GRAFICAS PARA CONTROL DE PROCESO



En general, las variaciones que ocurren en un proceso de producción caen en dos amplias categorías; variaciones aleatorias y variaciones con causas asignables. Las variaciones aleatorias pueden tener un complejo de causas reales menores, ninguna de las cuales es responsable por parte importante de la variación total. La realidad es que estas variaciones ocurren de forma aleatoria y es muy poco lo que puede hacerse respecto a ellas dado el proceso en que ocurren. Por otra parte, las variaciones con causas asignables son relativamente grandes y pueden rastrearse hasta su origen. En general, las causas asignables son resultado de
1. Diferencia entre los trabajadores.
2. Diferencia entre las maquinas.

3. Diferencias entre materiales.
4. Diferencias debidas a la interacción entre cualesquiera dos o tres de las causas anteriores.


Puede desarrollarse un conjunto parecido de causas asignables para cualquier proceso. Por ejemplo, las causas asignables para una variación en el ausentismo puede ser una epidemia, cambios en las relaciones interpersonales dentro de la familia o en la situación laboral del empleado, entre otras.


Cuando un proceso se encuentra en un estado de control estadístico, las variaciones que ocurren en el número de defectos, la magnitud de una dimensión, la composición química, el peso y otras parecidas se deben solamente a una variación aleatoria normal. Con la grafica de control se establecen estandares de variación normal esperada debida a causas aleatorias. De esta forma Cuando las variaciones debidas a unas o mas de las causas asignables se traslapan de inmediato “saltan a lavista” e indican que algún componente basico ha cambiado. Entonces es posible investigar para encontrar la causa asignable y corregirla. Estos mecanismos de control estadístico se denominan graficas de control.



Marco Conceptual para graficas de control



Si se toma un conjunto de medidas en secuencia, los datos pueden acomodarse como una distribución y calcular la media y la desviación estandar. Si se tiene entendido que los datos provienen de una distribución normal de la población, pueden establecerse estimados precisos respecto a la probabilidad de ocurrencia asociada con las medidas, dada en unidades de desviación estandar como sigue:


68.26 por ciento de los valores normalmente caen dentro de ( + (
95.45 por ciento de los valores normalmente caen dentro de ( + 2(
99.73 por ciento de los valores normalmente caen dentro de ( + 3(


Estos valores porcentuales representan el area bajo la curva normal entre los límites dados; por tanto, indican la probabilidad de ocurrencia para los valores que provienen de la distribución normal que generó las mediciones. Por ejemplo, la probabilidad es de 95.45 en 100 de que una medida obtenida en forma aleatoria caiga dentro de los límites de 2( y solamente 4.55 en 100 de que caiga fuera de estos límites. Estos valores, así como los valores decimales para ( provienen de la tabal para la distribución normal de probabilidad disponible como en la tabla 6 en el apéndice. La tolerencia natural de un proceso, es decir, la variación esperada en el proceso, generalmente se considera como 3(. Los estimados de la tolerancia natural se basaran en información de la muestra. Se utilizara la siguiente notación:( = Media de la población (parametro)
[pic] = Media de una muestra obtenida de la población (estadística)
(. = Desviación estandar de la población (parametro
s = Desviación estandar de una muestra obtenida de la población estadística.


Dado que debe usarse información de la muestra para estimar las medias y las desviaciones estandar de la población, la tolerancia natural de un proceso se estima sustituyendo [pic 3s en las estadísticas de la muestra.



Clases de graficas control



Generalmente se utilizan dos tipos basicos de graficas de control., con algunas variantes:
• Graficas de control para variables.
• Graficas de control para atributos


Las graficas de control para variables son utilizadas cuando el parametro bajo control es alguna medida de una variable, tal como la dimensión de una parte, el tiempo para realización de un trabajo y otras. Las graficas de variables pueden basarse en mediciones individuales, valores de la media de muestras pequeñas, valores de la media de mediciones de variabilidad.
Las graficas de control para atributos se emplean cuando el parametro bajo control es la proporción o fracción de unidades defectuosas. Existen diversas variantes de las graficas para control de atributos. Las graficas de control para el número de defectos por unidad se utilizan cuando un solo defecto no tiene demasiada importancia pero un gran número de defectos puede dar como resultado un producto defectuoso, como en el caso del número de rayones en una superficie pintada. A continuación se analizaran todos los tipos anteriores de graficas de control, suministrando las bases para su diseño:Mediciones individuales (muestra de uno)



Si se han establecido estandares para la media y la desviación estandar de una variable con distribución normal resultante de condiciones normales, estos datos pueden usarse para construir una grafica de control. Tomando la tolerancia natural de los límites + 3s como un estandar de variación para la media, las mediciones individuales pueden gratificarse para determinar si los puntos caen dentro de los límites de control de + 3s o si muestran una tendencia a desviarse mas alla de uno de los límites de control. Se sabe que si muestras sucesivas son representativas de la población original, la probabilidad de que una muestra caiga fuera de los límites de control establecidos es reducida. Por otra parte, si las mediciones de la muestra llegan a caer fuera de los límites de control, se tendran razones para creer que algo ha cambiado en el proceso, siendo necesario investigar y corregir la causa
.
Los límites de control para la grafica de control ebn la figura son:


Límite superior de control, LSC – x + 3s – 1.000 + 3 x 0.0020 – 1.0060
Límite superior de control, LIC – x – 3s – 1000 – 3 x 0.0020 – 0.9940



¿Qué límites de control?

