Los números reales
La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los
números reales. . El conjunto de los reales, con el orden inducido por el
orden ya visto en , y es un conjunto totalmente ordenado.Teniendo
eso en cuenta, se puede representar graficamente el conjunto de los
reales con una recta, en la que cada punto representa un número.Muchas
de las propiedades que hemos visto para los conjuntos e son heredadas por .Como
ya se ha visto, es denso en . También es denso en .Podemos considerar como
el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son
números racionales. A diferencia de lo visto para ,
y , el conjunto de los reales no es numerable. Vamos a demostrar que no es
numerable, y para ello vamos a considerar únicamente los números
reales entre 0 y 1 y vamos a ver que ellos ya forman un
conjunto no numerable, por lo que el conjunto total de los reales sera
ciertamente no numerable ya que contiene un subconjunto no numerable.
El conjunto de todos los números reales entre 0 y 1 esta formado
por todas las expresiones decimales que tienen 0 como parte entera (es decir,
la parte a la izquierda de la coma decimal).Razonemos por reducción al
absurdo y supongamos que sí pueden numerarse dichas expresiones
decimales.
Denominemos a la primera de ellas, a la segunda, etc,
de modo que la corrrespondencia es biyectiva.
Definimos ahora para cada n
Consideremos la expesión decimal .Obviamente esta
entre 0 y 1, luego debe existir algún tal que , pero vemos que esto no
es posible ya que la -ésima cifra decimal de es , que es obviamente
distinta de la -ésima cifra decimal de , que es
Operaciones fundamentales: Se le denomina operaciones fundamentales a toda
operación que tiene como objeto reunir un resultado las cuales se
clasifican en:
Suma: Es llama suma al proceso de combinar dos o mas números
dados para obtener uno igual a la totalidad de los mismos.
Resta: Es el proceso por el cual averiguamos la diferencia entre dos
números o bien averiguamos cuantos números debemos
quitarle a un número determinado para obtener
una parte del
mismo.
Multiplicación: es el proceso por el cual tomamos un
número tantas veces como
unidades tiene otro, o es un proceso rapido para averiguar la suma de varios
números iguales.
División: Es una operación aritmética de
descomposición que consiste en averiguar cuantas veces un número (el divisor) esta contenido en otro
número (el dividendo). La división es una operación
matematica, específicamente, de aritmética elemental,
inversa de la multiplicación y puede considerarse también como
una resta repetida.
2. Se toma el segundo elemento y se lo compara con los otros elementos viendo
si se cumple o no la misma condición que el anterior, hasta el
último de la lista a ordenarse.
Procedimiento:
for (i=1; i<limite; i++)
for j=0; j<limite - 1; j++)
if (vector[j] > vector [j+1])
temp = vector[j];
vector[j] = vector [j+1];
vector [j+1] = temp;
método merge sort
este algoritmo consiste basicamente en dividir en partes iguales la
lista de números y luego mezclarlo comparandolos,
dejandolos ordenados.
El método quicksort divide la estructura en dos y ordena cada mitad
recursivamente. El caso del mergesort es el opuesto, es
decir, en éste método se unen dos estructuras ordenadas para
formar una sola ordenada correctamente.
Tiene la ventaja de que utiliza un tiempo proporcional
a: n log (n), su desventaja radica en que se requiere de un espacio extra para
el procedimiento.
Este tipo de ordenamiento es útil cuando se tiene una estructura
ordenada y los nuevos datos a añadir se
almacenan en una estructuratemporal para después agregarlos a la
estructura original de manera que vuelva a quedar ordenada.
Procedimiento mergesort
/*recibe el arreglo a ordenar un índice l que indica el límite
inferior del arreglo a ordenar y un índice r que indica el límite
superior*/
void mergesort (int a [], int l, int r)
}
a =
a,e,e,l,m,p,x}
a =
el algoritmo de ordenamiento por mezcla (mergesort) se divide en dos procesos,
primero se divide en partes iguales la lista:
public static void mergesort(int[ ] matrix, int init, int n)
}
y el algoritmo que nos permite mezclar los elementos según corresponda:
private static void merge(int[ ] matrix, int init, int n1, int n2)
while (temp1 < n1)
buffer[temp++] = matrix[init + (temp1++)];
while (temp2 < n2)
buffer[temp++] = matrix[init + n1 + (temp2++)];
for (i = 0; i < n1+n2; i++)
matrix[init + i] = buffer[i];
}
metodo rapido o quicksort
sin duda, este algoritmo es uno de los mas eficientes. Este
método es el mas rapido gracias a sus llamadas recursivas,
basandose en la teoría de divide y venceras.
