Departamento de Matematica Facultad de Ingeniería Universidad= de Buenos Aires 2003 V 2.07

ÍNDICE TRANSFORMADA Z
1.- INTRODUCCIÓN 1.1- SISTEMAS Y SEÑALES 1.1.1.- DESCRIPCIÓN Y ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE SEÑALES 1.1.2.- VARIANTES DE MODELOS DE SISTEMA 1.1.2.1.- SISTEMA SIN CONTROL (DE LAZO ABIE= RTO) 1.1.2.2.- SISTEMA CON CONTROL O CON REALIMENTACIÓN (DE LAZO CERRADO) 1.1.2.3.- SISTEMAS CON PERTURBACIONES 1.1.2.4.- EJEMPLO DE UN SISTEMA CON CONTROL Y PERTURBACIONES 1.2.- TIPIFICACIÓN DE SISTEMAS 1.2.1.- SEÑALES Y SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO 1.2.1.1.- DEFINICIO= NES DE SEÑALES Y SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO 1.2.1.2.- CONVERSIONES ANALÓGICA/DIGITAL (A/D) Y DIGITAL/ANALÓGICA (D/A) 1.2.1.2.1.- CONVERSIÓN A/D 1.2.1.2.2.- CONVERSIÓN D/A 1.2.2.- SISTEMAS CON Y SIN MEMORIA 1.2.3.- SISTEMA CAUSAL 1.2.4.- SISTEMA ESTABLE 1.2.5.- SISTEMAS LINEALES 1.2.6.- SISTEMAS INVARIANTES 1.3.- TRANSFORMADAS = EN GENERAL Y TRANSFORMADA ZETA 1.3.1.- QUE ES UNA TRANSFORMADA 1.3.2.- QUE ES LA TRANSFORMADA ZETA Y SUS APLICACIONES

1.4.- APLICACIONES DE TRANSFORMADA ZETA: SISTEMAS TDLI 1.5.- SEÑALES PARTICULARES 1.6.- ELEMENTOS DE LOS SISTEMAS TDLI 2.- DEFINICIÓN DE = LA TRANSFORMADA ZETA 2.1.2.2.2.3.2.4.2.5.TEOREMA DE LA SERIE DE LAURENT DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZETA CAMPO O REGIÓN DE CONVERGE= NCIA (ROC) NOTACIÓNREDUCCIÓN A LA TRANSFORMADA FINITA DE FOURIER
3.- TRANSFORMADA ZETA DE SUCESIONES ELEMENTALES 3.1.- ESCALON UNITARIO u[n] 3.2.- IMPULSO UNITARIO δ[n] 3.3.- TABLA DE TRANSFORMADAS ZETA DE FUNCI= ONES ELEMENTALES


4.- PROPIEDADES 4.1.- LINEALIDAD 4.2.- DESPLAZAMIENTO EN TIEMPO 4.3.- DESPLAZAMIENTO z – a 4.4.- MODULACIÓN DE SUCESIÓN EN TI= EMPO 4.4.1.- MODULACIÓN CON an 4.4.2.- MODULACIÓN CON eiαn 4.= 5.- CAMBIO DE ESCALA 4.5.1.- GENÉRICO 4.5.2.- INVERSIÓN EN z 4.6.= - TZ DE LA DIFERENCIA FINITA 4.6.1.- PRIMERA DIFERENCIA 4.6.2.- SEGUNDA DIFERENC= IA 4.7.- TZ DE LA SUMA FINITA 4.8.- DERIVADA DE LA TZ 4.9.- PRIMITIVA DE LA TZ 4.9.1.- PRIMITIVA DE LA TZ EN EL ANILLO A(r1,r2) 4.9.2.- PRIMITIVA DE LA TZ= EN EL ANILLO A(r1,∞) 4.10.- CONVOLUCIÓN DE SUCESIONES. ANTITRANSFORMADA DEL PRODUCTO DE TRANSFORMADAS. 4.11 CONVOLUCIÓN DE TRANSFORMADAS. TRANSFORMADA DE PRODUCTO DE SUCESIONES 4.12.- SUCESIÓN PERIÓDICA 4.13.- RESUMEN DE PROPIEDADES 5.- TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL - CAUSAL 5.1.- DEFINICIÓN DE FUNCI&Oacu= te;N CAUSAL 5.2.- DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL 5.3.- CAM= PO DE CONVERGENCIA DE LA CAUSAL 5.4.- NOTACIÓN 5.5.- PROPIEDADES DE LA CAUSAL 5.5.1.- DESPLAZAMIENTO EN TIEMPO DE LA CAUSAL 5.5.2.- DIFERENCIAS FINITAS 5.5.2.1.- CAUSAL DE LA PRIMERA DIFERENCIA 5.5.2.2.- CAUSAL DE LA SEGUNDA DIFERENCIA 5.5.3.- CONVOLUCIÓN DE LA CAUSAL 5.5.4.- TEOREMA = DE RIEMANN YCOROLARIOS 5.5.5.- TEOREMA DEL VALOR INICIAL 5.5.6.- TEOREMA DEL V= ALOR FINAL 5.6. RESUMEN DE PROPIEDADES ESPECÍFICAS DE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL

6.- APROXIMACIÓN ENTRE LAS SEÑALES DE TIEMPO CONTINUO Y DISCR= ETO 6.1.- ERRORES DE LA APROXIMACIÓN 6.2.- RELACIÓN ENTRE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL Y LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 6.3.- APROXIMACIÓN DERIVADAS CON DIFERENCIAS FINITAS 6.4.- APROXIMACI&Oacu= te;N ECUACIONES DIFERENCIALES CON ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS 6.5.- APROXIMACIÓN DE INTEGRALES CON SUMAS FINITAS 6.5.1.- INTEGRALES DE RIEMANN 6.5.2.- INTEGRALES IMPROPIAS


7.- APLICACIONES 7.1.- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS 7.1.1= .- ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS SIN CONDICIONES INICIALES 7.1.2.- ECUACIO= NES EN DIFERENCIAS FINITAS CON CONDICIONES INICIALES 7.2 .- APLICACIONES A SIST= EMAS DE TIEMPO DISCRETO LINEALES E INVARIANTES. (TDLI) 7.2.1.- SISTEMAS TDLI EN = EL CAMPO z 7.2.2.- EJEMPLOS DE TDLI 7.3.- APROXIMACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR ECUACIONES EN DIFERENCIAS FINITAS 8.- TABLA DE TRANSFORMA= DAS ZETA 9.- EJERCICIOS RESUELTOS DE TRANSFORMADAS ZETA

Agradecimientos: Se agradece a todos los docentes y alumnos que han aportado observaciones y comentarios al texto, especialmente a mi ayudante Juan Pablo Frías.