[pic]
El proceso a partir del cual se obtuvieron las muestras en la figura 1, parece estar bajo control aplicando el criterio + 3s. Pero, si se hubieran adoptado límites de control de + 2s, el penúltimo punto habría quedado fuera de los límites. Existe una probabilidad del 4.55 por ciento de que esto hubiera ocurrido por aleatoriedad en los datos. Su existencia hubiera activado una investigación y si la investigación hubiera indicado que no existieron cambios en elproceso, el costo de dicha investigación se habría desperdiciado. Por otra parte, si los límites de control fueran + 3s como se muestra y el proceso hubiera cambiado realmente, la observación habría sido ignorada y se habría producido mayor cantidad de desperdicio en el intervalo anterior al descubrimiento del cambio en el proceso.
En consecuencia, la disyuntiva al establecer límites de control radica en el balanceo de dos costos –el costo de investigación e inspección contra el costo de pérdidas cuando no se realiza una investigación. Generalmente, si el costo de la investigación es muy elevado en comparación con el costo de la investigación, sera necesario establecer límites de control mas sensibles.
Normalmente las graficas de control se desarrollan para muestras mayores a un ejemplar, pero las relaciones estadísticas para la figura son sencillas y de gran valor para entender las bases estadísticas de otras graficas de control.


Distribuciones de muestreo


Para la figura la grafica de control basada en muestras de n = 1, ya se ha establecido la normalidad de la distribución. Una razón importante para tomar muestras mayores a n = 1 es que puede obviarse la normalidad de la distribución de la población. Aun cuando una distribución de población puede apartarse radicalmente de la normalidad, la distribución de muestreo de medias de muestras aleatorias sera aproximadamente normal si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande. Este enunciado del teorema del límite central tiene gran importancia ya que asegura hasta cierto punto que las probabilidades asociadas con los límites de control que se establezcan seran aplicables. En realidad, la desviación a partir dela normalidad puede ser sustancial pero las distribuciones de muestreo de las medias de muestras tan pequeñas como n – 4 ó 5 seguiran bastante de cerca la distribución normal.




Si se toman muestras de n = 4 de la distribución de diametros de ejes, las medias de las muestras formaran una nueva distribución con una media y desviación estandar propias. Esta distribución se denomina una distribución de muestreo de medias de n = 4. Para distinguir las estadísticas de la distribución de mediciones individuales en la figura, se utiliza la notación x para la gran media de la distribución de muestreo y [pic] para la desviación estandar de la distribución de muestreo. Se espera que x y x sean casi iguales en el límite conforme aumente el número de muestras.


La desviación estandar para la distribución de muestreo sera mucho menor que para las mediciones individuales debido a que la variación se reduce por el proceso de obtención de promedios dentro de cada muestra. La relación resultante entre las dos distribuciones para los datos de los ejes se muestra en la figura. La relación resultante entre las dos distribuciones para los datos de los ejes se muestra en la figura. La relación entre s y sx esta dada por


[pic]
[pic]
Para crear una grafica de control para las medias es necesario establecer primero valores estandar para x y [pic] y para los límites de control de las medias de la muestra. Las medias de muestras subsecuentes se grafican y sera necesario tomar medidas si una media de la muestra llega a caer fuera de los límites de control. Los mecanismos de control que utilizan medias de la muestra se denominan graficas de control X y R.¿Por qué las medias de la muestra caen fuera de los límites de control?



Anteriormente se indicó que las causas basicas correspondían a diferencias en los trabajadores, la maquinaria, los materiales y las interacciones entre los primeros tres factores. Pero también pueden existir causas sistematicas que pueden atribuirse a estos factores basicos. Por ejemplo., si las partes se produjeran en un torno, dichas partes tenderían a aumentar de tamaño conforme la herramienta de corte se fuera desgastando. Este tipo de cambio en el proceso se reflejara en un desplazamiento de la media de la distribución de muestreo hacia el límite superior de control (LSC). Otros cambios podrían resultar en un desplazamiento hacia el límite inferior de control (LIC).
Otro tipo de variación sistematica, como el desgaste en un cojinete en la manivela del torno, se presentaría en la forma de una mayor variabiklidad en la distribución de muestreo y se esperaría que la media de la muestra saliera de ambos límites de control. La grafica X, entonces, puede mostrar cambios en las medias de las muestras y en la variabilidad de las muestras, así como combinaciones de ambas. Pero cuando los cambios en la variabilidad son particularmente importantes, puede construirse una grafica de control especial sobre una medida de variabilidad, como la grafica R.



Graficas [pic



Al construir graficas X, existen varias cuestiones que deben resolverse, tamaño de la muestra, establecimiento de estandares para promedio del proceso y límites de control y procedimientos practicos para reducir los calculos requeridos.



Tamaño de la muestra



En la industria, los tamaños de las muestras songeneralmente reducidos por buenas razones. Primero, es mas barato recolectar, inspeccionar y procesar muestras pequeñas. Segundo, las muestras de mayor tamaño deben obtenerse durante período mas prolongados y pueden presentarse cambios durante dichos períodos, impidiendo que las reacciones sean oportunas; las condiciones fuera de control no se detectaran tan rapidamente y pueden producirse desperdicios adicionales. Generalmente los tamaños de muestra mas comunes son de cuatro o cinco ejemplares. Este tamaño anticipa los problemas indicados y es lo suficientemente grande como para que el teorema del límite central garantice la normalidad en la distribución del muestreo. Por otra parte, las muestras de mayor tamaño tienen el efecto de hacer mas estrechos los límites de control. Debe notarse que el tamaño de la muestra esta en el denominador de la fórmula para [pic]. De esta forma, una muestra de mayor tamaño significa una [pic] de menor tamaño. Pueden detectarse variaciones mas finas en los proceso cuando las muestras son mas grandes.


Definición de estandares para promedios del proceso y límites de control

¿Cómo puede determinarse si el promedio del proceso, [pic pic]., y los límites y los límites de control son representativos del proceso cuando éste se encuentra en un estado de control estadístico? Si el proceso estuviera cambiando durante el periodo en el cual se estuviera desarrollando información para definir estandares, los estandares no tendrían significado. Las condiciones no estandar podrían resultar en un cambio en el promedio, en la desviación estandar, o en ambos.

