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Energía potencial asociada a campos de fuerzas - Energía potencial gravitatoria

Energía potencial asociada a campos de fuerzas

La energía potencial puede definirse solamente cuando la fuerza es conservativa. Si las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son no conservativas, entonces no se puede definir la energía potencial, como se vera a continuación. Una fuerza es conservativa cuando se cumple alguna de las siguientes propiedades:



El trabajo realizado por la fuerza entre dos puntos es independiente del camino recorrido.
El trabajo realizado por la fuerza para cualquier camino cerrado es nulo.
Cuando el rotacional de la fuerza es cero.
Se puede demostrar que todas las propiedades son equivalentes (es decir, que cualquiera de ellas implica la otra). En estas condiciones, la energía potencial se define como:




U_B - U_A = -int_A^B mathbf cdot dmathbf .

Si las fuerzas no son conservativas no existira en general una manera unívoca de definir la anterior integral. De la propiedad anterior se sigue que si la energía potencial es conocida, se puede obtener la fuerza a partir del gradiente de U:

mathbf = - nabla U .

También puede recorrerse el camino inverso: suponer la existencia una función energía potencial y definir la fuerza correspondientemediante la fórmula anterior. Se puede demostrar que toda fuerza así definida es conservativa.

La forma funcional de la energía potencial depende de la fuerza de que se trate; así, para el campo gravitatorio (o eléctrico), el resultado del producto de las masas (o cargas) por una constante dividido por la distancia entre las masas (cargas), por lo que va disminuyendo a medida que se incrementa dicha distancia.

Energía potencial gravitatoria[editar]

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La fuerza gravitatoria mantiene a los planetas en órbita en torno al sol.
La energía potencial gravitatoria es la energía asociada con la fuerza gravitatoria. Esta dependera de la altura relativa de un objeto a algún punto de referencia, la masa, y la fuerza de la gravedad.



Por ejemplo, si un libro apoyado en una mesa es elevado, una fuerza externa estara actuando en contra de la fuerza gravitacional. Si el libro cae, el mismo trabajo que es empleado para levantarlo, sera efectuado por la fuerza gravitacional.

Por esto, un libro a un metro del piso tienemenos energía potencial que otro a dos metros, o un libro de mayor masa a la misma altura.

Si bien la fuerza gravitacional varía con la distancia (altura), en las proximidades de la superficie de la Tierra la diferencia es muy pequeña como para ser considerada, por lo que se considera a la aceleración de la gravedad como una constante (9,8 m/s2) en cualquier parte. En cambio en la Luna, cuya gravedad es muy inferior, se generaliza el valor de 1,66 m/s2

Para estos casos en los que la variación de la gravedad es insignificante, se aplica la fórmula:

U = mgh

Donde U es la energía potencial, m la masa, g la aceleración de la gravedad, y h la altura.

Sin embargo, si la distancia (la variación de altitud) es importante, y por tanto la variación de la aceleración de la gravedad es considerable, se aplica la fórmula general:

U = -frac

Donde scriptstyle U es la energía potencial, scriptstyle r es la distancia entre la partícula material y el centro de la Tierra, scriptstyle G la constante universal de la gravitación y scriptstyle M la masa de la Tierra. Esta última es la fórmula que necesitamos emplear, por ejemplo, para estudiar el movimiento de satélites y misilesbalísticos:

Calculo simplificado[editar]
Cuando la distancia recorrida por un móvil, h, es pequeña, lo que sucede en la mayoría de las aplicaciones usuales (tiro parabólico, saltos de agua, etc.), podemos usar el desarrollo de Taylor a la anterior ecuación. Así si llamamos r a la distancia al centro de la Tierra, R al radio de la Tierra y h a la altura sobre la superficie de la Tierra, es decir, r = R + h tenemos:

U_G(R+h) = -frac
approx -frac +fracmh =
-frac + mgh

Donde hemos introducido la aceleración sobre la superficie:

g= frac approx 9,80665 frac}^2}

Por tanto la variación de la energía potencial gravitatoria al desplazarse un cuerpo de masa m desde una altura h1 hasta una altura h2 es:


Delta U_G approx mg(h_2-h_1)

Dado que la energía potencial se anula cuando la distancia es infinita, frecuentemente se asigna energía potencial cero a la altura correspondiente a la del suelo, ya que lo que es de interés no es el valor absoluto de U, sino su variación durante el movimiento.

Así, si la altura del suelo es h1 = 0, entonces la energía potencial a una altura h2 = h sera simplemente UG = mgh.





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