Problema 8: Póngase el siguiente programa en forma estandar:
MINIMIZAR Z = 25X1 + 39X2
Sujeto a: 5X1 + 7X2 ≥ 22
9X1 + 3X2 ≥ 29
6X1 + 9X2 ≥ - 25
Ya que X1 y X2 no tienen restricciones, se fijan X1 = X3 – X4 y X2 = X5 – X6 en donde se requiere que todas las cuatro nuevas variables sean no negativas. Sustituyendo estas cantidades en el programa dado y multiplicando la última restricción por – 1, para obligar a que tengan un lado derecho no negativo, se obtiene el programa equivalente:

MINIMIZAR Z = 25X3 – 25X4 + 39X5 – 39X6
Sujeto a: 5X3 – 5X4 + 7X5 – 7X6 ≥ 22
9X3 –9X4 + 3X5 – 3X6 ≥ 29
– 6X3 + 6X4 – 9X5 + 9X6 ≤ 25
X3 , X4 , X5 , X6 ≥ 0
Este programa se convierte a la forma estandar restando las variables de excedente X7 y X8, respectivamente, de los lados izquierdos de las primeras dos restricciones; agregando una variable de holgura X9 al lado izquierdo de la tercera restricción y después añadiendo las variables artificiales X10 y X11, respectivamente, a los lados izquierdos de las primeras dos restricciones. Así se obtiene:

MINIMIZAR Z = 25X3 – 25X4 + 39X5 – 39X6 + 0X7+ 0X8 + 0X9 + MX10 + MX11
Sujeto a: 5X3 – 5X4 + 7X5 – 7X6 – X7 + X10 = 22
9X3 – 9X4 + 3X5 – 3X6 – X8 + X11 = 29
– 6X3 + 6X4 – 9X5 + 9X6 + X9 = 25
X3 , X4 , X5 , X6 , X7 , X8 , X9 , X10 , X11 ≥ 0
La solución inicial a este programa en forma estandar es:
X3 = X4 = X5 = X6 = X7 = X8 = 0 ; X9 = 25 ; X10 = 22 ; X11 = 29



Problema 9:
a) Póngase en forma estandar el siguiente problema:
MAXIMIZAR Z = 78X1 + 56X2
Sujeto a: 23X1 + 32X2 ≤ 37
22X1 +9 X2 = 28
X1 , X2 ≥ 0
Para convertir la primera restricción en igualdad, agréguese una variable de holgura X3 al lado izquierdo. Ya que la segunda restricción es una ecuación, no contiene una variable de holgura, agréguese una variable artificial X4 al lado izquierdo. Ambas nuevas variables se incluyen en la función objetivo, la variable de holgura con coeficiente de costo 0 y la variable artificial con coeficiente de costo negativo muy grande – M, dando el problema:

MAXIMIZAR Z = 78X1 + 56X2 + 0X3 – MX4
Sujeto a: 23X1 + 32X2 + X3 = 37
22X1 +9 X2 + X4 = 28
X1 , X2 , X3 , X4 ≥ 0
Esteprograma esta en forma estandar, con una solución factible inicial:
X1 = 0 ; X2 = 0 ; X3 = 37; X4 = 28
b) Resuélvase el problema anterior si se ha de minimizar el objetivo
Se multiplica la función objetivo por –1.
– Z = – 78X1 – 56X2 – 0X3 + MX4
Es decir, el único cambio esta en el coeficiente de costo asociado con la variable artificial; se vuelve + M en lugar de – M.

MAXIMIZAR Z = 78X1 + 56X2 + 0X3 + MX4
Sujeto a: 23X1 + 32X2 + X3 = 37
22X1 +9 X2 + X4 =28
X1 , X2 , X3 , X4 ≥ 0









Problema 30: resolver por medio del método simplex en forma tabular:
MAXIMIZAR Z = 9X1 +8 X2
Sujeto a: 2X1 +6 X2 ≤ 22
9X1 + 3X2 ≤ 32
– 5X1 + 9X2 ≥ 25
X1 , X2 ≥ 0
Ampliando el problema:
MAXIMIZAR Z = 9X1 + 8X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + Mt
Sujeto a: 2X1 + 6X2 + S1 = 22
9X1 + 2X2 + S2 = 32
– 5X1 +9 X2 – S3 + t = 25
X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , t ≥ 0
Se considera: W = Z – Mt = 9X1 + 8X2 – Mt como la ecuación objetivo artificial, o, de manera equivalente: – 9X1 – 8X2 + Mt + W = 0. En donde M es un número positivo grande.

A continuación se construyela matriz aumentada
I X1 X2 S1 S2 S3 t W b
S1 2 6 1 0 0 0 0 22
S2 9 3 0 1 0 0 0 32
t -5 9 0 0 -1 1 0 25
W -9 -8 0 0 0 M 1 0

Para obtener la matriz simplex I, se reemplaza la M que esta en la columna de la variable artificial por cero, sumando al renglón 4 el renglón 3 multiplicado por – M.






I X1 X2 S1 S2 S3 t W b
S1 2 6 1 0 0 0 0 22
S2 9 3 0 1 0 0 0 32
t -5 9 0 0 -1 1 0 25
W 5M-9 -9M-8 0 0 M
0 1 -25M













Las variables S1, S2 y t que se encuentran del lado izquierdo de la tabla I son las variables no estructurales con coeficientes positivos (por eso no se considera S3). Como M es un número positivo grande, – 9M-8 es el indicador mas negativo. La variable entrante es X2 y la variable saliente es t.