Para contar con una protección contra lo anterior, se calcula una s individual para cadauna de las pequeñas muestras de un subgrupo preliminar y después se promedian. Las medias de las muestras de un subgrupo se trazan sobre una grafica de control basada en [pic] para determinar si han ocurrido cambios en el promedio del proceso en el periodo durante el cual se recopilaron los datos preliminares debera. Para lograr los objetivos, el tamaño del subgrupo debera ser relativamente reducido, posiblemente de 20 a 25 y el periodo de tiempo durante el cual se recopilan los datos preliminares debera ser lo suficientemente largo como para poder reconocer cualesquiera cambios en el proceso que ocurran entre intervalos de muestreo.

Procedimientos practicos para determinar los límites de control de la grafica [pic]

A manera de ejemplo, si [pic] = 2.000, [pic] = 0.005 y n = 5, entonces el factor de la tabla es A2 = 0.511 y los límites de control son:


LSC = 2.0000 + (0.577 x 0.005) = 2.0000 + 0.0029 = 2.0029
LIC = 2.0000 –(0.577 X 0.005) = 2.0000 – 0.0029 = 1.9971


Los calculos basicos para determinar las líneas centrales y los límites de control permanecen iguales sin importar la variable que esta siendo medida.


Tabla


|Tamaño de la muestra n. |Límites de control para la |Límites de control para la grafica R |
| |grafica [pic], A2 | |
| | |Inferior, D3 |Superior D4 |
|3 |1.023 |0 |2.575 |
|4|0.729 |0 |2.282 |
|5 |0.577 |0 |2.115 |
|6 |0.483 |0 |2.004 |
|7 |0.419 |0.076 |1.924 |
|8 |0.136 |0.136 |1.864 |


Fuente: Desarrollada a partir de una tabla de factores mucho mas grande de gran utilidad para la construcción de graficas de control, tabla B2 del Manual A.S.T.M. para control de calidad de materiales, p. 115.





Graficas R – Graficas de Control para Medidas de Variabilidad

Al calcular los límites de control para las graficas [pic], las estadísticas usadas con las medias de la muestra reducida y estos son los datos que se trazan en la grafica. De la misma forma podría usarse una medida de variabilidad, como la desviación estandar o el rango, como estadística basica. Para cada muestra se calcula una desviación estandar (o rango) muestra y estas observaciones se agrupan en una distribución que aproxima la distribución normal. Esta nueva distribución de medidas de variabilidad tiene una media, una desviación estandar y un rango que pueden ser usados para construir una grafica de control. Esta grafica de control indica cuando la variabilidad del proceso es mayor o menor que el estandar.


En el control de calidad, la estadística seleccionada esgeneralmente el rango mas que la variación estandar debido a la facilidad con la que el rango puede ser calculado en un ambiente de procesamiento. Para cada muestra, la diferencia entre la medición mas alta y la mas baja se traza en la grafica R. La distribución de rangos tiene un promedio, [pic], y una desviación sR. Los límites de + 3sR tienen el mismo significado general para la grafica [pic].

Procedimientos practicos para determinar los límites de control de la grafica R.

De la misma forma que para las graficas [pic], las estadísticas usadas son las medias de la muestra reducida y estos son los datos que se trazan en la grafica. De la misma forma podría usarse una medida de variabilidad, como la desviación estandar o el rango, como estadística basica. Para cada muestra se calcula una desviación estandar o el rango, como estadística basica. Para cada muestra se calcula una desviación estandar (o rango) muestra y estas observaciones se agrupan en una distribución que aproxima la distribución normal. Esta nueva distribución de medidas de variabilidad tienen una media, una desviación estandar y un rango que pueden ser usados para construir una grafica de control. Esta grafica de control indcia cuando la variabilidad del proceso es mayor o menor que el estandar.


En el control de la calidad, la estadística seleccionada es generalmente el rango mas que la variación estandar debido a la facilidad con la que el rango puede ser calculado en un ambiente de procesamiento. Para cada muestra, la diferencia entre la medición mas alta y la mas baja se traza en la grafica R. La distribución de rangos tiene un promedio, [pic], y una desviación estandar sR. Los límites de + 3sRtienen el mismo significado general que la grafica [pic].



Procesamientos practicos para determinar los límites de control de la grafica R



De la misma forma que para las graficas [pic], el calculo de los l ímites de control para la grafica R ha sido simplificado mediante el uso de la estadística [pic] en lugar de la desviación estandar. Usando los datos de la tabla para una muestra de tamaño n, se seleccionan los factores D3 y D4 y se calculan los límites de control 3sR como sigue:
LSCR = D4 [pic]
LICR = D3[pic]
A manera de ejemplo, si n = 4 y [pic] = 3.000 y de la tabla D4 = 2.282 y D3 = 0, entonces los límites de control para la grafica R son:

LSCR = 2.282 C 3.000 = 6.846
LICR = 0 X 3.000 = 0

Ejemplos de Graficas [pic]y Graficas R.

