a continuación.
Si el plano se apoya en los puntos su ecuación es, según se dijo:

= 0.

Luego, para obtener el numerador de (2) bastara, según se acaba de indicar, sustituir las variables (x,y,z) por las coordenadas del punto dado; resulta, por tanto, que la distancia buscada puede escribirseen la forma siguiente:



= 0.




Ejemplo
sCuál es la distancian del punto p (3, 5,7) al plano 6x + 9y + 2z = 22?
divide cada termino de la ecuación entre:

;

Resulta:

En que: .

Sustitúyanse las variables por las coordenadas de P, y se obtiene











2.1 Distancia entre un punto y una Recta.

Como aplicación de la forma normal de la ecuación de una recta, se obtiene una fórmula que permite calcular la distancia de un punto cualquiera a una recta
La formula es la siguiente:





Obsérvese que nada más se cambian la x y la y de la ecuación por las coordenadas de P y se divide toda la ecuación entre la radical . Esta distancia en algunos problemas, como el de hallar la ecuación de la bisectriz de un ángulo, se considera como una distancia dirigida, es decir, puede ser positiva o negativa. Para determinar su signo se hace una grafica en la que se traza la recta y se marca el punto y se observa la posición relativa entre el punto, el origen de coordenadas y la recta; cuando el punto de origen se encuentra en lados opuestos de la recta, la distancia se considera positiva; cuando el punto y el origen se encuentran del mismo lado de la recta, la distanciase consideranegativa.


Ejemplos:

1) calcula la distancia del punto a la recta .
Se sustituye en la formula














2).- hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas:
a).- X + 2y – 3 = 0.
b) x – 2y – 2 = 0.
















Recordemos que la bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos iguales y que cualquier punto de la bisectriz esta siempre a la misma distancia de las dos rectas que forman el ángulo. Procedemos entonces a resolver el problema, usando la formula de distancia de un punto a una recta. Si se tiene en cuenta que las rectas al cortarse forman cuatro ángulos, y como los ángulos opuestos por el vértice son iguales, existen únicamente dos ángulos diferentes y que son suplementarios.









3. Superficie.


Se le llama superficie al conjunto de puntos, y solamente de aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfacen una sola ecuación de la forma:


De una manera más general, veremos que, si existe una representación analítica de una figura geométrica considerada por nosotros como una superficie, tal representación consistirá en una única ecuación rectangular de la forma .

Las coordenadas de un punto están restringidas a valores reales. La definición establece que, si una ecuación de la forma representa un lugar geométrico, ese lugar geométrico es una superficie.Discusión de la ecuación de una superficie: Limitaremos nuestra discusión a los 5 pasos siguientes

1.- Intercepciones con los ejes coordenados.
Trazas sobre los planos coordenados.
Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen.
Secciones por planos paralelos a los planos coordenados.
- Extensión de la superficie.




TEOREMA 1. Si la ecuación de una superficie no se altera cuando se cambia el signo de una de las variables, la superficie es simétrica con respecto al plano coordenado a partir del cual se mide esa variable, y recíprocamente.


TEOREMA 2. Si la ecuación de una superficie no se altera cuando se les cambia el signo a dos de sus variables, la superficie es simétrica con respecto al eje coordenado a lo largo del cual se mide la variable cuyo signo no fue cambiado y recíprocamente.


TEOREMA 3. Si la ecuación de una superficie no se altera cuando sus tres variables cambian de signo, la superficie es simétrica con respecto al origen y recíprocamente.













Supongamos que la ecuación de una superficie es:
.

Se puede obtener una buena idea de la forma de esta superficie estudiando la naturaleza de sus secciones planas. Tales secciones pueden determinarse convenientemente cortando la superficie por una serie de planos paralelos a los planos coordenados. Por ejemplo, los planosparalelos al plano pertenecen a la familia cuya ecuación es , en donde k es una constante arbitraria o parámetro.











Entonces se puede ver de despejar una de las variables en funcion de las otras dos.




Una ecuación de esta forma nos permite obtener los intervalos de variación de los valores reales que las variables pueden tomar. Esta información es útil para determinar la localización general de la superficie en el espacio coordenado; también indica si la superficie es cerrada o indefinida en extensión.



Ejemplo: Discutir la superficie cuya ecuación es:

Construir superficie.
Solución:
1 Intercepciones, La única intercepción con los ejes coordenados está dada por el origen.

2. Trazas. La traza sobre el plano es un solo punto, el origen. La Traza sobre el plano en la parábola La traza sobre el plano es la parábola .













Simetría, La superficie es simétrica con respecto al plano , al plano y al eje .










4.-Secciones: Los planos cortan a la superficie en las curvas



Que constituyen una familia de circunferencias, para todos los valores de .
Los planos cortan a la superficie en las parábolas.


Y los planos cortan a la superficie en las parábolas
















- Extensión, La ecuación muestra que las variables y pueden tomar todos losvalores reales, pero la variable está restringida a valores positivos. Por lo tanto, ninguna parte de la superficie aparece abajo del plano sino que se extiende indefinidamente hacia arriba del plano .
















Tipos de superficies

Cuadráticas: Una superficie definida por una ecuación de segundo grado en tres variables recibe el nombre de superficie cuadrática o, simplemente, cuadrática. Una sección plana de una cuadrática es una cónica o una forma degenerada o limitada de esta.
La ecuación mas general de segundo grado de tres variables es


















Esfera: Si en la ecuación se verifica que , se transforma en , que representa una esfera de centro en el punto y radio .
En el caso de que el punto de la esfera fuera el punto en lugar del origen, su ecuación seria



Eclipsoide: Si son distintos, la ecuación representa el caso mas general de una cuadricula. Si , pero , el elipsoide es el punto y sus ejes son paralelos a las dos coordenadas, la ecuación adquiere la forma






















Hiperboloides: En el caso de que el signo de una de las variables sea distinto de las otras, como por ejemplo se le llama hiperboloide de una hoja, mientras que si la ecuación representa una hiperboloide de dos hojas.