X1 X2 S1 S2 S3 T W B
S1 2 6 1 0 0 0 0 22
S1 9 3 0 1 0 0 0 32
X2 -5 9 0 0 -1 1 0 25
W 5M-9 -9M-8 0 0 M 0 1 -25M
4°/9


X1 X2 S1 S2 S3 T W B
S1 2 6 1 0 0 0 0 22
S1 9 3 0 1 0 0 0 32
X2 -5/9 1 0 0 -1/9 1/9 0 25/9
W 5M-9 -9M-8 0 0 M 0 1 -25M

3°por.-3..mas..2°
3°por.-6..mas..1°
3°por.9M+8. Mas 4°






X1 X2 S1 S2 S3 T W B
S116/3 0 1 0 6/9 -6/9 0 16/3
S1 32/3 0 0 1 3/9 3/9 0 71/3
X2 -5/9 1 0 0 -1/9 1/9 0 25/9
W -121/9 0 0 0 -8/9 M+8/9 1 200/9









La solución factible basica que corresponde a la tabla tiene t = 0. En consecuencia, se elimina la columna de t y se cambian las W por Z en las siguientes. Continuando, se llega a la tabla III:



X1 X2 S1 S2 S3 Z B
S1 16/3 0 1 0 6/9 0 16/3
S1 32/3 0 0 1 3/9 0 71/3
X2 -5/9 1 0 0 -1/9 0 25/9
Z -121/9 0 0 0 -8/9 1 200/9
NUEVO PIVOTE
16/3,
Se divide 1°/16/3



X1 X2 S1 S2 S3 Z B
S1 1 0 3/16 0 1/8 0 1
S1 32/3 0 0 1 3/9 0 71/3
X2 -5/9 1 0 0 -1/9 0 25/9
Z -121/9 0 0 0 -8/9 1 200/9

1°por (-32/3) mas 2°
1° por (5/9) mas 3°
1° por (121/9) mas 4°





X1 X2 S1 S2 S3 Z B
X1 1 0 3/16 0 1/8 0 1
S1 0 0 -2 1 -1 0 13
X2 0 1 5/48 0 -1/24 0 10/3
Z 0 0 121/8 0 19/24 1 107/3






Todos los indicadores son no negativos. Por ello, el valor maximo de Z es 107/3. Se presenta cuando X1 = 1 y X2 =10/3.





































Problema 35: Resolver por medio del método simplex en formatabular:
MINIMIZAR Z = 2X1 + 3X2
Sujeto a: – 3X1 + 2X2 ≥ 2
– 2X1 + 2X2 ≥ 3
X1 , X2 ≥ 0
Para minimizar Z se puede maximizar – Z = – 3X1 – 6X2. Obsérvese que las restricciones tienen la forma a1X1 + a2X2 ≥ b, donde b ≥ 0. Por ello, sus ecuaciones implican dos variables de holgura S1 y S2, cada una de ellas con coeficiente – 1, y dos variables artificiales t1 y t2.

– 5X1 + 2X2 – S1 + t1 = 2
– 2X1 + 6X2 – S2 + t2 = 9
Como existen dos variables artificiales, se maximiza la función objetivo W = (– Z) – Mt1 – Mt2, en donde M es un número positivo grande. De forma equivalente

X1 + 2X2 + Mt1 + Mt2 + W = 0
La matriz de coeficientes aumentada es:
X1 X2 S1 S2 t1 t2 W b
t1 -2 1 -1 0 1 0 0 1
t2 -1 1 0 -1 0 1 0 2
W 1 2 0 0 M M 1 0

Procediendo, se obtienen las tablas simplex I, II y III. Primero se eliminan las M de las columnas de t1 y t2.
3° + 1° * - M X1 X2 S1 S2 t1 t2 W b
t1 -2 1 -1 0 1 0 0 1
t2 -1 1 0 -1 0 1 0 2
W 1+2M 2-M M 0 0 M 1 -M

3° + 2° * - M X1 X2 S1 S2 t1 t2 W b
t1 -2 1 -1 0 1 0 0 1
t2 -1 1 0 -1 0 1 0 2
W 1+3M 2-2M M M 0 0 1 -3MSe obtiene la tabla simplex inicial:
I X1 X2 S1 S2 t1 t2 W b Cocientes
t1 -2 1 -1 0 1 0 0 1 1/1=1
t2 -1 1 0 -1 0 1 0 2 2/1=2
W 1+3M 2-2M M M 0 0 1 -3M

2° - 1° Ia X1 X2 S1 S2 t1 t2 W b 3°+1°*(-2+2M)
X2 -2 1 -1 0 1 0 0 1
t2 1 0 1 -1 -1 1 0 1
W 1+3M 2-2M M M 0 0 1 -3M




II X1 X2 S1 S2 t1 t2 W b Cocientes
X2 -2 1 -1 0 1 0 0 1 No aplica
t2 1 0 1 -1 -1 1 0 1 1/1=1
W 5-M 0 2-M M -2+2M 0 1 -2-M

1° + 2° IIa X1 X2 S1 S2 t1 t2 W b 3°+2°*(-2+M)
X2 -1 1 0 -1 0 1 0 2
S1 1 0 1 -1 -1 1 0 1
W 5-M 0 2-M M -2+2M 0 1 -2-M

III X1 X2 S1 S2 t1 t2 W b
X2 -1 1 0 -1 0 1 0 2
S1 1 0 1 -1 -1 1 0 1
W 3 0 0 2 M -2+M 1 -4

La solución factible basica que corresponde a la tabla III tiene ambas variables artificiales iguales a cero. Así, ya no se necesitan las columnas t1 y t2. Sin embargo, los indicadores de las columnas X1, X2, S1 y S2 son no negativos y, en consecuencia, se ha llegado a la son óptima. Dado que W = – Z cuando t1 = t2 = 0, el valor maximo de – Z = – 4. Por lo tanto, el valor mínimo de Z = 4 y aparece cuando X1 = 0 y X2 = 2.