TRANSFORMADA ZETA

1 INTRODUCCIÓN La Transformada Ze= ta (TZ) es un modelo matematico que se emplea entre otrasaplicaciones e= n el estudio del Procesamiento de Seña= les Digitales, como son el analisis y proyecto de Circuitos Digitales, los Sistemas de R= adar o Telecomunicaciones y especialmente los Sistemas de Control de Procesos por computadoras. La TZ es un ejemplo mas de Transformada, como lo son la Transformada = de Fourier para el caso de tiempo discreto y las Transformada de Fourier y Lap= lace para el caso del<= /st1:State> tiempo continuo. La importancia del modelo de la Transformad= a Z radica en que permite reducir Ecuaciones en Diferencias o ecuaciones recurs= ivas con coeficientes constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales. Se introducen en primer término algunos elementos de Sistemas y Señales.

1.1 SISTEMAS Y SEÑALES 1.1.1.- DESCRIPCIÓN Y ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE SEÑALES Se llama Sis= tema a un conjunto de elementos de cualquier tipo, naturales o artificiales (construidos por el hombre) co= mo mecanismos, maquinas, circuitos etc. Un Sistema esta sometido= a la excitación de una Señal de Entrada o de Control (causa) a = la cual le responde transformandola en una Señal de Salida (efec= to). Las señales de Entrada y de Salida son funciones= de una o mas variables. El modelo de un Sistema para analizar y diseñar el comportamiento causa- efecto se puede representar por el siguiente esquema

Dicho esquema o modelo es aplicable a todas las ramas de la ingenierí= ;a: electricidad,mecanica, comunicaciones, astronautica, aeronautica, naval, control de procesos químicos, construccio= nes, etc.

Los problemas que se presentan en el estudio de Sistemas son dos: Analisis y Síntesis

Analisis: Dado un Sistema sometido a una entrada determinada X analizar que salida Y produce.

X  S   

→<= /span>

Y

Síntesis: Dadas una entrada X y una salida Y determinadas dise&ntild= e;ar el Sistema que transforma una en otra. X Y

→<= /span>

S


Ejemplos simples de Sistemas son
Ejemplos de Sistemas Entrada
Presión en el acelerador Acciones del conductor: Giro del volante - Presión en el acelerador - Freno - etc. Fuerza vibratoria excitatriz Movimiento de la Luna Programa de mecanizado Tensión eléctrica Corriente eléctrico Energía Hidraulica o Térmica etc Energía combustible Onda electromagnética Onda emitida Luz Ritmo cardíaco Ingreso de Materias Primas, temperatura, humedad, etc=

Sistema
Automóvil Automóvil

Salida
Velocidad del automóvil Movimiento del automóvil

Sistema vibratorio Mar Central de mecanizado Circuito eléctrico Circ= uito eléctrico

Movimiento vibratorio del cuerpo Altura mareas Pieza mecanizada Corriente eléctrica Tensión eléctrica

Sistemas de generación y Energía Eléctrica distribución de energía Cohete Radio Radar Camara fotografica Equipo para electrocardiograma Proceso químico Movimiento Emisión de la vozInformación sobre la posici&oacut= e;n de objetos Fotografía Electrocardiograma Producto químico Crecimiento de población

Recursos minerales y Sociedad organicos, Producción de alimen= tos y equipos, polución y Reproducción humana

1.1.2.- VARIANTES DE MODELOS DE SISTEMA
Los modelos de sistemas usuales tienen diferentes formas de clasificarse: 1= .- Sistema de Lazo Abierto: Sin Control 2.- Sistema de Lazo Cerrado o con realimentación: Con Control 3.- Sistemas con Perturbaciones cuyas características se describen a continuación.


1.1.2.1.- SISTEMA SIN CONTROL (DE LAZO ABIERTO)
Los Sistemas Sin Control también llamados de Lazo Abierto son los sistemas mas sencillos caracterizados por una Señal de Entrad= a no afectada por una eventual modificación de la Señal de Salida = , es decir la entrada no depende de la salida. El esquema que lo representa es
1.1.2.2 SISTEMA CON CONTROL O CON REALIMENTACIÓN (DE LAZO CERRADO)
Los Sistemas con Control también llamados de Lazo Cerrado o con realimentación son aquellos donde la Señal de Entrada es modificada o regulada también en función de la Señal de Salida Su esquema es:

1.1.2.3.- SISTEMAS CON PERTURBACIONES
Los Sistemas con Perturbaciones son aquellos donde la Señal de salid= a es afectada por fenómenos externos al Sistema. En general estas perturbaciones son indeseables porque hacen el sistema no predecible, por lomenos con buena aproximación. Las Perturbaciones pueden estar presentes tanto en los Sistemas sin o con Control. Se representan del siguiente modo

En los Sistemas con Control pueden presentarse también perturbacione= s o desviaciones producidas por los elementos componentes del mismo control.


