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Monografico: mediana - mediana estadistica



MEDIANA ESTADISTICA

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

TEMA MONOGRAFICO: MEDIANA
INTRODUCCION

La investigación cuya finalidad es: el analisis o experimentación de situaciones para el descubrimiento de nuevos hechos, la revisión o establecimiento de teorías y las aplicaciones practicas de las mismas, se basa en los principios de Observación y Razonamiento y necesita en su caracter científico el analisis técnico de Datos para obtener de ellos información confiable y oportuna. Este analisis de Datos requiere de la Estadística como una de sus principales herramientas, por lo que los investigadores de profesión y las personas que de una y otra forma la realizan requieren ademas de los conocimientos especializados en su campo de actividades, del manejo eficiente de los conceptos, técnicas y procedimientos estadísticos.


En estadística se usan algunos términos que reflejan ciertas tendencias dentro de una muestra.
Dentro de estos términos encontramos dos que abordaremos en profundidad: la media, la mediana, la moda
Este tipo de medidas nos permiten identificar y ubicar el valor alrededor del cual se tienden ha reunir los datos (“Punto central”). Estasmedidas aplicadas a las características de las unidades de una muestra se les denomina estimadores o estadígrafos; mientras que aplicadas a poblaciones se les denomina parametros o valores estadísticos de la población. Los principales métodos utilizados para ubicar el punto central son la media, la mediana y la moda.

OBJETIVOS
* Saber el concepto y objetivo de la mediana, de donde proviene, para que se utiliza, que métodos usar.
* Saber utilizarlos en la vida profesional.
* Identificar valores que se encuentra en el centro de los datos.
* Debemos recordar que la estadística es un sistema o método empleado en la recolección, organización, analisis e interpretación de los datos.

MARCO TEORICO
Hay varios tipos de medianas daremos a conocer algunos conceptos:
* Mediana geométrica: La transversal de gravedad en un triangulo, es el segmento de recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Divide al triangulo en dos regiones con la misma area. Las tres medianas se intersecan en el baricentro, centro de gravedad del triangulo o centroide. También se verifica que dos tercios de la longitud de cada mediana estan entre el vértice y el baricentro, mientras que el tercio restante esta entre el baricentro y el punto medio del lado opuesto.


* Mediana (Trafico) Una mediana, también llamadacamellón en algunas zonas de Latinoamérica 1] es una franja divisoria situada en mitad de una carretera que tiene la finalidad de separar físicamente los dos sentidos del trafico, impidiendo el paso entre carriles de dirección contraria.

* Mediana Estadística:
Una mediana es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez ordenados estos. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representaran el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representaran el otro 50% del total de datos de la muestra. La mediana coincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil.
Con esta medida podemos identificar el valor que se encuentra en el centro de los datos, es decir, nos permite conocer el valor que se encuentra exactamente en la mitad del conjunto de datos después que las observaciones se han ubicado en serie ordenada. Esta medida nos indica que la mitad de los datos se encuentran por debajo de este valor y la otra mitad por encima del mismo.

Obtenido de 'http://es.wikipedia.org/wiki/Media geometr%C3%ADa)'

* Consideramos una variable discreta X cuyas observaciones en una tabla estadística han sido ordenadas de menor a mayor. Llamaremos mediana, Med al primer valor de la variable que deja por debajode sí al 50% de las observaciones. Por tanto, si n es el número de observaciones, la mediana correspondera a la observación [n/2 1, donde representamos por [.] la parte entera de un número.
Podemos describir algunas propiedades para la mediana.
1.- Es única.
2.- Es simple.
3.- Los valores extremos no tienen efectos importantes sobre la mediana, lo que si  ocurre con la media.

La notación mas usual  que se utiliza para representar a la mediana es ,  o Me
 
Ejemplo:
Dados los siguientes datos: 1, 2, 3, 4, 0, 1, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3  para la obtención de la mediana se deberan de ordenar. Tomemos el criterio de orden ascendente con lo que, tendremos:
 
0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2,  3, 3, 3  4, 4,
 
por otro lado el número de datos es igual a 15 datos, siendo el número de datos impar se elige el dato que se encuentra a la mitad, una vez ordenados los datos, en este caso es 1.

La mediana para datos agrupados.
 
La extensión para el calculo de la mediana en el caso de datos agrupados es realiza a continuación:
 

Donde
Md = Mediana.
Li = Limite inferior o frontera inferior de donde se encuentra la mediana, la forma de calcularlo es a través de encontrar la posición . En ocasiones en el intervalo  donde se encuentra la mediana de conoce como intervalo mediano.
n = Número de observaciones ofrecuencia total.
 = frecuencia acumulada anterior al intervalo mediano.
= Frecuencia del intervalo mediano.
A = Amplitud del intervalo en el que se encuentra la mediana .
 
