MÉTODO SIMPLEX

Es una técnica cuantitativa utilizada por las empresas que colocan en el mercado “n” productos, con lo cual la base gráfica no tiene aplicación. Es conocido como un algoritmo, planteado para la obtención de soluciones óptimas. En su fase inicial se debe plantear la formulación matemáticadel problema que consta de la función objetivo y las restricciones inherentes al proceso. Todo problema conformado inicialmente recibe el nombre de “Problema Original” o “Primal”, el cual esta asociado a otro llamado “Dual”.

El primal es el problema que se corresponde con la data inicial, pudiendo formular su solución opuesta a través del dual. Por ejemplo; cuando se está presentando un problema donde he habla de Maximizar Beneficio en función de la limitante tiempo, estaríamos en presencia del Primal y Dual asociado a este problema sería, minimizar la utilización del Recurso Tiempo el función de un beneficio esperado.

A continuación se presenta la metodología empleada así como el resto de la fundamentación teórica del método a través de la aplicación práctica, desarrollando paso a paso la técnica hasta llegar a la presentación e interpretación de los resultados.

APLICACIONES PRÁCTICAS DEL MÉTODO SIMPLEX.

Una compañía manufacturera discontinuó la producción de cierta línea de productos no rentables. Esto ocasionó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos; llámesele productos 1, 2 y 3. en la siguiente tabla se resume la capacidad disponible que puede limitar a las maquinas:

|Tipo de Maquina |Tiempo Disponible |
(Horas maquinas por semana) |
|Fresadora |500 |
|Torno |350 |
|Rectificadora |150 |

El número de horas máquinas que se requieren para cada producto es:

|Tipo de Máquina |Producto 1 |Producto 2 |Producto 3 |
|Fresadora |9 |3 |5 |
|Torno |5 |4 |0 |
|Rectificadora |3|0 |2 |

La ganancia unitaria sería de 30,12 y 15 respectivamente para los productos 1,2 y 3

1.- Definición de variables:
Producto 1 : X1
Producto 2 : X2 = Variables Originales
Producto 3 : X3

2.- Formulación matemática del problema:
Función Objetivo: Maximizar las Ganancias.
Z = 30X1 + 12X2 + 15X3

3.- Restricciones o Limitaciones:
En cuanto a las horas disponibles:
|Fresadora: |9X1 + 3X2 + 5X3 |≤ 500 horas |
|Torno: |5X1 + 4X2 |≤ 350 horas |
|Rectificadora: |3X1 + 2x3 |≤ 150 horas |

4.- Condición necesaria:
(X1; X2; X3 ≥ 0)

5.- Procedimiento Simplex:
5.1.- Eliminación de Desigualdades:

Se toman las restricciones y se eliminan las desigualdades; esto se logra añadiendo a cada restricción una nueva variable llamada “Variable de Holgura”, la cual tendrá como subíndice el siguiente a la última variable original y se añaden tantas variables de holgura como restricciones tenga el problema.
Variable de Holgura: representa la cantidad en la cual , la cantidad disponible del recurso excede al empleo que se le dan a las actividades.

Resolviendo:
|Fresadora: |9X1 + 3X2 + 5X3 + X4 |= 500 horas |
|Torno: |5X1 + 4X2 + X5 |= 350 horas |
|Rectificadora: |3X1 + 2x3 + X6 |= 150 horas |

5.2.- Condición necesaria
(X1.X6 ≥ 0)
5.3.- Conformación Matricial:
Las restricciones ampliadas se deben conformar en forma matricial con el objetivo de obtener configurada la matriz identidad.
Establecida la parte matricial aparecen los llamados vectores, los cuales se representan con lo letra “P” y cada uno tendrá como subíndice el correspondiente a la variable en particular analizada.
Matriz Identidad:
|1 |0 |0 |
|0 |1 |0 |
|0 |0 |1 |

= I

Conformando matricialmente las restricciones:
|x1 |x2 |x3 |x4 |x5 |x6 |x0
|
lx1….x6 l |
|9 |3 |5 |1 |0 |0 |500
|5 |4 |0 |0 |1 |0 |350
|3 |0 |2 |0 |0 |1 |150