1.1.2.4 EJEMPLO DE UN SISTEMA CON CONTROL Y PERTURBACIONES
Un ejemplo de un Sistema con Control con Perturbaciones, es él de una Antena dirigible con un movimiento angular y que puede recibir como Se&ntil= de;ales de Entrada, ademas de la Orden de Posición de Referencia, a perturbaciones externas, como por ejemplo fuerzas producidas por el viento,= o también perturbaciones en el Control producidas por errores de lectu= ra en las mediciones de la Señal de Salida o en el proceso del Computad= or. El esquema que representa el sistema es

donde se distinguen los siguientes elementos que lo componen:

Sistema Base : Antena + Plataforma + Engranaje + Motor + Amplificador de Potencia Y: Señal de Salida: Pert.: A: P: E: M: AP:
Posición angular de la Antena Perturbación externa Antena Plataforma de la Antena Engranaje Motor Amplificador de Potencia

Sistema Control : Medidor de Posición de Antena + Comparador + Controlador Med: Cmp: Ctrl: X: Pert. Med:
Medidor de Posición de la Antena (Potenciómetro) Comparador Controlador (Computador) Señal de entrada (Referencia )Perturbación del medidor: Perturbación del Control


1.2.- TIPIFICACIÓN DE SISTEMAS 1.2.1.- SEÑALES Y SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO
Las Señales y los Sistemas que las operan también se pueden clasificar como: 1.- De tiempo continuo (funciones continuas) que son las llamadas señales analógicas. De tiempo discreto (sucesiones) que son las llamadas señales digitales.= En los Sistemas se establece esta clasificación porque para ellos es necesario un tratamiento con modelos matematicos diferentes para el Procesamiento de Señales y Resolución de Sistemas (o Circuito= s) 1.- Para el caso de Tiempo Continuo se emplean las Transformadas de Laplace= o la de Fourier . Para<= /st1:place> el caso de Tiempo Discreto se emplean las Transformadas Zeta o la transform= ada de Fourier Discreta (basada en la Serie de Fourier Exponencial). La razón principal del empleo de la variable di= screta es que permiten el proceso y almacenamiento de la información (datos= ) en computadoras digitales. Para ello finalm= ente se reduce la información a códigos binarios.

1.2.1.1.- DEFINICIONES DE SEÑALES Y SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO Y DISCRETO Def: Señales de tiempo continuo o analógicos :=3D Son funciones de tiempo continuo o analógicas Señales de tiempo discreto o digital :=3D Son funciones de tiempo discreto (sucesiones) o dig= ital Señales de tiempo continuo Analógicas t R Señales detiempo discreto Digitales n ZóN

f:D R R

f:D N R

Def: Sistemas de tiempo continuo o analógicos :=3D Son los Sistemas = que procesan Señales de tiempo continuo o analógicas Sistemas de tiempo discreto o digitales :=3D Son los Sistemas que procesan Señal= es de tiempo discreto o digitales Sistema de tiempo continuo t R Sistema de tiempo discreto n∈ZóN


1.2.1.2.- CONVERSIONES ANALÓGICA/DIGITAL (A/D) Y DIGITAL/ANALÓGICA (D/A)
El Control de Procesos por Computadoras o Procesadores digitales hace neces= ario la conversión de la información analógica a digital y viceversa.

La primera conversión para ingresar datos de origen analógico= al procesador digital se llama Conversión Analógica/Digital (A/D= ) y la segunda para alimentar la entrada analógica al Sistema Base desde= el Computador de Control se llama Conversión Digital/Analógica (= D/A)

1.2.1.2.1.- CONVERSIÓN A/D
La Conversión A/D significa tomar registros a intervalos discretos regulares de señales (eléctricas o de otra índole) consideradas variables de forma continua en el tiempo ( representables por números reales). Dichos valores discretos llamad= os muestras conforman una sucesión cuyo dominio son los números enteros y su codominio los reales (fraccionarios). Por ejemplo si se considera una función f(t) continua , las muestras de la función, tomados a intervalos regulares de tiempo T empezando det =3D0 forman la sucesión de números reales (fraccionarios):

f[0], f[T], f[2T], f[3T], , f[nT],

La ventaja fundamental de la variable discreta como ya se dijo, es que perm= ite el proceso y almacenamiento de la información (datos) en computadora= s digitales. Como los datos son números fraccionarios, entonces la Conversión A/D debe transformar dichos fraccionarios (o eventualmente enteros) a código binario. La conversión A/D conlleva entonces dos aproximaciones, que introducen una perturbación o error= en la señal de entrada.


Aproximaciones de la Conversión A/D 1 Aproximación por la conversión de la función continua (números reales) a función escalonada ( sucesión o función discreta sobre los números enteros o fraccionarios) En esta aproximación se presentan errores por exceso o por defecto según la forma de la señal de entrada. La aproximación depende esencialmente del período T de mues= treo. 2.- Aproximación por la conversión de un Código de número entero (o fraccionario) a Código Binario La aproximaci= ón al código binario depende a su vez de la cantidad de bits que se tom= en para representar a los números enteros o fraccionarios en el procesamiento digital.
Por ejemplo la suma de los errores de conversión A/D de una se&ntild= e;al de tensión de 0 a 10 V lineal (recta) se representa en código binario de 4 bits

Cada salto de código binariorepresenta un=

1 24

10 V =3D 6.25 % * 10V que es la cota del error para una

conversión con 4 dígitos. Si se hubiera empleado un có= digo de 16 bits la cota del error es 0.001525890625 %*10 V

1 216

10 V =3D

1.2.1.2.2 CONVERSIÓN D/A
La Conversión D/A es el proceso inverso para transformar los valores discretos en señales (eléctricas o de otra índole) de variable continua en el tiempo ( representables por números reales). Esto significa que las funciones son escalonadas con un= período T.


1.2.2.- SISTEMAS CON Y SIN MEMORIA
Un Sistema sin memoria es aquel cuya salida depende solamente de la entrada= en ese mismo instante de tiempo Por ejemplo: 1.- Un circuito eléctrico = con una resistencia 2.- Un circuito digital regido por la ecuación en diferencias y(t) =3D R x(t) y[n] =3D a x[n]

Un Sistema con memoria por el contrario es aquel cuya salida no depende solamente de la entrada en ese mismo instante de tiempo sino también= de entradas en instantes anteriores Por ejemplo: 1.- La tensión sobre un capacitor (incluido en un circuito eléctrico) 2.- Un circuito digital regido por la ecuación en diferencias y(t) =3D

1 t x(τ) dτ C −∞ y[n] =3D a x[n] + b x[n– 1]