Geométricamente la mediana se encuentra en el valor X que divide al histograma en dos partes de areas iguales.

 
 Ejemplo:
Retomemos la tabla del ejemplo mostrado para determinar la media de atenciones médicas  brindadas por el hospital, adicionando la columna de la frecuencia acumulada
Tabla de frecuencias reportadas por la clínica
Clases (Datos en años) | Punto medio de cada clase | Frecuencias de cada clase | Frecuencias acumulada |
| 15 | 8 | 8 |
| 25 | 20 | 28 |
| 35 | 14 | 42 |
| 45 | 8 | 50 |
| 55 | 2 | 52 |
| 65 | 2 | 54 |
| 75 | 1 | 55 |
  | 55 enfermos atendidos |   |
 Determinemos el dato medio de los datos, como n = 55 entonces  n/2=27.5  
El intervalo mediano o la clase donde se encuentra la mediana se encuentra en la segunda clase.

sustituyendo en la ecuación tendremos



    
por lo que se puede concluir que el 50% de las personas atendidas en un fin de semana por el hospital tienen una edad inferior a los 29.75 años.
CALCULO DE LA MEDIANA EN EL CASO DISCRETO
Tendremos en cuenta el tamaño de la muestra.
Si N es Impar, hay un término central, el término que sera el valor de la mediana.Si N es Par, hay dos términos centrales, la mediana sera la media de esos dos valores
http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node16.htm

Veamos un ejemplo.
N par |
1,4,6,7,8,9,12,16,20, 24,25,27 N=12 | 1,4,6,7,8,9,12,16,20, 24,25,27,30 N=13 |
Términos Centrales el 6º y 7º 9 y 12 | Término Central el 7º , 12 |
Me= | Me=12 |
CALCULO DE LA MEDIANA EN EL CASO CONTINUO:
Si la variable es continua, la tabla vendra en intervalos, por lo que se calcula de la siguiente forma:
Nos vamos a apoyar en un grafico de un histograma de frecuencias acumuladas.

De donde la mediana vale: donde ai es la amplitud del intervalo

Veamoslo por medio de un ejemplo.
Supongamos los pesos de un grupo de 50 personas se distribuyen de la siguiente forma
Li-1 | Li | ni | Ni | Como el tamaño de la muestra es N=50, buscamos el intervalo en el que la Frecuencia acumulada es mayor que 50/2=25, que en este caso es el 3º y aplicamos la fórmula anterior. Luego la Mediana seraMe= |
45 | 55 | 6 | 6
55 | 65 | 10 | 16
65 | 75 | 19 | 35
75 | 85 | 11 | 46
85 | 95 | 4 | 50

Calculo de la mediana
1. Ordenamos los datos de menor a mayor.
2. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5
3 Si la serie tiene un número par depuntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5
Calculo de la mediana para datos agrupados
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre .
Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
ai es la amplitud de la clase.
La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.
Ejemplo
Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
  | fi | Fi |
[60, 63) | 5 | 5 |
[63, 66) | 18 | 23 |
[66, 69) | 42 | 65 |
[69, 72) | 27 | 92 |
[72, 75) | 8 | 100 |
  | 100 |   |
100/2 = 50
Clase de la mediana: [66, 69)

PROBLEMITAS RESUELTOS
EJERCICIO 1
La publicación Bank Rate Monitor informó las siguientes tasas de ahorro. Cual es la mediana de las tasas.
 
     
 EJERCICIO 2
Uno de los principales factores que repercuten en el costo cuando se adquiere una casa es el de los pagos mensuales del préstamo. Existen muchos sitios en internet donde los futuros compradores pueden consultar las tasas de interés y calcular sus pagosmensuales. El Capital Bank of Virginia analiza la posibilidad de ofrecer préstamos para  la adquisición de casas a través de internet. Antes de tomar una decisión final, seleccionara una muestra reciente de préstamos, con sus pagos mensuales correspondientes. La información se organiza en la siguiente distribución de frecuencias.
     
 
 
 
 
Calcule el pago mensual mediano
     

EJERCICIO 3
 Una muestra de 50 negociantes de antigüedades en el sudeste de Estados Unidos reveló las siguientes ventas ( en dólares) en el año pasado:

Determine la mediana de las ventas
    
 

CONCLUSIONES:
* La mediana de un conjunto finito de números separa al conjunto en dos parte iguales de forma que el numero de valores mayor o igual a la mediana es igual al numero de valores menores o iguales a estos.
* Su aplicación se ve limitada ya que solo considera el orden jerarquico de los datos y no alguna propiedad propia de los datos, como en el caso de la media.













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