Considere un proceso de producción para el cual se desea establecer tanto una grafica [pic] como una grafica R. Con el fin de inicializar las graficas, se toman 20 muestras de n = 5 mediciones aleatorias conforme el proceso continúa. Estas observaciones se muestran en la tabla siguiente, en las columnas 2 a 6, representando cada línea una muestra de n = 5. El promedio de cada muestra se da en la columna 7 y el rango de la muestra se da en la columna 8. La gran media y el rango promedio se muestran en la parte inferior de estas dos últimas columnas como [pic] = 0.201 y [pic] = 0.043, respectivamente
|Número de la |Observaciones individuales |Promedio de la |Rango de la |
|muestra | |muestra, x |muestra, R. |
| || | |
|(1) |(2) |(3) |(4) |(5) |(6) |(7) |(8) |
|1 |0.198 |0.175 |0.201 |0.209 |0.204 |0.197 |0.034 |
|2 |0.224 |0.209 |0.184 |0.225 |0.209 |0.210 |0.041 |
|3 |0.195 |0.172 |0.204 |0.213 |0.208 |0.198 |0.041 |
|4 |0.183 |0.191 |0.168 |0.194 |0.202 |0.188 |0.034 |
|5 |0.194 |0.142 |0.208 |0.226 |0.188 |0.192 |0.084 |
|6 |0.212 |0.238 |0.219 |0.198 |0.230 |0.219 |0.040 |
|7 |0.179 |0.186 |0.206 |0.170 |0.212 |0.191 |0.042 |
|8 |0.216 |0.212 |0.201 |0.196 |0.224 |0.210 |0.028 |
|9 |0.221 |0.172 |0.201 |0.205 |0.204 |0.201 |0.049 |
|10 |0.226 |0.184 |0.187 |0.182 |0.229 |0.202 |0.047 |
| | | | | | | | |
|11 |0.181 |0.210 |0.219 |0.206 |0184 |0.200 |0.038|
|12 |0.176 |0.179 |0.206 |0.182 |0.244 |0.197 |0.068 |
|13 |0.217 |0.199 |0.225 |0.205 |0.208 |0.211 |0.026 |
|14 |0.203 |0.192 |0.203 |0.207 |0.208 |0.203 |0.016 |
|15 |0.243 |0.184 |0.187 |0.220 |0.214 |0.210 |0.059 |
|16 |0.255 |0.217 |0.200 |0.231 |0.214 |0.223 |0.055 |
|17 |0.210 |0.226 |0.187 |0.189 |0.190 |0.200 |0.039 |
|18 |0.178 |0.188 |0.157 |0.184 |0.162 |0.174 |0.031 |
|19 |0.163 |0.223 |0.171 |0.208 |0.202 |0.193 |0.060 |
|20 |0.218 |0.192 |0.198 |0.199 |0.199 |0.201 |0.026 |
| | | | | | | | |
| | | | | | |[pic]=0.201 |[pic]=0.043 |




Graficas [pic]



Primero se calcula la línea central y los límites de control preliminares para la grafica [pic]de la siguiente manera:


LSC = [pic]
= 0.201 + (0.577 X 0.043) = 0.226
LIC = [pic]
= 0.201 – (0.577 X 0.043) = 0.176
Los límitesde control y la línea central preliminares para la gran medida se muestran en la figura 3, graficandose las medias de las 20 muestras calculadas en la columna 7 de la tabla.
[pic]
La grafica de control generalmente indica que se tiene un sistema generador de datos, estables, con la excepción de la muestra 18, que se ubica por debajo del LIC. Es absolutamente posible que esta media de la muestra represente una de las ocurrencias aleatorias de que una media caiga fuera de los límites 3s [pic]. Sin embargo, se sabe que[pic]este evento ocurre con una probabilidad de solamente 0.0027 por lo que se hace necesaria una investigación. La investigación revela que el operador estuvo siguiendo un método no estandar que resultó en la observación de bajo menor al normal –una causa asignable. La muestra 18 se elimina de los datos y se calculan una gran media y límites de control revisados como [pic] = .202 y [pic 0.044. Los límites de control revisados son entonces


LSC = [pic][pic]+ A2 [pic] = 0.202 + (0.577 X 0.044) = 0.227
LIC = x – A2R = 0.202 – (0.577 x 0.044) = 0.177
Cuando actuar

El hecho de que la muestra 18 haya salido de los límites plantea la pregunta: “¿qué configuraciones de puntos en una grafica de control sugieren que debe adoptarse una acción?” ¿Se justifica una acción solamente cuando los puntos salen de los límites Los siguientes son algunos lineamientos convenientes sobre cuando anticipar los problemas mediante una acción de investigación


Graficas R

Los límites de control preliminares para una grafica R se calculan utilizando los factores D3 = 0 y D4 = 2.115 de la tabla 13-1 como sigue:

LSC = D4[pic]
=2.115 x 0.043 = 0.0909
LIC = D3[pic]
= 0 x 0.043 = 0

En figura 13-4 se muestra la grafica R con los límites de control preliminares y los rangos de 20 muestras trazadoras. Debe notarse que el rango para la muestra 18 no cae fuera de los límites de control en la grafica R. A pesar de ello, y dado que fue eliminada de la grafica [pic], también debe eliminarse de la grafica R; la línea central y los límites de control revisados reflejan este procedimiento. La grafica R indica que la variabilidad del proceso es normal. Las líneas centrales y límites de control revisados en las figuras 13-3 y 13-4 representan estandares razonables para comparación con muestras futuras.

GRAFICAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS

EN LAS GRAFICAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS LA POBLACIÓN SE DIVIDE EN DOS CLASIFICACIONES: PARTES DEFECTUOSAS CONTRA PARTES BUENAS, EL NÚMERO DE FACTURAS CON ERRORES CONTRA EL NÚMERO DE FACTURAS SIN ERRORES EN UNA OPERACIÓN DE OFICINA, EL NÚMERO PRESENTE CONTRA EL NÚMERO AUSENTE PARA EL CONTROL DEL AUSENTISMO, LA PROPORCIÓN DE TIEMPO INACTIVO CONTRA EL TIEMPO ACTIVO EN UN ESTUDIO DE MUESTREO DE TRABAJO Y ASÍ SUCESIVAMENTE. EN CUALQUIER SITUACIÓN PARA LA QUE SE DESEE CONSTRUIR UNA GRAFICA DE CONTROL ES NECESARIO ESTABLECER ESTA DISTINCIÓN “BUENO-MALO”.
[pic]
Graficas p

Las graficas de control para la proporción o fracción de partes defectuosas que se presentan se denominan graficas p; estas graficas estan basadas en la distribución binomial. Recuérdese que, para la distribución binomial:

[pic]
[pic]
[pic]

en donde
n = tamaño de la muestra


Siguiendo la practica para graficas de control de calidad, los límites de control seestablecen en el promedio del proceso para partes defectuosas mas y menos tres desviaciones estandar, [pic] + 3sp.


En la tabla se muestra un conjunto de datos para el número de defectos encontrados en muestras diarias de 200 para 24 días consecutivos de producción. Primero se quiere determinar si los datos exhiben control estadísticos y después establecer una grafica de control. La fracción de defectos diarios se calcula dividiendo cada cifra diaria entre el tamaño de la muestra, n = 200. En la tabla también se calculan cifras preliminares para p, sp. Y LSC y LIC. Estas cifras preliminares se emplean para determinar si el proceso que genera los datos esta bajo control.



Tabla: Registro del número de partes defectuosas y fracción calculada de defectos en muestras diarias de n = 20

|Día de producción |Número de partes |Fracción de |Día de producción |Número de partes |Fracción de |
| |defectuosas |defectos | |defectuosas |defectos |
| |
| |
|[pic] = [pic] [pic]= 3 X 0.017 = 0.51 |
|LSC = [pic] |
|LIC = [pic] |
||
|Sp= [pic] |

En la figura, se presenta la grafica resultante de los defectos en la producción diaria en relación con los límites de control preliminares. Dos puntos caen fuera de los límites y el punto para el día 7 esta casi fuera del límite superior. La investigación no muestra nada extraordinario para el primer punto, día 7. Para el segundo punto, día 10, una explicación lógica es que se contrataron tres trabajadores nuevos ese día. El último punto, día 19, se explica por el hecho de que el dado se había desgastado y finalmente se rompió ese día.


Para establecer estandares para la variación normal se elimina los datos para los días en los que se han establecido causas asignables (días 10 y 19) y se vuelven a calcular p, LSC y LIC de la siguiente manera.


[pic]

UCL = 0.058 + 3 [pic

UCL = 0.058 - 3 [pic]

[pic]
Estos valores revisados reflejan la variación debida a causas aleatorias y se emplearan como estandares para juzgar la proporción de muestras defectuosas en el fututo. Si alguna muestra futura cae fuera de estos límites, la reacción inmediata sera que es altamente probable que exista una causa asignable para la observación de una proporción extraordinaria de defectos. Entonces se tratara de determinar la causa y corregirla antes de producir una mayor cantidad de desperdicio.


Graficas p para muestras de tamaño variable.

En el ejemplo anterior el tamaño de la muestra era constante. Sin embargo, confrecuencia los tamaños de la muestra son variables, como suele ser el caso cuando se aplica una inspección del 100 por ciento y los volúmenes resultantes varían día a día. Si los tamaños de la muestra varían sólo ligeramente, los límites de control pueden basarse en el tamaño de la muestra promedio. Sin embargo, cuando los tamaños de la muestra varían sustancialmente, pueden calcularse nuevos límites de control para cada muestra, lo cual no resulta una actividad costosa en el mundo actual de la computación.


Estos calculos de los límites de control pueden simplificarse. Por ejemplo si [pic] entonces [pic]. Para cada muestra, entonces, la raíz cuadrada del tamaño de la muestra se divide entre 0.896 para obtener el valor de 3sp que debe sumarse y restarse de [pic] para obtener los límites de control individuales. Por supuesto, una p diferente requiere una nueva determinación de la constante.


Otra forma de manejar este problema es construir una grafica p estabilizada convirtiendo las desviaciones del promedio del proceso a unidades de desviación estandar. Se calcula una sp para cada muestra utilizando el método rapido antes mencionado (el factor para el ejemplo sería simplemente de 0.896/3 = 0.299 y se divide entre la variación de la muestra a partir de [pic], [pic] - [pic]. Si la producción de defectos de la muestra fuera p = 0.084, [pic] = 0.099 como anteriormente y n = 95, entonces sp = 0.299 pic] = 0.0306. Entonces (p - [pic])/sp = -0.0150/0.306 = - 0.49 unidades de desviación estandar. Los límites de control se trazan en términos de unidades de desviación estandar y esta muestra esta 0.49 desviaciones estandar por debajo de la media.

Graficas c-graficas decontrol para defectos de unidad

En ocasiones el parametro a ser controlado no puede ser expresado como una proporción simple, como fue el caso de las graficas p. En los tejidos, por ejemplo, el número de defectos por cada 10 yardas cuadradas de material puede ser el parametro a controlar. En dichos casos, un defecto puede ser menor en sí mismo, pero un gran número de defectos por unidad de area puede ser cuestionable. Para la distribución de Poisson, la desviación estandar Sc es igual a la raíz cuadrada de la media [pic]. El calculo de los límites de control es entonces extremadamente simple. Por ejemplo, si el número medio de defectos por unidad fuera [pic] = 25, entonces


LSC = [pic]+3sc = 25 + (3x5) = 40
LIC = [pic]-3sc = 25 – (3 x 5) = 10


Muestreo para aceptación

Cuando ya se ha llevado a cabo la producción, con frecuencia se desea conocer el nivel de calidad del lote. Cuando un proveedor envía un lote de partes, por ejemplo, ¿deben estas partes aceptarse como buena o no? El muestreo para aceptación es la técnica estadística de control de calidad para tomar este tipo de decisiones. Se examinaran planes para muestreo tanto de atributos como de variables.

Muestreo para Aceptación por Atributos

Curvas de características operativas (CO)

Para especificar un plan de muestreo se establece el tamaño de la muestra, n, y el número de defectos permitidos en la muestra, c (número de aceptación), antes de que sea rechazado todo el lote del cual se obtuvo la muestra. La curva CO para una combinación particular de n y c muestra qué tan bien discrimina el plan entre lotes buenos y malos. La figura 13-6 muestra una curva CO para un plan demuestreo con una muestra de tamaño n = 100 y un número de aceptación c = 2. En este plan, si c = 0 y se encuentran 1 ó 2 partes defectuosas en una muestra de n = el lote se considerara aceptable. Si la calidad real del lote es del 1 por ciento de partes defectuosas, el plan en la figura 6 aceptaría el lote aproximadamente el 91.5 por ciento del tiempo y lo rechazaría aproximadamente el 8.5 por ciento del tiempo. Debe hacerse notar, sin embargo, que si la calidad real del lote fuera algo inferior al uno por ciento de partes defectuosas –posiblemente el 5 por ciento- la probabilidad de aceptación del lote disminuye drasticamente acerca del 13 por ciento. Por tanto, si la calidad real del lote es buena, el plan provee una alta probabilidad de aceptación, pero si la calidad real es mala, la probabilidad de aceptación es baja. De esta forma, la curva CO muestra qué tan bien un plan dado discrimina entre una calidad buena y una mala.
[pic]
La capacidad de discriminación de un plan de muestreo depende del tamaño de la muestra. En la figura 13-7 se muestran las curvas CO para muestras de tamaños 100, 200 y 300, permaneciendo el número de aceptación en proporción al tamaño de la muestra. Es conveniente notar que la curva CO se hace mas pronunciada conforme aumenta el tamaño de la muestra. Si se compara el poder de discriminación de los tres planes representados en la figura 13-7 puede verse que los tres aceptaran lotes con aproximadamente 0.7 por ciento de partes defectuosas aproximadamente el 83 por ciento del tiempo (aproximadamente, el punto en que se intersectan las tres curvas). Sin embargo, si la calidad real disminuye a 3.0 por ciento de partes defectuosas, el plan con N= 100 acepta lotes aproximadamente el 20 por ciento del tiempo; n = 200 acepta lotes aproximadamente el 6 por ciento del tiempo; y n = 300 menos de 1 por ciento del tiempo. Los planes con mayores tamaños de muestra son definidos mas efectivos.
[pic]
¿Qué sucede con la curva CO si cambia solamente el número de aceptación? En la figura 13-8 se presentan curvas CO para una muestra de n=50 y números de aceptación de c = 1, 2 y 3. El efecto es fundamentalmente un cambio en el nivel de la curva CO, por lo que menores números de aceptación provocan que el plan sea mas “estrecho”; esto es, mantienen la calidad resultante en porcentajes mas reducidos. A manera de generalización, entonces, existe cierta interacción entre el tamaño de la muestra y el número de aceptación para la determinación del poder de discriminación de las curvas CO.
[pic]
Un plan de muestreo que discrimina perfectamente entre lotes buenos y malos tendra una curva CO vertical; esto es, seguira la línea punteadas de la figura 13-7. La probabilidad de aceptación es cero para todos los lotes con porcentajes de partes defectuosas a la derecha de la línea. Desafortunadamente, el único plan que lograría esta discriminación es aquel que requiere una inspección del 10 por ciento. Por tanto, la justificación del muestreo para aceptación resulta del balance entre los costos de inspección y los posibles costos de aceptar partes defectuosas.


Al hacer que los planes de muestreo sean mas discriminatorios (aumentando los tamaños de las muestras) o mas estrechos (reduciendo el número de aceptación), se puede aproximar cualquier nivel deseado de calidad pero con mayores costos de inspección. Este mayor esfuerzo deinspección resultara en menores costos de aceptación de partes defectuosas. En algún punto la combinación de estos costos incrementales es mínima. Este punto mínimo define el plan de muestreo mas económico para una situación dada. Obviamente, si el costo de aceptar productos defectuosos es elevado, una mayor inspección se justifica en términos económicos.


Para justificar la inspección al 100 por ciento de una muestra, las pérdidas probables debidas a la aceptación de productos malos deberan ser grandes en relación a los costos de inspección, resultando posiblemente en la pérdida de contratos y clientes. Es sobre esta base que puede justificarse el objetivo japonés de “cero defectos”. Por otra parte, para justificar que no se realice una inspección deberan ser bastante elevados en relación a las pérdidas probables debidas a la aceptación de partes malas. La situación mas usual se ubica entre estos extremos, en donde existe el riesgo de no aceptar lotes que no son en realidad adecuados y el riesgo de aceptar lotes malos.


Determinación de curvas CO

Las curvas CO pueden construirse a partir de los datos obtenidos de la distribución normal o de Poisson. Si los lotes son grandes, posiblemente mas de 10 veces el tamaño de la muestra, las probabilidades para la curva CO pueden obtenerse de la distribución binomial. Sin embargo, si las muestras son grandes las aproximaciones normal o de Poisson también son muy cercanas y son mucho mas convenientes de usar. Las reglas empíricas son las siguientes


Si p’n > 5, las probabilidades pueden ser determinadas a partir de la distribución normal con una media p’ y una desviación estandar [pic]
Si p’n < 5, usarla distribución de Poisson.


Generalmente el porcentaje de defectos del lote es reducido y los lotes son relativamente grandes por lo que se emplea la distribución de Poisson para calcular los valores para calcular el porcentaje de probabiiidad de aceptación. Pa’ para curas CO. La grafica Thorndike suministra curvas de acumulación de distribuciones Poisson de probabilidad para distintos valores del número de aceptación c. La grafica indica la probabilidad de ocurrencia de c o menos defectos en una muestra n seleccionada de un universo infinito en el cual el porcentaje de partes defectuosas es PD.


Puede usarse la grafica Thorndike para calcular los valores Pa usados para trazar las curvas CO de la figura 13-9 o cualquiera otra de las curvas CO que se han utilizado como ejemplos. Recuérdese que el plan de muestreo para la figura 13-6 fue de n = 100 y c = 2. Los valores de Pa usados para nueve puntos de la curva CO se calculan en la tabla 13-4 leyendo los valores para Pa a partir de la grafica Thorndike. Por ejemplo, para PD = 2 por ciento, PD X n/100 = 2 X 100/100 = 2.0. Consultando la escala horizontal de la grafica Thorndike con este valor, se lee Pa = 68 por ciento en la escala vertical para c = 2.
[pic]

Riesgos para el productor y para el consumidor

La definición de estos riesgos, que se analizaron brevemente en el capítulo 12, puede específicamente aún mas mediante su referencia a una curva CO típica., En la figura 13-10 se muestran graficamente las siguientes cuatro definiciones


|AQL |Nivel aceptable de calidad – los lotes de este nivel de |
||calidad se consideran buenos y desea tener una alta |
| |probabilidad para su aceptación. |
pic] |Riesgo para el productor –la probabilidad de que lotes con un |
| |nivel de calidad AQL no sean aceptados. Generalmente [pic 5|
| |por ciento en la practica. |
|LPTD |Porcentaje de defectos tolerables para el lote –la línea |
| |divisoria entre lotes buenos y lotes malos seleccionada. Los |
| |lotes de este nivel de calidad se consideran como pobres y se |
| |desea tener una baja probabilidad para su aceptación. |
pic] |Riesgo para el consumidor –la probabilidad de que se acepte el|
| |nivel de calidad LTPD. Generalmente [pic] = 10 por ciento en |
| |la practica. |



Especificación de un plan de muestreo



Para especificar un plan que satisfaga los requisitos para AQL, [pic], LTPD y [pic], debe encontrarse una combinación de n y c con una curvaCO que pase a través de los puntos a y b, como se muestran en la figura 13-10. La mecanica para encontrar planes específicos adecuados puede establecerse utilizando tablas, graficas o fórmulas estandar que resulten en la especificación de una combinación de n y c que se aproxime lo suficiente a los requisitos establecidos para AQL, [pic], LTPD y [pic],

Tabla 13-4 Calculo de valores de Pa X 100 de la figura 13-9 a paritr de la grafica de Thorndike (plan de muestreo: n = 100 y c = 2)


|Porcentaje real de partes defectuosas PD |(PD X n)/100 |Porcentaje de probabilidad de aceptación |
| | |a partir de la figura 13-9 |
|0 |0 |100.0 |
|1 |1.0 |91.5 |
|2 |2.0 |68.0 |
|3 |3.0 |42.0 |
|4 |4.0 |24.0 |
|5 |5.0 |12.0 |
|6 |6.0 |6.0 |
|7|7.0 |3.0 |
|8 |8.0 |1.5 |

[pic]
Especificación de n Y c para Planes de muestreo único

Para especificar un plan debe determinarse el tamaño de la muestra n y el número de aceptación c únicos que produzcan una curva CO que se aproxime a la especificada por los cuatro valores, AQL, [pic], LTPD y [pic], esto puede lograrse consultando tablas o usando la grafica de Thorndike.
Un ejemplo: Supóngase que se ha especificado las características de la curva CO deseada como

AQL = 2 por ciento
[pic] = 5 por ciento
LTPD = 8 por ciento
[pic] = 10 por ciento


|Paso 1 |Tabular valores PD X n/100 para Pa = (1 - [pic]) = 95 por ciento y Pa = [pic] = 10 por ciento para cada |
| |valor de c a partir de la grafica Thorndike. Por ejemplo, para Pa = 95% y c = 1, leer PD X n/100 = 0.36 y |
| |para Pa = 10% y c = 1, leer PD X n/100 = 3.9. Haga lo mismo como en los diversos valores de c como en las|
| |columnas 1, 2 y 3 de la tabal 13-5. Debe notarse que en las columna 2 el PD a que se hace referencia es |
| |AQL, mientras que en la columna 3 es LTPD. |
|Paso 2 |Calcular la relación de la columna 3 con la columna 2 para cada uno de los valores de c, como en la columna|
| |4 la relación 8 / 2 = 4, dado que para el plandeseado LTPD = 8 y PD = 2 por ciento. Esta relación de 4 |
| |cae entre 4.06 para c = 4 y 3.58 para c = 5. |
|Paso 3 |Calcular tamaños de muestra como en la tabla 13-6, decidiendo si [pic] se mantiene fija y se deja flotar |
| pic] o viceversa. Si, por ejemplo, se establece c = 4 y [pic] se mantiene en 5 por ciento, entonces |
| |PD X n/100 = AQL x n/100 = 1.97 y puede resolverse para la muestra de tamaño n: |
| | |
| | |
| |n pic] |
|Paso 4 |El plan de muestreo sería entones n = 99 y c = 4. |
| |Revisar el valor resultante del riesgo flotante. Usando la grafica Thorndike , para el plan 1, ingresar |
| |los valores de c = 4 y PD X n/100 = 8 X 99/100 = 7.92 y leer el valor real de [pic] = 10.5 por ciento. |










Tabla 13-5 Determinación de planes de muestreo con AQL y LTPD especificadas ([pic por ciento[pic]= 10 por ciento).

|(1) |(2) |(3) |(4) |
|Número de aceptación |Valor de (PD x n/100 con Pa = |Valor de (PD x n/100 con Pa = |Relación Col.3:Col. |
| |95 por ciento a partir de la |10 por ciento a partir de la |2 = LTPD/AQL |
| |figura 13-9 |figura 13-9 | |
|1 |0.36 |3.9 |10.83 |
|2 |0.80 |5.3 |6.63 |
|3 |1.35 |6.7 |4.96 |
|4 |1.97 |8.0 |4.06 |
|5 |2.60 |9.3 |3.58 |
|6 |3.30 |10.5 |3.18 |
|7 |4.00 |11.8 |2.95 |
|8 |4.70 |13.0 |2.77 |

En la tabla 13-6 también se muestran los valores flotantes reales de ( y ( para cada uno de los cuatro planes. Notar que para el plan 1 la probabilidad de aceptar lotes con un 8 por ciento de calidad aumenta ligeramente mientras se mantienen las demas especificaciones. Para el plan 2, la probabilidad de rechazar lotes de buena calidad aumenta ligeramente mientras que se mantiene la especificación para ( y asísucesivamente. Los planes 1 y 2 son los que mas se aproximan a satisfacer las especificaciones originales y la elección entre ellos depende del énfasis deseado.


