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FACTORIZACIÓN

MATEMATICA BASICA

I SEMESTRE


Cartagena de Indias D. T. y C., Abril 12 de 2009
CASOS DE FACTORIZACIÓN

La Factorizacion es expresar un objeto o numero (por ejemplo, un numero compuesto, una matriz o un polinomio) en el producto de otros objetos mas pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que al multiplicarlos todos, resulta el objeto original, por ejemplo el numero 15 se factoriza en números primos 3X5; y a2-b2 se factoriza en el binomio conjugado (a-b) (a+b).

La factorizacion se utiliza normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes.

Factorizar enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y factorizar polinomios en el teorema fundamental del algebra



FACTORIZAR UN POLINOMIO

Antes que todo, hay que decir, que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos si se puede. Existen métodos de factorizacion, para algunos casos especiales.
• BINOMIOS

1º Diferencia De Cuadrados.
2º Suma o Diferencia De Cuadrados.
3º Suma O Diferencia De Potencias Impares Iguales.
• TRINOMIOS
1º Trinomios Cuadrados Prefectos.2º Trinomios De La Forma x2+bx+c
3º Trinomios De La Forma ax2+bx+c
• POLINOMIO

1º Factor Común.

CASO 1- FACTOR COMUN.

Este caso se emplea para factorizar una excreción en la cual se extrae la literal común;(puede ser un numero, una letra, o la combinación de los dos) de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. EJEMPLOS: 1) X3+Y+X2X2-2XY=XY(X2+XY-2)
2) 9a3x2-18ax3=9ax2(a2-2x) 3) X(a+1)-a-1=x(a+1)- (a+1)= (a+1) (x-1)

* Factor Común polinomio

Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término sino con dos.

Veamos un ejemplo: 5x2(x-y) 7(x-y

Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio (x-y). Entonces ese sera el factor común. El otro factor sera simplemente lo que queda del polinomio original, es decir (5x2+3x+7)


Finalmente la respuesta seria (x-y) (5x2+3x+7)
En algunos casos debemos utilizar el numero 1, por ejemplo en: 5a2 (3a+b)+3a+b
Que se puede utilizar como: 5a2(3a+b)+1(3a+b)

Entonces la respuesta seria: (3a+b) (5a2+1)

CASO II- FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identificaque es un número par de términos.

Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso es decir:
ab+ac+bd+dc
=(ab+ac)+(db+dc)
= a(b+c)+d(b+c)
= (a+b) (b+c)
EJEMPLOS:

1) a2+ab+ax+bx

agrupando los términos: (a2+ab) y (ax+bx) tenemos: a2+ab+ax+bx=(a2+ab)+(ax+bx) Hallando el factor común en cada agrupación tenemos: (a2+ab)=a(a+b) y (axbx)=x(a+b) luego: a2+ab+ax+bx=(a2+ab)+ (ax+bx)=a(a+b)+x(a+b) Determinando el factor comun de la exprecion: a(a+b)+x(a+b)=(a+x) (a+b) tenemos que: a2+ab+ax+bx=(a+x) (a+b)

2) 3abx2-2y2-2x2+3aby2
Agrupando los terminos: (3abx2-2x2)+(3aby2-2y2) tenemos 3abx2-2y2-2x2+3aby2=(3abx2-2x2)+(3aby2-2y2)
Determinando el factor comun d cada agrupación tenemos: (3abx2-2x2)= x2(3ab-2) (3aby2-2y2)=y2(3ab-2) , luego: 3abx-2y2-2x2+3aby2= x2(3ab-2) +Y2(3ab-2)
Determinando el factor comun de la exprecion: x2(3abx-2)+ y2(3ab-2)= (x2+y2) (3ab-2)
3) 1+a+3ab+3b
agrupando los términos: ( 1+a) +(3ab+3b) tenemos: 1+a+3ab+3b=(1+a)+(3ab+3b)
Hallando el factor común 3b tenemos que: ( 3ab+3b)=3b( a+1); entonces 1+a+3ab+3b=( a+1)+3b( a+1) ;

hallando el factor común ( 1+a) de la expresión (1+a)+3b(a+1);
tenemos que:1+a+3ab+3b=(1+a)+3ab+3b)=(1+a) (1+3b)

CASO III-TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Este nombre es otorgado a los trinomios que cumplen con las siguientes características.
1ª El primer y tercer término tienen raíz cuadrada exacta y son positivos.
2ª El segundo término es igual a dos veces el producto de las raíces cuadradas y puede ser positivos o negativos y se factoriza como una suma o diferencia, dependiendo del segundo término, elevado al cuadrado, se factoriza así

Ejemplos:
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Casos especiales

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CASO IV- DIFERNCIA DE CUADRADOS

Se diferencia por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos.

Se resuelve por medio de dos paréntesis (parecidos a los productos de la forma (a-b) (a+b uno negativo y otro positivo. En los paréntesis debe colocarse las raíces.
Ejemplos


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La Factorizacion de la diferencia o resta de cuadrado consiste en obtener la raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.