Lo que hace este algoritmo es dividir recurvisamente
el vector en partes iguales, indicando un elemento de inicio, fin y un pivote
(ocomodín) que nos permitira segmentar nuestra lista. Una vez
dividida, lo que hace, es dejar todos los mayores que el pivote a su derecha y
todos los menores a su izq. Al finalizar el algoritmo,
nuestros elementos estan ordenados.
Ejemplo no1
si tenemos 3 5 4 8 basicamente lo que hace el algoritmo es dividir la
lista de 4 elementos en partes iguales, por un lado 3,
por otro lado 4 8 y como
comodín o pivote el 5. Luego pregunta, 3 es mayor o
menor que el comodín? Es menor, entonces lo
deja al lado izq. Y como se acabaron los elementos de
ese lado, vamos al otro lado. 4 es mayor o menor que el
pivote? Menor, entonces lo tira a su izq. Luego
pregunta por el 8, al ser mayor lo deja donde esta, quedando algo así
3 4 5 8
en esta figura se ilustra de mejor manera un vector con mas elementos, usando como
pivote el primer elemento:
el algoritmo es el siguiente:
public void _quicksort(int matrix[], int a, int b)
while(matrix[to] > pivot)
if(from <= to)
}while(from <= to);
if(a < to)
if(from < b)
this. Matrix = matrix;
el algoritmo fundamental es el siguiente:
* elegir un elemento de la lista de elementos a ordenar, al que
llamaremospivote.
* resituar los demas elementos de la lista a
cada lado del
pivote, de manera que a un lado queden todos los menores que él, y al
otro los mayores. Los elementos iguales al pivote pueden ser colocados tanto a
su derecha como
a su izquierda, dependiendo de la implementación deseada. En
FORMULARIO GENERAL
LAS LEYES DE EXPONENTES SON
LEY DE LA MULTIPLICACION: al multiplicar dos potencias de igual base se copia
la base y se suman los exponentes, para tener el exponente del producto.
LEY DE LA DIVISION: al dividir dos potencias de igual base, se copia la base
yal exponente del
dividendo se le resta el exponente del
divisor, dando el exponente del
cociente.
Estas son dos consecuencias importantes de la ley de la división
PROPIEDAD DE LOS EXPONENTES NEGATIVOS: toda cantidad con un exponente negativo
es un número racional, que representa el inverso multiplicativo de un
número entero.
PROPIEDAD DEL EXPONENTE 0: al dividir dos cantidades exactamente iguales que
tengan idéntico exponente, obtendremos una expresión con
exponente cero, que también sera equivalente a la unidad.
LEY DE LA INVOLUCION, O ELEVAR A UNA POTENCIA: al elevar una potencia a un exponente, se copia la base y se multiplican los
exponentes.
LEY DE LA EVOLUCION, O DE LA EXTRACCION DE RAICES: al extraer la raíz de
una potencia, se copia la base de la cantidad subradical, y al exponente de este subradical se le divide el índice de la
raíz.
Esta es una consecuencia natural de la ley de extracción de
raíces: una expresión radical cualquiera puede transformarse en
una expresión en notación exponencial.
-------- ----- ------ -------- ----- ------ ----- ----- ----
RELACIÓN ENTRE ALGUNAS DE
LAS LEYES DE
EXPONENTES
Una de las propiedades basicas de la notación exponencial es que
unas leyes llevan inevitablemente a otras.
De la ley de la multiplicación
De la ley de la división:
De la propiedad del exponente negativo:
De la propiedad de las expresiones radicales:
De la propiedad del
exponente 0:
