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Identificación en sistemas de segundo orden sobreamortiguado





UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
Facultad de Ciencias Química
Ingeniería Química


LABORATORIO DE CONTROL

Reporte practica 5:
Identificación de modelos de proceso:
Identificación en Sistemas de Segundo Orden Sobreamortiguado

Equipo 2


Practica #5
Identificación en Sistemas de Segundo Orden Sobreamortiguado
Resumen
Se trabajó con un sistema de dos tanques conectados en serie, dichos tanques por separado poseen dinamicas de primer orden, que al conectarse en serie, el comportamiento se vuelve de segundo orden. Se trabajo con dicho sistema para obtener el modelo que esta en función de dos contantes que son los coeficientes de la valvulas mediante la lectura de datos de altura del segundo tanque con ayuda eel Software LabView para diferentes tiempos, hasta alcanzar el estado estable. Estos datos experimentales se ajustaron mediante aproximación de primer y segundo orden con el software Matlab, obteniéndose que el segundo orden es un mejor ajuste que el primero, y los coeficientes de las valvulas R1 y R2, tienen valores de 2.51 y 135.36 cm3/2 s-1, respectivamente.


Objetivo
Determinar los parametros yy con estos los valores de τ1 y τ2 correspondientes a una función detransferencia de segundo orden sobre amortiguado donde los flujos se comportan de manera no lineal, y posteriormente obtener los valores de Cv1 y Cv2 de cada valvula. Ademas, aproximar la ecuación de segundo orden sobre amortiguada a una ecuación de primer orden.

1.-Introducción
Funciones de transferencia de segundo orden
La ecuación de transferencia de segundo orden tiene la forma:


K= Ganancia del Proceso
τ = Velocidad de respuesta del sistema
ζ = Coeficiente de amortiguamiento

Una entrada tipo escalón a un proceso, esta descrita por


O bien:



Método de Smith
El método de Smith utiliza un modelo de la forma:
(4)
Cubriendo los casos sobreamortiguado y subamortiguado.
Este método requiere los tiempos al que la respuesta normalizada alcanza el 20% y el 60%, respectivamente.
Usando la Figura siguiente la relación de t20/t60 da el valor de ζ. Un estimado de τ puede ser obtenido de la grafica de t60/τ vs. t20/t60.

Figura 1. Método de Smith
Aproximación a un sistema de primer orden.
Si ζ es mayor que la unidad, uno de los dos exponenciales que decaen disminuye mucho mas rapido que el otro, por lo que el término exponencial que decae mas rapido puede pasarse por alto. Una vez desaparecido el término exponencial que decae mas rapido, la respuesta es similar a la de un sistema de primer orden y C(s)/R(s) se aproximan mediante


(5)
Estaforma aproximada es una consecuencia directa de que a los valores iniciales y los valores finales tanto del C(s)/R(s) original como del aproximado coincidan.
Con la función de transferencia aproximada C(s)/R(s), la respuesta escalón unitario se obtiene como
(6)
Entonces, la respuesta del tiempo c(t) es:
(7)
2.-Procedimiento
1 En la conexión del sistema se utilizó un flujo de 1.7 L/min.
2 Se realizó inicialmente una calibración del medidor de nivel tomando datos de altura del tanque 2 medidos con una cinta graduada, y voltaje leído a través de la tarjeta de lectura de voltaje.
3 Estos datos fueron exportados por medio de Labview a Excel, donde se realizó una regresion lineal con el proposito de generar una ecuacion que relacionara voltaje y altura.
4 Con esta ecuacion se realizó un programa en Labview de lectura de nivel del tanque 2.
5 Después se buscó una apertura de la valvula de salida del tanque 1 y la de salida del tanque 2 donde el sistema (que comprende ambos tanques) se encontrara en estado estacionario, y que permitiera que la diferencia entre las alturas de ambos tanques fuera de al menos 10 cm
6 Se registran dichas aperturas y se apaga el sistema hasta vaciar ambos tanques.
7 Se enciende el sistema al mismo tiempo que se empieza a tomar lecturas con el programa hecho en Labview de lectura del nivel del tanque 2, lo que proporciona datos de lectura de nivel contra tiempo desde elnivel del tanque vacío hasta el nivel donde el sistema esta en estado estacionario. Esta respuesta obtenida es de 2do orden y se realiza entonces el analisis correspondiente.

Experimentación
8 Para ésta practica se usó un equipo el cual se usa dos tanques en serie, dos valvulas y una bomba de alimentación.
9 Primeramente se conectaron los cables del sensor a la tarjeta electrónica “National Instruments” para la lectura de los datos, posteriormente se verificó que el arreglo de los cables del sensor con los de la tarjeta estuvieran correctos.
10 Se empezó con el estudio del nivel de los tanques conectados y se estableció el flujo de entrada a 1.7 L/min, Posteriormente se realizó una regresión lineal para que los valores obtenidos experimentalmente, se pudieran leer en valores de altura. Después se estabilizó el sistema de 2 tanques en serie, controlando el flujo de entrada en el tanque 1 y la altura del líquido en el tanque 1 (superior) y 2 (inferior), manipulando las valvulas correspondientes, observandose una altura de aproximadamente 25 cm de agua en el tanque 1 y una altura de 8 cm de agua para el tanque 2.
11 Una vez encontrada la estabilidad en el sistema se procedió a vaciar los tanques y activar la bomba con el mismo flujo antes mencionado, para comenzar la captura de los datos con ayuda del software LabView, y así registrar los valores de altura con respecto al tiempo.
12 Ahora con losdatos obtenidos se hizo un programa en Matlab para así obtener los parametros y y por ende calcular τ1 y τ2 y así determinar los coeficientes de cada valvula CV1CV2 . A partir de los datos anteriores se hizo la aproximación a primer orden para verificar el comportamiento del sistema.
13 Posteriormente se realizó una simulación con los ajustes en Simulink de un sistema de segundo orden y de la aproximación a un primer orden para observar la tendencia de estas dos graficas.



Figura 2.Equipo utilizado para nuestro sistema

3.-Resultados y Discusiones
A continuación en la siguiente Tabla I. se muestran las condiciones de operación del sistema y las variables necesarias para los calculos.


Obteniendo los datos de los voltajes y alturas que se presentan en la tabla II, se procede a obtener la regresión lineal para obtener nuestra ecuación de h(t), como se muestra en la figura 3.



Tabla II. Datos para la Regresión Lineal
Altura (cm)
Voltaje (V)
2
1,59549
3
1,67112
4
1,73195
5
1,7793
6
1,84145
7
1,9082
8
1,95062
9
2,02132
10
2,069
12
2,18474
14
2,29556
16
2,4132
18
2,5359
20
2,6424
22
2,754
24
2,856
26
2,96109
28
3,06
30
3,15


Figura 3. Regresión Lineal obtenida para Altura del tanque 2.

Con el resultado de la ecuación obtenida por medio de la regresión lineal en función de la altura y el voltaje, se introduce al sistema LabView(figura 2) pararecibir nuestra señal de voltaje, que se traducira en altura respecto al tiempo. Estos datos se encuentran en la tabla III y el figura 3, dando como resultado para el estado estable un tiempo de 1860 segundos con una altura del tanque 2 de 24.725 cm.

Figura 4. Progama de Labview

Tabla III.
Datos Experimentales
Tiempo (s
Altura (cm)
Tiempo (s)
Altura (cm)
Tiempo (s)
Altura (cm)
0
0,000
300
12,766
1120
22,652
20
0,892
360
14,464
1180
22,938
40
1,844
420
15,880
1220
23,112
60
2,881
480
17,044
1280
23,379
80
3,906
520
17,694
1320
23,533
100
4,969

300
12,766
1080
22,424
1860
24,785




Figura 5. Grafico de Tiempo vs Altura para el estado estable
De acuerdo a los datos obtenidos del sistema estudiado, se realizaron ajustes para el modelo sobre
amortiguado no lineal y el modelo de aproximación a un primer orden, buscado valores de y
Los flujos a través de las valvulas de salida de cada tanque se representan por:

La función de transferencia que representa al sistema de 2 tanquesen serie es:

Donde puede escribirse como:

Donde:

Donde:

Caso 1. Sistema de segundo orden
El modelo Sobre amortiguado esta representado por la siguiente ecuación:

La Regresión no lineal por el método de mínimos cuadrados se hizo en MATLAB (el código se muestra en el apéndice C) tomando como valores iniciales los valores estimados con el método de Smith que se describiran a continuación:
Para encontrar los dos puntos en los cuales esta basado la respuesta fraccionaria del sistema a 20% y 60%, se obtuvo la Grafica Normalizada experimental del escalón como se muestra en la figura 4, (h/KM dividiendo la altura entre la altura en el estado estable) y dichos valores se utilizan en la figura del método de Smith para obtener y iniciales.

Figura 6. Grafica Normalizada experimental del escalón

De la grafica normalizada se leyeron los valores para el cual la respuesta había sido de un 20% y un 60% del valor maximo obtenido, los cuales son:

Tabla IV. Método Smith
t20(s
100
t60(s)
80
t20/t60
0.2632


Figura 7. Método de Smith para la relación y
Partiendo de los valores obtenidos en la Tabla anterior, se procedió a encontrar los valores iniciales de y de la Figura 4.
Tabla V. Valores iniciales de ζ y T
t60/T
4.5
ζ
2.8
τ (s)
84.44

En la siguiente tabla se muestra los resultados obtenidos mediante el software Matlab (Ver Anexo).
Tabla VI. Resultados arrojados por Matlab
ζ2.56
τ (s
81.3787

Debido a que el modelo del sistema estudiado corresponde a un sistema de segundo orden sobreamortiguado las dos constantes de tiempo se calcularon mediante las siguientes expresiones:


Tabla VII. Constantes de tiempo
τ1 (s
457
τ2 (s)
16

Con estos valores de se calculó el valor del coeficiente de cada valvula de salida en cada tanque:

Finalmente los valores de Cv son:
Tabla VIII. Resultados para los Cv´s de las valvulas
h10 (cm
8,5
h20(cm)
24,785
b1 (cm(-1/2)
0,171499
b2 (cm(-1/2)
0,100433
Cv1 (cm3/2/s)
2,575627
Cv2 (cm3/2/s)
135,3656

Los valores obtenidos de Cv representan la cantidad de flujo que pasa a través de las valvulas para el porcentaje de abertura dado y la altura del líquido en los tanques.

Caso 2. Aproximación a primer orden
Como ya se mencionó para aproximar un sistema de segundo orden a un primer orden, el valor de debe ser considerablemente mayor a la unidad.
La ecuación que representa al sistema para este caso es
(21) ; (22)
Con los valores obtenidos de para el segundo orden se calcula el valor de S2 y se sustituye en la expresión anterior.
Valor de S2= 0.00249
Finalmente la ecuación aproximada a primer orden queda
(23)
A continuación se muestra la grafica con los ajustes a segundo orden y primer orden:

Figura 8. Grafica de ajuste primero y segundo orden
Se puede observar que el ajuste de segundoorden es bueno.
La aproximación a primer orden se ajusta a los datos experimentales, esto es congruente ya que el valor que se obtuvo de fue alrededor de 2.5. Y así entre mayor sea el valor de mejor sera la aproximación a primer orden.
Se graficaron en simulink las respuestas del sistema de segundo orden sobreamortiguado y la aproximación a primer orden. El programa realizado y la grafica de las respuestas se muestran a continuación.

Donde el color amarillo representa los Datos de nuestro sistema, el color morado la aproximación a primer orden y el color azul a un sistema de segundo orden Sobreamotiguado.
Se observa que la aproximación a segundo orden Sobreamortiguado fue la que mejor se ajusta a nuestros datos, así aproximación a primer orden.

Figura 9.Resultado grafico obtenido de Simulink para nuestro sistema contra un sistema de segundo orden sobremaotiguado y aproximación primer orden.

Figura Resultado de las ecuaciones de tranferencia para el simulink
Discusiones
Para esta sección se presenta una tabla comparativa de las Alturas obtenidas mediante los casos que manejamos, en la primer columna se encuentra el tiempo, la siguiente es la Altura de los datos experimentales encontrados en el Laboratorio, mientras que la tercer columna es la Altura obtenida por la ecuación de un sistema de segundo orden “Sobreamortiguado” y por último la Altura calculada mediante un aproximacióna primer orden.

Tabla IX. Comparación de métodos
 
Datos Experimentales
Segundo Orden Sobreamortiguado
Ajuste a primer orden
Tiempo (s)
Altura (cm)
Altura (cm)
Altura (cm)
0
0,000
0,000
0,000
20
0,892
0,509

22,138
22,223
1020
22,032





Y mediante estas alturas se obtuvo el error total mínimo por el método de mínimos cuadrados, el cual fue:


Tabla X. Resultado de error total mínimo
% Error2 Segundo orden Sobre amortiguado
4,1722
% Error2 Primer orden
5,1240


El error por mínimos cuadrados obtenido es pequeño lo cual implica que el ajuste desarrollado a segundo orden es bueno, y el ajuste a primer orden también es pequeño pero mayor al de segundo orden.4.-Conclusiones

Se estudió un sistema de dos tanques en serie, para determinar los parametros de (2.56) y(81.37 segundos) de la función de transferencia que describe al sistema. Se calcularon los coeficientes de las valvulas que regulaban los flujos a la entrada del tanque uno y a la salida del tanque dos los cuales representan el flujo que pasa a través de las valvulas para el porcentaje de abertura dado y la altura del líquido en ambos tanques (CV1=2.57Cm3/2/seg; CV2=135.36 Cm3/2/seg ).
En la grafica reportada por el software Matlab(Figura 5) se puede observar que ambas curvas, segundo orden sobreamortiguado y primer orden) se ajustan a los datos experimentales, esto debido a que entre mayor sea el factor de amortiguamiento, tendra una mayor aproximación a un sistema de primer orden. Dicho lo anterior se puede decir que se cumplió con el objetivo de esta practica.


5.-Bibliografía
[1]OgataKatsuhiko “Ingeniería de Control Moderna” 3era.edición, Pearson Educación, Prentice.ISBN 0-13-227307-1


6.-Anexos

clc
clearall
symszTao
datos =[0 0
20 0.892
40 1.844
60 2.881
80 3.906
100 4.969
120 5.981
140 7.007
160 8.003
200 9.481
220 10.177
260 11.455
300 12.766
360 14.464
420 15.880
480 17.044
520 17.694
580 18.568
680 19.732
720 20.091
820 20.801
880 21.163
920 21.345
980 21.780
1120 22.652
1180 22.938
1220 23.112
128023.379
1380 23.752
1420 23.878
1480 24.066
1580 24.320
1780 24.702
1820 24.756
1860 24.785];

KM=24.785; % cm
e=0;
e1=0;
for i=1:35;
t(i)=datos(i,1); % tiempoen segundos (experimental)
h2(i)=datos(i,2); %Altura segundo tanque en cm (experimental)
end
for i=1:35;
h2e(i)=KM*(1-exp(-z*t(i)/Tao).*(cosh((t(i)*(z^2-1)^.5)/Tao)+(z/((z^2-1)^.5))*sinh((t(i)*(z^2-1)^.5)/Tao)));
e=e+(h2(i)-h2e(i))^2;
end
grad_e=transpose(jacobian(e,[z,Tao]));
hess_e=jacobian(grad_e,[z,Tao]);
x0=[2.8;84.44];
tol=1;
whiletol>0.001
grad_e_x0=subs(grad_e,,);
hess_e_x0=subs(hess_e,,);
x00=x0;
x0=x0-hess_e_x0^(-1)*grad_e_x0;
tol=abs((x0-x00));
i=i+1;
if i>15
tol=0;
end
end
z=x0(1);
Tao=x0(2);

%Calculo delerror mínimo cuadrados
for i=1:35;
h22e(i)=KM*(1-exp(-z*t(i)/Tao).*(cosh((t(i)*(z^2-1)^.5)/Tao)+(z/((z^2-1)^.5))*sinh((t(i)*(z^2-1)^.5)/Tao)));
e1=e1+(h2(i)-h22e(i))^2;
end

t1=0:10:1900;
h2e1=KM*(1-exp(-(z*t1)/Tao).*(cosh((t1*(z^2-1)^.5)/Tao)+(z/(z^2-1)^.5)*sinh((t1*(z^2-1)^.5)/Tao)));

%APROXIMACIÓN A PRIMER ORDEN
s2=(z-(z^2-1)^.5)/Tao;
for i=1:35;
h2epo(i)=KM*(1-exp(-1*s2*t(i)));
end
plot(t,h2,'ko','LineWidth',3)
holdon
plot(t1,h2e1,'b-', 'LineWidth',3)
plot(t,h2epo,'r-', 'LineWidth',3)
legend('Experimental','Ajuste 2do Orden', 'Aproximación 1er Orden', 'location','best')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Nivel (cm)')





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