Otros valores de ( y (. La tabla 13-5 se construyó para los valores comunes de 5 y 10 por ciento para ( y (, respectivamente, pero, obviamente, puede construirse una tabla comparable a partir de la grafica Thorndike para cualesquiera valores de ( y (, por lo que los métodos descritos son generales.


Curva de calidad resultante promedio (CRP


En la figura 13-11 se muestra el flujo de partes buenas y rechazadas en un plan típico de muestreo y se suministran las bases estructurales para calcular la calidad resultante promedio (CRP). Se inspecciona la muestra aleatoria de tamaño n y cualesquiera partes defectuosas halladas en la muestra son sustituidas por partes buenas. Con base en el número de partes defectuosas c’ encontramos en la muestra, se acepta todo el lote si c’ c.

Tabla 13-6. Planes de muestreo sencillo para c = 4 y c = 5 cuando ( es fija, permitiendo que ( es fija y se permite que ( flote.

| |c fija en 4 |c fija en 5 | |
|(1) |(2) |(3) |(4) |
|( = 5 Por ciento, |( = 10 Por ciento, |( = 5 Por ciento, |( = 10 Por ciento, |
|( Flota |( Flota |( Flota |( Flota |
|n = 1.95 x 100/2 |n = 8.0 x 100/8 |n = 2.60 x 100/2 |n= 9.3 x 100/8 |
|= 99 |= 100 |= 130 |= 115 |
|( = 10.5 por ciento |( = 5.5 por ciento |( = 5 por ciento |( = 3 por ciento |

[pic]
Si el lote es rechazado se le somete a una inspección del 100 por ciento y todas las partes defectuosas encontradas se sustituyen pro partes buenas. Entonces, todo el lote de N partes estara libre de partes defectuosas. Sin embargo, si el lote es aceptado con base en la muestra, se corre el riesgo de pasar algunas partes defectuosas. Puede calcularse el número promedio de partes defectuosas.


Si la calidad promedio entrante es PD, la aceptación ocurre con la probabilidad P( (tomada directamente de la curva CO para la DP). El número promedio de partes defectuosas es entonces el producto de la proporción de defectos recibidos por el número restante en el lote ponderado por la probabilidad de que la aceptación ocurra o
(P( / 100) x (PD / 100) x (N – n). La calidad resultante promedio CRP en porcentaje es entonces


CRP = Número promedio de defectos x 100 = P( (PD) (N – n)
Número de partes en el lote 100 N


A partir de la relación anterior puede desarrollarse una curva para cualquier plan de muestreo dado mostrando la CRP para cualquier nivel e calidad entrante, determinando la P( a partir de la curva CO y substituyendo estos valores en la fórmula para el calculo de CRP, como se indica en la figura 13-12. Esta curva CRP se basa en la curva CO de la figura 13-6 para un plan de muestreo de n = 100, c = 2 y N = 1000.


Es interesante observar lascaracterísticas de la curva CRP. Primero, existe un número maximo o límite de la calidad resultante promedio (AOQL). Existe un AOQL para cada plan de muestreo, el cual depende de las características del plan. Cuando se presenta una buena calidad al plan – por ejemplo, 0 a 2 por ciento - P( es relativamente alta, por lo que la mayoría de las partes defectuosas se aceptaran. Conforme se excede el 2 por ciento para la calidad entrante, sin embargo, P( declina rapidamente (véase la curva CO de la figura 13-6) y la probabilidad de una inspección al 100 por ciento aumenta, por lo que se detecta un mayor número de partes defectuosas – la calidad resultante mejora automaticamente conforme la calidad entrante empeora. Específicamente, AOQ nunca excede del 1 por ciento, sin importar la calidad entrante para el plan.


Ya se han mostrado los calculos para la situación en la cual se sustituyen las partes defectuosas. Si dichas partes no son sustituidas, entonces la fórmula para AOQ se transforma en:


[pic]


Planes de muestreo con protección LTPD o AOQL especificada


DODGE-ROMING PROVEE TANTO GRAFICAS COMO TABLAS PARA EL DISEÑO DE PLANES DE MUESTREO QUE DAN UNA PROTECCIÓN LTPD O AOQL ESPECIFICADA CON ( = 10 POR CIENTO Y UNA INSPECCIÓN TOTAL MÍNIMA. LOS NIVELES DE LTPD O AOQL SELECCIONADOS PARA UNA SITUACIÓN DADA DEPENDEN DE LAS CONSECUENCIAS DE UNA MALA CALIDAD. SI LAS OPERACIONES SUBSECUENTES PUEDEN DETECTAR DEFECTOS ADICIONALES SIN ALTERAR LA PRODUCCIÓN, ESTOS ESTANDARES PUEDEN SER RELATIVAMENTE CONFIABLES, PERO SI LA MENOR CALIDAD RESULTA EN ALTOS COSTOS DE PRODUCCIÓN Y OTROS RELACIONADOS CON LA CALIDAD, LTPD O AOQL DEBEN MANTENERSE EN NIVELES REDUCIDOS.