∫

1.2.3.- SISTEMA CAUSAL
Un Sistema es causal cuando su salida depende solamente de la entrada prese= nte y pasada y no depende de la entrada futura. En consecuencia, un sistema causal , sellama así porque a dos entradas de t= iempo iguales hasta un instante dado le corresponden dos salidas iguales en ese m= ismo instante de tiempo (independencia de entradas futuras). Por ejemplo: 1 El movimiento de un automóvil es causal porq= ue no depende de acciones futuras d= el conductor. 2.- x[n] + y[n–1] =3D y[n] es causal porque sólo de= pende de x[n] y no de valores futuros: de x[n+1] , x[n+2], 3.- x[n] + x[n+1] = =3D y[n] no es causal porque depende de x[n+1] En general en los sistemas donde= las señales dependen del tiempo, son causales. En las aplicaciones practicas donde el tiempo no es la variable inde= pendiente , los sistemas son no causales. Por ejemplo procesamiento de imagenes, estudios demograficos estudio de la tendencia de los mercados de valores, etc. Un ejemplo de un sistema = no causal para promediar valores con fluctuaciones de alta frecuencia tiene en= cuenta los futuros como el dado por la siguiente ecuación: y[n] =3D

1 [ x[n+p] + x[n+p – 1] + + x[n+1] + x[n] +x[n – 1] + x[n – (p – 1)] + x[n – p] ] 2p + 1


1.2.4.- SISTEMA ESTABLE
Un Sistema estable es aquel cuya salida es acotada, es decir no diverge. A entrada acotada le corresponde una salida acotada. Un Sistema inestable es el caso contrario: a entrada acotada le corresponde una salida no acotada.

Ejemplos

Sistemas estables

Sistemas inestables

1.2.5.- SISTEMAS LINEALESLos Sistemas regidos por funciones lineales (en particular sistemas de ecuaciones lineales) son los modelos mas sencillos y de mayor aplicación en la ingeniería. La condición de linealidad implica que a una combinación lineal = de entradas le corresponde la combinación lineal de salidas. Esto es la propiedad de superposición de sistemas.

Sistema de Tiempo Continuo Lineal

x 1 (t ) y1 (t )   x 2 ( t ) y 2 ( t) x 1 [n ] y1 [n ]  ï£&frac1= 2; x 2 [n ] y 2 [n ]



a x1(t) + b x2(t) a y1(t) + b y2(t)

Sistema de Tiempo Discreto Lineal
a x1[n] + b x2[n] a y1[n] + b y2= [n]

En resumen los Sistemas Lineales son modelos regidos por Ecuaciones Lineale= s . Ecuaciones diferenciales lineales en el caso de Sistema de ti= empo continuo y Ecuaciones en Diferencias lineales en el caso de tiempo discreto= .


1.2.6 SISTEMAS INVARIANTES EN EL TIEMPO
Los Sistemas lineales son invariantes en el tiempo, cuando cumplen las condiciones: x(t) y(t) x[n] y[t] ⇒ x(t-a) y(t-a) x[n-a] y[n-a]

Estos Sistemas son los regidos por Ecuaciones Lineales con Coeficientes Constantes

1.2.7.- MEDIDAS RELATIVAS A LAS SEÑALES

En los modelos de señales se emplean algunas medidas ligadas a ellas. Una medida genérica en un espacio E de sucesiones es la norma || x |= |p correspondiente para un real p ≥ 1 , así definida

Def: E:=3D p≥1 p =3D +∞ || x ||p:=3D (
n =3D −∞ +∞

∑

| x[n] | p ) 1/p

|| x ||+∞ :=3D supn Z | x[n] |

En particular se destacan por su aplicación 3 de estas medidas que se llaman acción, energía y amplitud .

p=3D1

|| x || =3D

n =3D −∞

∑
+∞

+∞

| x[n] x[n] | 2 ) ½

acción

p=3D2 p =3D +∞

|| x ||2 :=3D

(

n =3D −∞

∑

energía amplitud

|| x ||+∞ :=3D supn Z | x[n] |


1.3. – TRANSFORMADAS EN GENERAL Y TRANSFORMADA ZETA
Las Transformadas en general y la Transformada Zeta (TZ) en particular son = modelos matematicos que se emplean entre otras aplicaciones en el estudio del Procesamiento de Señales y Resolución de Circuitos Digitales.= En el parrafo siguiente se recuerda el concepto de Transformada.

1.3.1 QUE ES UNA TRANSFORMADA
Dadas dos Estructuras (E T) y (E’ T’) conformadas por los espac= ios E y E’ dotados respectivamente de las Leyes de Composición Int= erna T y T’ , se llama Transformada a una aplicación biyectiva : f:= E E’ que establezca un Isomorfismo entre dichas Estructuras .

T: ExE E (a,b) c

T’: E’xE’ E’ (a’,b’) c’ f: E = E’ f biyectiva a a’ b b’ c =3D a T b c’ =3D a’ T’ b’

Las estructuras isomorfas (E T) y (E’ T’) se comportan en forma analoga, hecho que permite obtener usando la transformada f (función biyectiva) de puente, el resultado de una composición interna en una de ellas T , conociendo la de T’, o viceversa.Apoyandose en la analogía el resultado de T en E se obtiene en forma indirecta en 3 pasos: 1.- transformando 2.- componiendo 3.- antitransformando

f: a a’ b b’ TR= 17;: (a’,b’) c’ =3D a’T’b’ f -1: c’ c =3D a T b

El uso de la transformada, por supuesto, se justifica siempre y cuando el camino indirecto de: transformación, composición y antitransformación sea mas sencillo que el camino directo de = la composición T. Un ejemplo simple de la idea de transformada es el calculo logarítmico para el producto de dos números re= ales positivos.


E =3D R+ T =3D •R+

E’=3D R T’ =3D +R +R : RxR R (La,Lb) Lc =3D La + Lb

•R: R+xR+ R+ (a,b) c =3D a •= ; b

L: R+ R L biyectiva a La b Lb c =3D a • b Lc =3D La + Lb

1.3.2.- QUE ES LA TRANSFORMADA ZETA Y SUS APLICACIONES
La Transformada Zeta es una aplicación entre un espacio de Sucesiones (funciones discretas) y un espacio de Funciones Analíticas (desarrollables en serie de Laurent). La función que los liga es la Serie de Laurent cuyos coeficientes son los elementos de la Sucesión= de origen. La importancia del modelo = de la Transformada Zeta radica en que permite reducir Ecuaciones en Diferencias o ecuaciones recursivas con coeficiente constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales.

a0 y[n] + a1 y[n–1] ++ ak y[n–k] =3D x[n] Ecuaciones en Diferencias Lineales con coeficientes constantes



Y(z) [ a0 +a1 z –1 + + ak z –k ] =3D X(z) Ecuaciones Algebr= aicas Lineales

Esta Transformada se usa ampliamente en el Estudio de Sistemas digitales (c= omo computadoras),


El modelo que se procesa resuelve en su esencia Ecuaciones en Diferencias d= onde se emplea la Transformada Zeta. Ecuaciones en diferencias se emplean también en economía , crecimiento = de poblaciones, biología, etc. y en problemas de la misma matematica.