* Suma o diferencias de potencias iguales

Para solucionar este caso debes tener en cuenta los conocimientos adquiridos sobre cocientes notables, se decir n pertenece a z.

an-bn / a-b
si n es par y
an-bn/a+b
Sí n es impar an+bn/a+b
Se factoriza así: Sí n pertenece a zan+bn= (a-b) (an-1+an-2b+an-3b2+…+an-nbn-1)
si n es par:
an-bn = (a+b) (an-1-an-2b+an-3b2-…-an-nbn-1)
si n es impar:
an+bn = (a+b) (an-1-an-2b+an-3b2-…+an-nbn-1)

CASOS ESPECIALES

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CASOS ESPECIALES: Combinación de los casos III y IV

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CASO V- TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que complementarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo se usan como ayuda los casos, números II y IV. Para moldar debe saber el coseno de la raíz de la suma de dos polinomios X que multiplicado salga igual a la raíz de Z.



Xº+2XY+Yº-1= (X+Y-1= (X+Y+1) (X+Y-1)

· En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio),en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.

EJEMPLOS
m4-10m2n2+9n4

resolviendo nos queda:

m4-10m2n2+9n4+4m2n2-4m2n2

m4-6m2n2+9n4-4m2n2

(m2-3n2)2-(2mn)2

Aplicando diferencia de cuadrados:

[(m2-3n2)+2mn] [(m2-3n2-mn]

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CASOS ESPECIALES: FACTORAR UNA SUMA DE DOS CUADRADO

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CASO VI- TRINOMIO DE LA FORMA x2+bx+cEste trinomio debe cumplir con los siguientes características:

1º Debe estar organizado de forma correspondiente ( es decir , debe coincidir con la formula).

2º El primer termino debe ser positivo y tener raíz cuadrada exacta.

3º La variable que esta acompañando el segundo termino debe ser la raíz cuadrada del termino numérico uno.

4º existen dos números que
M+m=byM.m=c

Es decir
X2 n+bxn+c= (xn+m) (xn+m)

* Se identifica por tener tres términos, hay una literal como exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el termino independiente y sumados(pudiendo ser números negativos) den como resultado el termino del medio.

EJEMPLOS:

X2+5X+6=0

Factorizando queda como:

(X+3) (X+2)=0

Ya que:
3X2=6 Y 3+2=5

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CASOS ESPECIALES

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CASO VII-TRINOMIO DE LA FORMA ax2+bx+c

En este caso se tiene tres términos:

1º el primer termino es un cuadrado perfecto, o sea que tiene raíz cuadrada exacta.

2º tiene la mitad del exponente del término anterior.

3º es un término independiente, o sea una parte literal, a si:
4x2+15x+9

Para factorizar una expresión de esta forma ; primero se extrae los factores de los dos términosde los extremos, después de extraídos se multiplican cruzandolas entre si, o sea el primer factor del término de la derecha y el segundo factor del término de la izquierda y lo mismo con los otros dos, así:

Los factores de 4x2 son: 4x y x,y los de 9 son: 3y3. Por lo tanto se multiplica 4x entre 3 y X entre 3, luego se suma los productos y el total debe ser termino de en medio, en este caso 15x, veamos.

4x(3)+x(3)= 12x+3x=15x

Luego encerramos en dos paréntesis los dos primeros factores y los 2 últimos (en línea recta),y ese sera el resultado de la descomposición factoral así:

4x2+15x+9=(4x+3) (x+3)

EJEMPLOS:
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CASOS ESPECIALES

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CASO VIII-CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b2

(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b2

Es decir que debe cumplir con las siguientes características:

1º Debe tener cuatro términos.

2º Que el primero como el último término sean cubos perfectos.

3º Que el segundo termino sea aproximadamente el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.

4º Que el tercer término sea mas que el triple de la raíz cúbica del último.

* raíz cúbica De Un Monomio:

Esta se obtiene tomando la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cadaletra entre 3. Facturar una expresión que es el cubo de un binomio

(1+12a+48a2+64a3)

Ejemplos:

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CASO IX- SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Para esto debemos recordar que

a3+b3= a2-ab+b2
a+b

y
a3-b3= a2+ab+b2
a-b

Tenemos que tener en cuenta las siguientes reglas para desarrollarlo:

* La de sus cubos perfectos se descomponen en dos factores:

1º La suma de sus raíces cúbicas.

2º El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la secunda raíz.

* La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores

1º La diferencia de sus raíces cúbicas.

2º El cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de al secunda raíz

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CASOS ESPECIALES
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CASO X- SUMA O DIFERNCIAS DE DOS POTENCIAS IGUALES
Debemos tener en cuenta una pequeña recapitulación de:

* an-bn es divisible por a-b siendo n un numero par o impar

* an+bn es divisible por a+b siendo n impar

* an-bn es divisible por a+b siendo n par

* an+bn nunca es divisible por a-b

EJEMPLOS:

m5+n5

se divide por m+n

y tenemos
m5+n5 = m4-m3n+m2n2-mn3+n4
m+n

y obtenemos como respuesta

m5+n5=(m+n) (m4-m3n+m2n2-mn3+n4

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