Variables Originales Variables de Holgura Requerimientos

5.3.- Ampliación del Funcional:
Función Original:
Z = 30X1 + 12X2 + 15X3
Z = 30X1 + 12X2 + 15X3 + 0X4 + 0X5 + 0X6

La función objetivo original debe ser ampliada para que se ajuste a las nuevas necesidades del problema esto debido a la adición de las nuevas variables los valores cero (0) se deben a que las nuevas variables no originan utilidad o contribución , estas solo indican cantidad de recurso limitado de esta manera no se afecta la función objetivo inicialmente formulada

Matricialmente la función objetivo:
Z = (30 12 15 0 0 0) ( X1X6)

Proceso Simplex:
|i: |Representa el número de vectores que conforman la matriz identidad, conociendo que esta matriz se forma con las variables de |
holgura en la primera etapa |
|Variables en Base|Se indica en esta columna los vectores que conforman la matriz identidad |
|Representa los coeficientes de las variablesoriginales y de holgura en la función objetivo. |
|Cj |
|Zj: |Representa el grado de sensibilidad con el que el funcional experimenta cambios; en la casilla de coincidencia de P0 se ubica el |
valor del funcional en cada etapa y las demás casillas servirán para el análisis de optimalidad. |
Se calcula multiplicando los valores de Cj por cada componente de los vectores, la suma de esos productos irá en la casilla zj |
correspondiente. |
|Zj – Cj: |Indica el criterio de optimalidad. En caso de maximizar se está en el óptimo si todas las Zj - Cj son mayores o iguales que cero |
(0). En caso que aparezcan valores negativos podrá continuarse el proceso y entrará a la siguiente etapa el que tenga mayor valor |
en términos absolutos. Este criterio solo aplica para los vectores correspondientes a variables originales ya que si alguna |
holgura resulta negativa no se tomaría en cuenta para la decisión Solo pueden entrar a una etapa siguiente los vectores |
correspondientes a variables de holgura. En la caso de minimizar costos el criterio para la decisión es que todas las Zj – Cj |
deben ser menores o iguales que cero (0). |
|Θ (Tita) |Representa el parámetro que indica el vector que sale; se calcula dividiendo los valores de P0 entre los coeficientes del vector |
que entra. Sale el menor θ (Tita) positivo, sedescartan los negativos e indeterminados. Solo salen vectores correspondientes a |
variables de holgura. |

MÉTODO SIMPLEX

ETAPA: Primera

Variables |
|i |En Base |Cj
|1 |0 |9 |9 |
|2 |0 |5 |5 |
|3 |1 |3 |1/3 |

aœ“ Línea de referencia. Esta se determina a través de la fila donde estuvo ubicado la variable que sale de la etapa anterior y donde estará ubicado la variable que entrará en la etapa siguiente.

Para determinar el pivote se asignan los mismos valores de la variable que entra en los casos que la variable que sale sea igual a cero (0). Y en el caso que la variable que sale sea igual a uno (1), el pivote quedará: uno (1) entre la variable que entra, y se tomara esta como la línea de referencia para determinar el resto de los componentes.

Luego se multiplica la fila de referencia por el pivote y se obtienen los valores de ella en la siguiente etapa, una vez determinados estos valores no se pueden modificar, es decir , permanecerán constante en el resto de las etapas hasta finalizar el problema.

Resolviendo;
|150*1/3 |=50 |
|3*1/3 |=1 |
|0*1/3 |=0 |
|2*1/3 |=0,67 |
|0*1/3 |=0 |
|0*1/3 |=0 |
|1*1/3 |=0,33 |

Luego se elaboran el resto de las filas, para ello se copia en columna la fila a calcular de la etapa anterior y se le resta el producto del pivote de dicha fila por la fila de referencia.