1.4 APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA ZETA: SIST= EMAS TDLI
La Transformada Zeta es de particular aplicación sobre los Sistemas = de Tiempo Discreto Lineales e Invariantes. (TDLI
1.5.- SEÑALES PARTICULARES
Dos señales de uso frecuente en los Sistemas TDLI son el Escal&oacut= e;n Unitario y el Impulso Unitario.

Def: Impulso Unitario δ: Z R n≠0 0 n ï£&= sup2; n=3D0 1 Def:- Escalón = Unitario u: Z R n 1/ r}

D1.- Este Teorema es corolario del anterior.

4.6.- TZ DE LA DIFERENCIA FINITA


4.6.1.- PRIMERA DIFERENCIA f[n] F(z)


T6.-

aˆ†f[n] :=3D f[n+1] – f[n] (z – 1) F(z)

D1.- aˆ†f[n] :=3D f[n+1] – f[n] z F(z) –= F(z) =3D (z–1) F(z) D2.-

1 2πi

∫

γ

(z–1) F(z) z n–1 dz =3D

1 2πi

∫

γ

F(z) z n dz –

1 2πi

∫

γ

F(z) z n–1 dz

=3D f[n+1] – f[n]

4.6.2.- SEGUNDA DIFERENCIA f[n] F(z)


T’6.-

aˆ†2f[n] :=3D aˆ† f[n+1] – aˆ† f[n] (z–1) 2 F(z)
aˆ†2f[n] (z–1) [(z–1) F(z)] aˆ†2f[n] =3D f[n+2] – 2 f[n+1] + f[n] (z2 – 2 = z+ 1) F(z)

D1.- [Aplicando T6] D2.- [Aplicando la definición de aˆ†2f[n] ]

4.7.- TZ DE LA SUMA FINITA T7.f[n] F(z)

∑
k =3D0

p

f[n+k] F(z)

1 − z p+1 1− z

: z A(f) (Anillo de Convergencia de f)

D1.-

∑
k =3D0

p

f[n+k] =3D F(z) + z F(z) + z2 F(z) + z 3 F(z) + + z k F(z)++ z p F(z= )

=3D F(z)

1 − z p +1 1− z

4.8.- DERIVADA DE LA TZ T8.f[n] F(z)


n f[n] – z F’(z)

D1.- F(z) =3D

n =3D −∞

∑
+∞

+∞

f[n] z – n

Como la SL es CU se puede derivar término a término en su ROC F’(z) =3D

n =3D −∞

∑
+∞

(– n) f[n] z – (n+1)

– z F’(z) =3D

n =3D −∞

∑

n f[n] z – n

D2.-

1 2πi

∫

γ

– z F’(z) z n–1 dz =3D

1 2πi

∫

γ

– F’(z) z n dz


=3D – F(z) z n

γ

+ n

1 2πi

∫

γ

F(z) z n–1 dz

=3D 0 + n f[n] La parte integrada es nula porque en el anillo de CV de la s= erie F(z) – F(z) z n
γ

=3D – F(z) z n

A =3D ρe i (Ï•+ 2 π)

+ F(z) z n

A =3D ρ e iÏ•

=3D0

4.9.- PRIMITIVA DE LA TZ 4.9.1.- PRIMITIVA DE LA TZ EN EL ANILLO A(r1,r2) En el caso de la Región de CV A(r1,r2)

T9.-

  ⇒ – f[n+1]= / n Γ ( I =3D= [ ab ]) A( r1 , r2 )

f [n] F( z )

∫

z a

F(ζ) dζ

D1.-

Llamando G(z) :=3D

∫

z

a

F(ζ) dζ

– z G’(z) =3D – z F(z) n g[n] =3D – f[n+1]

D2.-

1 2πi

∫ [∫
γ

z

a

F(ζ) dζ ] z n–1 dz =3D

1 1 [ 2πi n

∫

z

aF(ζ) dζ ] z n G(z) :=3D

α+π α

–

1 1 2πi n

∫

γ

F(z) z n dz =3D

La parte integrada es nula porque la función

∫

z

a

F(ζ) dζ

es unívoca. Queda:

∫

z

a

F(ζ) dζ

←<= /span>

– f[n+1] / n

4.9.2.- PRIMITIVA DE LA TZ EN EL ANILLO A(r1,∞)
En el caso de la Región de CV A(r1,∞) el Teorema queda as&iacu= te;:

T’9.-

f [n] F( z )   ⇒ -- f[n+1] / n = γ ( I ) <= /span>⊂ A( r1 ,+∞ )

∫

z

∞

F(ζ) dζ

Aplicando el Teorema anterior e invirtiendo el orden de integración:= :

f [n] F( z )   ⇒ γ ( I ) <= /span>⊂ A( r1 ,+∞ )

f[n+1] / n –

∫

z

∞

F(ζ) dζ =3D

∫

∞

z

F(ζ) dζ

4.10.- CONVOLUCIÓN DE SUCESIONES. ANTITRANSFORMA= DA DEL PRODUCTO DE TRANSFORMADAS. T10.-

f [n] F( z )   ⇒ h[n] :=3D f[n]= * g[n] :=3D g [ n ] G( z ) 
F(z) G(z) =3D

k =3D −∞

∑

+∞

f[k] g[n – k]

→<= /span> F(z) G(z)

D1.-

k =3D −∞

∑

+∞

f[k] z – k

j=3D −∞

∑

+∞

g[j] z – j

=3D

k =3D −∞

∑
+∞

+∞

f[k]

j=3D −∞
+∞

∑

+∞

g[j] z – (k+j)