Resolviendo;
|Fila 1 Fila 2|
|500 – ( 9*50 ) |=50 350 – ( 5*50 ) |=100 |
|9 – ( 9*1 ) |=0 5 – ( 5*1 ) |=0 |
|3 – ( 9*0 ) |=3 4 – ( 5*0 ) |=4 |
|5 – (9*0,67) |=-1,03 0 – (5*0,67) |=-3,35 |
|1 – ( 9*0 ) |=1 0 – ( 5*0 ) |=0 |
|0 – ( 9*0 ) |=0 1 – ( 5*0 ) |=1 |
|0 – (9*0,33) |=-2,97 0 – (5*0,33) |=-1,65 |

TERCERA ETAPA:

|Fila |Variable que Sale |Variable que Entra |Columna Pivote |
x4 |x2
|1 |1 |3 |1/3 |
|2 |0 |4 |4 |
|3 |0 |0 |0 |

aœ“ Línea de referencia
Valores de fila uno (1)
| 50*1/3 |=50 |
|0*1/3 |=1 |
|3*1/3 |=0 |
|-1,03*1/3 |=0,67 |
|1*1/3 |=0 |
|0*1/3 |=0 |
|-2,97*1/3 |=0,33 |
|Fila 2 |
|100 – (4*16,67) |=33,32 |
|0 – ( 4*0 ) |=0 |
|4 – ( 4*1 ) |=0 |
|-3,35 – (4*-0,34) |=-1,99 |
|0 – ( 4*0,33) |=-1,32 |
|1 – ( 4*0 ) |=1 |
|-1,65 – (4*-0,99) |=2,31 |

CONCLUSIÓN:

La solución se considerará como final y óptima si el número de etapas se ubica dentro del intervalo (m – 2m), siendo m, el número de restricciones asociadas al problema.
POSIBLE ( M – 2M ) POSIBLE
( 3 - 6 )
óptima
Es óptimo si la solución es encontrada entre 3 y 6etapas. En este caso se utilizaron tres (3) etapas para la solución del problema de programación de producción, por lo tanto es óptimo.

ANÁLISIS DE LAS VARIABLES:
VARIABLES ORIGINALES: EN FUNCIÓN DE UNIDADES DE PRODUCTOS TERMINADOS.
X1 |= 50 UNIDADES |
X2 |=16,67 UNIDADES |
X3 |= 0 UNIDADES |

VARIABLES DE HOLGURA: EN FUNCIÓN DE LAS RESTRICCIONES. RECURSOS LIMITADOS
X4 |= 0 HORAS |
X5 |=33,32 HORAS |
X6 |= 0 HORAS |

FUNCIONAL MÁXIMO = 1700,04 Bs. GANANCIA MÁXIMA

SOBRANTE O FALTANTE:
Sólo se aplica para aquellas variables de holgura que hayan quedado en base.

P5 = 5X1 + 4X2 + X5 ≤ 350
Torno : 5 (50) + 4 (16,67) + 33,32 ≤ 350
316,68 + 33,32 ≤ 350

existe un sobrante de 33,32 horas máquinas las cuales se corresponden con la cantidad de horas que podrían estar disponibles para la variable de holgura X5,en caso del departamento de torno , estas horas podrían ser utilizadas como reserva de tiempo para futuras producciones en ese tipo de máquina y de esta manera poder equilibrar el tiempo. Según el análisis sólo es necesario fabricar dos tipos de productos con la capacidad en exceso: Producto 1 y Producto 2 con cantidades de 50 y 16 unidades respectivamente para una ganancia máxima de 1700, 04 bolívares.

La formulación del dual, consiste en invertir la información original, si se habla de maximizar el dual será minimizar. La información formulada en forma de fila pasa a ser columna y lo que está como columna pasa a ser fila. Los procesos pasan a ser restricciones y estos procesos. La función objetivo pasa a ser restricción y las restricciones pasan a ser función objetivo

APLICACIONES PRACTICAS DEL MÉTODO ALTERNO DUAL.

La Compañía Arco C.A., desea programar las cantidades de producción para el período normal de un mes ypara eso lo tiene a Usted, ya que en su carácter de Administrador General posee todas las habilidades para desarrollar la técnica de programación lineal y plantear la mejor de las soluciones. A continuación se suministran los datos necesarios para la aplicación del modelo, donde se indican las horas utilizadas por unidad en cada departamento así como la contribución marginal unitaria.

Departamentos |
Cepillado |Fresado |Taladrado |Ensamblaje |Contribución Unitaria |
|Producto C |0.5 |2.0 |0.5 |3.0 |Bs. 800 |
|Producto D |1.0 |1.0 |0.5 |1.0 |Bs. 900 |
|Producto E |1.0 |1.0 |1.0 |2.0 |Bs. 700 |
|Producto F |0.5 |1.0 |1.0 |3.0 |Bs. 600 |

Las capacidades de los departamentos en este mes para los productos C, D, E y F son
|Capacidad |Horas |
|Cepillado |1.800 |
|Fresado |2.800 |
|Taladrado |3.000 |
|Ensamble |6.000 |

Se pide:
Formule el problema Primo
Formule el problema Dual.

COMPAÑÍA ARCO C.A.,
COMBINACIÓN DE PRODUCCIÓN A TRAVÉS DEL MÉTODO SIMPLEX.

1.- Definición de Variables:
|X1 : |Producto C |
|X2 : |Producto D |
|X3 : |Producto E |
|X4 : |Producto F|

2.- Formulación del Problema:
|z = |Maximizar la Contribución Unitaria |
|z = |800x1 + 900x2 + 700x3 + 600x4 |

3.- Restricciones Asociadas con respecto a los siguiente procesos prductivos
|Cepillado : |0.5x1 + 1.0x2 + 1.0x3 + 0.5x4 ( 1800 horas mensuales |
|Fresado : |2.0x1 + 1.0x2 + 1.0x3 + 1.0x4 ( 2800 horas mensuales |
|Taladrado : |0.5x1 + 0.5x2 + 1.0x3 + 1.0x4 ( 3000 horas mensuales |
|Ensamblaje: |3.0x1 + 1.0x2 + 2.0x3 + 3.0x4 ( 6000 horas mensuales |

4.- Condición suficiente y necesaria (x1 x2 x3 x4 ( 0 )

5.- Método Simplex:
5.1.- Eliminación de Desigualdades: Adicionando una variable de holgura por cada restricción asociada al problema.

|Cepillado : |0.5x1 + 1.0x2 + 1.0x3 + 0.5x4 + x5 = 1800 horas |
|Fresado : |2.0x1 + 1.0x2 + 1.0x3 + 1.0x4 + x6 = 2800 horas |
|Taladrado : |0.5x1 + 0.5x2 + 1.0x3 + 1.0x4 +x7 =3000 horas |
|Ensamblaje: |3.0x1 + 1.0x2 + 2.0x3 + 3.0x4 + x8 = 6000 horas |

Condición: (x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 ( 0 )

5.2.- Conformación Matricial:

|P1 |P2 |P3 |
(x1..x8)

5.3.- Ampliación del Funcional

|z = |Maximizar la Contribución Unitaria |
|z = |800x1 + 900x2 + 700x3 + 600x4 |
|z = |800x1 + 900x2 + 700x3 + 600x4 +0x5 +0x6 + 0x7 + 0x8 |

Matricialmente la Función Objetivo:
800. 900 700 600 0 0 0 0 ) = Z (x1..x8)

Formulación del Dual:

Todo se invierte, es decir las restricciones pasan a ser función objetivo, ésta pasa a ser restricción.
Los productos procesos y los procesos productos: (Variables)

1..-Variables Dual:
y1: proceso de cepillado
y2: proceso de fresado
y3: proceso de taladrado
y3:proceso de ensamblaje.

2..- Formulación del problema

Z = minimizar las horas mensuales en función de la contribución unitaria.
Z = 1800y1 + 2800y2 + 3000y3 + 6000y4

3..- Restricciones en función de la ganancia
|Producto C: |0.5y1 + 2.0y2 + 1.0y3 + 0.5y4 ( 800 |
|Producto D: |1.0y1 + 1.0y2 + 1.0y3 + 1.0y4 ( 900 |
|Producto E: |0.5y1 + 0.5y2 + 1.0y3 + 1.0y4 ( 700 |
|Producto F: |0.5y1 + 1.0y2 + 2.0y3 + 3.0y4 ( 600 |