Haciendo n – k =3D j =3D

k =3D −∞ +∞

∑

f[k]
+∞

n =3D −∞

∑

g[n– k] z – n

=3D Queda

k =3D −∞

∑ ∑
=3D

f[k] g[n– k] z – n

n =3D −∞
+∞

h[n]

k =3D −∞

∑

f[k] g[n–k]

D2.-

1 2πi

∫

γ

F(z) G(z) z n–1 dz =3D

1 2πi

∫ ∑
γ

+∞

[

f[k] z – k ] G(z) z n–1 dz

k =3D −∞

=3D

k =3D −∞

∑

+∞

f[k] [

1 2πi

∫

γ

G(z)z n–k–1 dz ]


=3D

k =3D −∞

∑

+∞

f[k] g[n–k]

4.11.- CONVOLUCIÓN DE TRANSFORMADAS. TRANSFORMADA DE PRODUCTO DE SUCESIONES

T11.-

f [n] F( z )  1  ⇒ f[n] g[n] F(z)*G(z) :=3D= g [ n ] →<= /span> G( z )  2πi
f[n] g[n] F(z)*G(z) :=3D= =3D

∫γ

F ( ζ )G ( z / ζ ) dζ ζ

D1.-

n =3D −∞

∑

+∞

f[n] g[n] z – n

n =3D −∞ +∞

∑

+∞

[

1 2πi 1 2πi

∫ ∫
+∞

γ

F(ζ) ζ n–1 dζ ] [ [

1 2πi

∫

γ

G(ψ ) ψ n-1 dψ ] z – n

=3D

n =3D −∞

∑

[

γ

1 2πi 1 2πi

∫

γ

F(ζ) ζ n –1 G(ψ) ψ n-1 dζ dψ ] ] z R= 11; n [

=3D τ =3Dζψ 

n =3D −∞

∑

[

∫

γ

1 2πi

∫

γ

F(ζ )G ( τ / ζ ) dζ ] τ n–1 dτ ] ] z – n ζ

f[n] g[n] F(z)*G(z) :=3D=

1 2πi

∫

γ

F(ζ )G (z / ζ ) dζ ζ

D2.-

1 z F(ζ )G (z / ζ ) =3D ( f[n] ζ – n ) ( g[k] ( )̵= 1; k ) ζ ζ n =3D −∞ ζ k =3D −∞

∑

+∞

∑

+∞

=3D

n =3D −∞

∑ ∑
γ +∞

+∞

+∞

f[n] g[k] z – k ζ – n+k –1
+∞

1 2πi

∫

γ

F(ζ )G (z / ζ ) 1 dζ =3D ζ 2πi
=3D

∫ ∑ ∑
n =3D −∞

k =3D −∞ +∞

f[n] g[k] z – k ζ – n+k–1 dζ

1 2πi

∑ ∑
+∞

n =3D −∞ k =3D −∞ +∞

f[n] g[k] z –n [

k =3D −∞

∫

γ

ζ – n+k– 1 dζ ]

∫

γ

ζ –n+k –1

2πi dζ =3D  0

n=3Dk n≠k

1 2πi

∫

γ

F(ζ )G (z / ζ ) 1 dζ =3D ζ 2πi

n =3D −∞

∑

f[n] g[n] z – n

4.12.- SUCESIÓN PERIÓDICA T12.- f[n] =3D f[n–T] f[0], f= [1], f[2], , f[T–1]
f[n] u[n] F(z) =3D=3D

1 1− z
−T

[ f[0] + f[1] z –1 + f[2] z –2 + + f[T-1] z –(T -1)] T −1

1 1− z
−T

∑
k =3D0

f[k] z – k

|z|>1


D.-

∑
n =3D0

+∞

f[n] z – n =3D

f[0]

+ f[1] z –1

+ f[2] z –2

+

+ f[T–1] z – (T –1) + f[T–1] z – (2T –1= ) +

+ f[0] z –T + f[1] z –(T+1) + f[2] z –(T+2) + + +=

+ f[0] z – nT + f[1] z – (nT+1) + f[2] z – (nT+2) + + f[T–1] z – ((n+1)T – 1) + =3D =3D

f [ 0] 1 − z −T 1 1− z
−T

+

f [1] z −1 1 − z −T

+

f [2] z −2 1 − z −T

+ +

f [T − 1] z − (T −1) 1 − z −T

.

[ f[0] + f[1] z –1 + f[2] z –2 + =

+ f[T–1] z – (T –1) ]

La ROC es

| z –T | < 1 | z | > 1
4.13. RESUMEN DE PROPIEDADES

f[n] f[n] =3D
1 2 k Z 2’ k∈ N
n −1

F(z)
F(z) z n–1 dz F(z) =3D

ROC
f[n] z – n A(r1,r2) A(f) A(g)

1 2πi

∫

I

n =3D −∞

∑
–1

+∞

a f[n] + b g[n] f[n–1] f[n+1] f[n–k] f[n+k] u[n] f[n–k] u= [n]
k

a F(z) + b G(z) z z z
–k

F(z) F(z) F(z) B(∞ ,r) A(f)

z [F(z)– f[0]– f[1] z – – f[k–1] z –(k–1) ] z -k F(z) F(z –b) F(z/a) F(e
–iα

-1

3

∑
k =3D0

Cn–1,k b n–1–k f[ k+1] an f[n] e +iαn f[n]

A(f , b) A(|a|r1 , |a|r2) A(r1,r2) A(r11/a , r21/a) A(r2– 1 , r1̵= 1; 1) A(f)

4

z)

5

f[an] f[–n]

F(z ) F(1/z) (z–1) F(z) (z–1)2 F(z)

1/a

6

aˆ†f[n] :=3D(f[n+1] – f[n]) u[n] aˆ†= ;2f[n] :=3D (aˆ†f[n+1] –aˆ†f[n]) u[n]


6’

aˆ†f[n] :=3Df[n+1] – f[n] aˆ† f[n] = :=3D aˆ† f[n+1] – aˆ†f[n]
2 2

(z–1) F(z) – z f[0] (z–1) F(z) – z ( z – 2) f= [0] – z f[1] F(z)

B(∞ ,r)

7

∑
k =3D0

p

f[n+k]

1 − z p+1 1− z

A(f) A(f) A(r1,r2) A(r1,∞)

8 9

n f[n]
− f (n+1) n f (n+ 1) n

– z F’(z)

∫ ∫

z

a

F(ζ) dζ F(ζ) dζ

∞

z

10 f[n] * g[n] :=3D 10’

k =3D −∞

∑

+∞

f[k] g[n–k]

F(z) G(z)

A(f) A(g) B(∞= ,r)

( f[n] u[n] )*( g[n] u[n] ) :=3D :=3D

∑
k =3D0

n

F(z) G(z) f[k] g[n– k] F(z)*G(z):=3D

11 f[n] g[n] 12 f[n] =3D f[n+T]

1 2πi

∫γ

F ( ζ )G ( z / ζ ) dζ ζ

A(f) A(g) |z|>1<= br>
1 1− z
−T

[ f[0]+f[1] z -1++f[T–1] z -(T-1)]

5.- TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL - CAUSAL Los Sistema son del tipo causal cuando su salida depende solamente de la entrada presente y pasada, es deci= r no depende de valores futuros. En los Sistemas TDLI causales donde se quiere analizar el efecto de condiciones iniciales, se hace por medio de la Transformada Zeta Unilateral que se estudia a continuación:

5.1.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CAUSAL Def.- Función Causa= l f: Z R

0  n  ¯ f [n]

n1

1 1 − z −T

[ f[0]+f[1] z– 1++f[T–1] z–(T– 1)]

6.- APROXIMACIÓN ENTRE LAS SEÑALES DE TIEMPO CONTINUO Y DISCR= ETO Como ya se ha dicho en la Introducción , el control de procesos por computadoras o procesadores digitales hace necesario la conversión d= e la informaciónanalógica a digital (A/D) y viceversa (D/A).

La ventaja fundamental de la variable discreta, es que permite el proceso y almacenamiento de la información (datos) en computadoras digitales. = La Conversión A/D significa captar registros a intervalos discretos regulares de señales continuas en el tiempo (eléctricas o de otra índole representables por números reales). Dichos valores discretos llamados muestras con= forman una sucesión de números enteros.


A partir de una función f(t) de variable continua (real), las muestr= as de la función, tomados a intervalos regulares de tiempo T empezando = de t =3D 0 se forma la sucesión : f[0], f[T], f[2T], f[3T], , f[nT], .= ..

Por otro lado a partir de la sucesión f[nT] se puede la construir una función de variable continua escalonada tomando el valor f[nT] como constante en cada intervalo de tiempo amplitud T: t [ nT (n+1)T[ . Esta función escalonada es la aproximación de la señal de entrada f(t) . Desde el punto de vista matematico la función escalonada fe= (t) de variable continua puede representarse como: fe(t) :=3D

∑

f[nT] pulso[nt] =3D

∑

f[nT] [u[nT] – u[(n+1)T]

La relación entre las funciones de variable continua, f(t) y fe(t) permite establecer métodos aproximados de resolución para variable continua con variable discreta y viceversa. Son ejemplo de ello:
Variable real (continua) Sistemasanalógicos Transformada de Laplace Derivadas Ecuaciones diferenciales lineales Integrales

Variable discreta (enteros y fraccionarios) Sistemas digitales Transformada Zeta Diferencias finitas Ecuaciones en diferencias finitas lineales Sumas
6.1.- ERRORES DE LA APROXIMACIÓN La conversión A/D conlleva entonces dos aproximaciones, que introducen una perturbación o error= en la señal de entrada: 1. Error por pasaje de función continua (números reales) a función escalonada (sucesión o función discreta de números enteros o fraccionarios) Esto aproximación puede llevar a errores por exceso o por defecto de la entrada. La cota del error de aproximación depende esencialmente <= st1:place w:st=3D"on">del período T de muestreo. Error de conversión de un Código de número entero a Código Binario


Un segundo error se introduce cuando los valores discretos (enteros o fraccionarios) se representan en código binario. Este error depende = de la cantidad de bits que se tomen para representar los números entero= s en el procesamiento digital. Ejemplo de ello se ha especif= icado en la Tipificación de Sistemas y Señales.

6.2.- RELACIÓN ENTRE LA TRANSFORMADA ZETA UNILATERAL Y LA TRANSFORMA= DA DE LAPLACE La aproximación entre la función continua y la función escalonada correspondiente también establece la relación entre las Transformadas de Laplace y Zeta de cada una de el= las

f(t)

TL  F(s)=3D

↓<= /span> muestreo con período T

∫

+∞

f(t) e– st dt

0

f(nT) TZ F(z,T) =3D 

∑
n=3D0

+∞

f[nT] z – n

A partir de la TZ se puede definir una TZ para un período T. F(z) = =3D

∑
n=3D0
+∞

+∞

f[n] z – n f[ nT] z – n

F(z,T) =3D

∑
n=3D0

Multiplicando por T F(z,T) T =3D

∑
n=3D0

+∞

f[ nT] z – n T

Y cambiando de variables y pasando al límite pata T 0+ se obtiene = la TL tn =3D nT T =3D (n+1)T – nT =3D aˆ†t z =3D e sT F(z,= T) T =3D F(e s T ,T) T =3D

∑
n=3D0

+∞

f[ tn ] ( e sT ) – n aˆ†t =3D
↓<= /span> T 0+

∑
n=3D0

+∞

f[ tn ]

e −st n aˆ†t

F(s) =3D

∫

+∞

f ( t ) e– s t d t

s

0


La Región de CV de la TL y la TZ también estan relacionadas por la función

z =3D e sT

ROC TL: Re(s) > α

↔<= /span>

ROC TZ: B(∞, R =3D eαT)

Como se observa en el grafico la ROC de la TL: un semiplano de s a la derecha de la abscisa α se transforma en la ROC de la TZ unilateral , = una Bola con centro en el ∞ y Radio R =3D eαT

6.3.- APROXIMACIÓN DE DERIVADAS CON DIFERENCIAS FINITAS
El método consiste en reemplazar las derivadas por diferencias finit= as:

y’(t)

y[ n ] − y[ n − 1] aˆ†y[ n − 1] =3D T T = donde con T suficientemente pequeño se puede esperar una aproximació= ;n conveniente.
Analogamente para segundo orden.

y[n ] − y[ n − 1] y[n − 1] − y[n − 2] −= y[ n ] − 2 y[n − 1] + y[n − 2] aˆ†2 y[n = 722; 2] T T =3D =3D y’’(t) T T2 T2

6.4.-APROXIMACIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES CON ECUACIONES EN DIFEREN= CIAS FINITAS
La aproximación de las Ecuaciones Diferenciales por Ecuaciones en Diferencias se basa en la aproximación de las Derivadas con Diferenc= ias. Se presentan como ejemplo dos variantes , aunque puede haber otras opciones= :

I.- Primera aproximación para la Ecuación Diferencial y(t) y[n]


y’(t)

aˆ†y [ n − 1 ] T aˆ†2 y [ n −= 2 ] y’’(t) T

etc.

II.- Segunda aproximación: y(t) y[n] aˆ†y [ n ] y’(t) T aˆ†2 y [ n ] y’’(t) etc T En ejercicios posteriores se ejemplifican algunas aproximaciones.

6.5.- APROXIMACIÓN DE INTEGRALES CON SUMAS FINITAS
También las Integrales de Riemann o Impropias se pueden calcular por aproximación por la TZ:

6.5.1.- INTEGRALES DE RIEMANN

∑
k =3D0

N

f[ nT] T =3D T

∑
k =3D0

N

f[ nT]

6.5.2.- INTEGRALES IMPROPIAS

∑
k =3D0

+∞

f[ kT] T =3D T

∑
k =3D0

+∞

f[ kT] =3D T F(z)

z=3D1

=3D T F(1)

7.- APLICACIONES 7.1.- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS 7.1.1= .- ECUACIONES EN DIFERENCIAS SIN CONDICIONES INICIALES
Dado una Ecuación en Diferencias Lineal y con Coeficientes Constante= s su Transformada Z es: a0 y[n] + a1 y[n–1] + a2 y[n–2] + + an-k= y[n–k] =3D x[n] Y(z) [ a0 + a1= z –1 + a2 z –2 + + an–k z – (n–k) ] =3D X(z) Llamando A(z) :=3D [ a0 + a1 z –1 + a2 z –2 + + an–k z – (n–k) ] Se tiene la solución generalde la ecuaci&oacut= e;n en diferencias en el campo Transformado z. (que responde a la ley de Ohm).<= br>
Y(z) :=3D

X( z ) A( z )

7.1.2.- ECUACIONES EN DIFERENCIAS CON CONDICIONES INICIALES
Dado una ecuación en diferencias y las condiciones iniciales:


an+k y[n+k] + an+k-1 y[n+k–1] + + a0 y[n] =3D x[n] y[0] =3D c0 y[= 1] =3D c1 y[2] =3D c2 y[n–k] =3D cn-k Se transforma como: an+k y[n+k] + an+k-1 = y[n+k-1] + + a0 y[n] =3D x[n] an+k z k [ Y(z) – y[0] – y[1] z ̵= 1;1 – y[2] z –2 - – y[k–1] z – (k–1) ] + k–1 –1 –2 – (k–2) + an+k-1 z [ Y(z) – y= [0] – y[1] z – y[2] z - – y[k–2] z ]+ + + a0 [Y= (z)] =3D X(z) Ordenando: Y(z) [ an+k z k + an+k-1 z k–1 – y[0] [ an+= k z k + an+k-1 z k–1 – y[1] [ an+k z k–1 + an+k-1 z k–2 – y[2] [ an+k z k–2 + an+k-1 z k–3 – y[k–= 1] [ an+k z ] =3D X(z) + + a0 ] – + + a1 z ] – + + a2 z ] – + + a3 z ] –

Llamando A(z) :=3D [ an+k z k + an+k-1 z k–1 + + a0 ] C(z) :=3D f= [0] [ an+k z k + an+k-1 z k–1 + + a1 z ] + + f[1] [ an+k z k–1 + an+k-1 z k–2 + + a2 z ] + + f[2] [ an+k z k–2 + an+k-1 z k–3 + + a3 z ] + + f[k] [ an+k z ] . Resulta: Y(z) A(z) ̵= 1; C(z) =3D X(z) Se tiene la solución general de la ecuación en diferencias en el campo Transformado z

Y(z) =3D

X ( z ) C( z ) + A( z ) A( z )
Esta solución es la suma (superposición) de dos soluciones, la primera

Y1(z) =3D

X( z ) A( z )

que es la respuestadel sistema a la señal de Entrada (Sistema forzad= o) que responde a la ley de Ohm y la segunda

Y0(z) =3D

C( z ) A( z )
que es la respuesta del sistema a las Condiciones Iniciales (Sistema libre)=


7.2 .- APLICACIONES A SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO LINEALES E INVARIANTES. (TDLI) 7.2.1 SISTEMA TDLI EN EL CAMPO z
Un Sistema TDLI representado por una Ecuación lineal en diferencias finitas

se trasforma por medio de la Transformada z en

Y(z) =3D X(z) H(z)
que no es otra que la Ley de Ohm generalizada. A la relación entre l= a salida y la entrada del Sistema se la llama transferencia H(z) H(z) :=3D

Y( z ) X( z )

La solución del sistema es en general la convolución:

y[n] =3D x[n] * h[n]

7.2.2.- EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS TDLI Ejemplo 1: Resolver = el circuito de la figura con x[n] =3D u[n]

La ecuación que representa el circuito es: y[n] =3D x[n] + a y[nR= 11;1] Transformando con TZ : y[n] – a y[n–1] =3D x[n] TZ Y(z) –= ; a z–1 Y(z) =3D X(z) x[n] =3D u[n]

Y(z) [1 – a z–1 ] =3D

1 1− 1 z


Y(z) =3D

1 a 1 1− 1− z z
z2 (z − 1)(z − a )

1

Y(z) =3D

Se antitransforma: y[n] =3D y[n] =3D

1 2πi

∫γ
∫γ

Y(z) z n–1 dz z2 z n–1 dz (z − 1)(z − a ) 1 z n+1 d= z (z − 1)(z − a )

1 2πi 1 y[n] =3D 2πi

∫γ

I.- Caso a ≠ 1

1 [ – 1n+1 + a n+1 ] =3D a n+ a n–1+ a n–2+ + a2 + a += 1 a −1 1 1 1 w – (n+1) ; 0 ) =3D 0 y[n] n