INVESTIGACIÓN
DE OPERACIONES I
LIC.
EN ADMINISTRACION
CENTRO UNIVERSITARIO ISTMOAMERICANO
INCORPORADA A LA SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA
LICENCIATURA EN ADMINISTRACION Nombre de la Asignatura:
Investigación de Operaciones I Carrera: Licenciatura en
Administración Clave de la Asignatura: LA529 Catedratico: Ing.
Manuel Fulgencio de la Cruz Mauricio
TEMARIO
Unidad 1 Temas
INTRODUCCIÓN.
Subtemas
1.1. Origen y naturaleza de la Investigación de
Operaciones. 1.2. Concepto de Optimización. 1.2.1 Para Maximizar 1.2.2.- Para
Minimizar. 1.3. Modelos aplicados en la Investigación de Operaciones. 1.4. Metodología de la Investigación de Operaciones.
2.1 Concepto de Programación Lineal. 2.2 Métodos de Solución. 2.2.1 Método Grafico 2.2.2.- Método
Dual-Simplex. 2.2.3 Mediante el uso de computadoras.
2.2.4 Modelo de Transporte. 2.2.5
Modelo de Asignación. 3.1 CPM. 3.2 PERT. 4.1 Determinísticos.
4.2 Probabilísticos. 5.1
Concepto. 5.2 Problema del arbol de peso
mínimo. 5.3 Problema de la ruta mas
corta. 5.4 Problema de flujo maximo. 6.1 Procesos Markovianos. 6.2
Potencias de Matrices estocasticas. 6.3
Matrices ergódicas. 6.4 Matrices regulares.
modelo de programación lineal
3 4 5
ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS MODELO DE INVENTARIO
ARBOL DE DECISIONES
CADENAS DE MARKOV
Unida 1.- INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Objetivo: El estudiante identificara el origen, naturaleza y campo de
aplicación de la Investigación de Operaciones1.1.- Origen y
naturaleza de la Investigación de Operaciones. ¿Qué
es Investigación de Operaciones? Como toda disciplina en
desarrollo, la investigación de operaciones ha ido evolucionando no
sólo en sus técnicas y aplicaciones sino en la forma como la
conceptualizan los diferentes autores, en la actualidad no existe solamente una
definición sino muchas, algunas demasiado generales, otras demasiado
engañosas, dos de las mas aceptadas y representativas son las
siguientes
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LA DEFINICIÓN DE CHURCHMAN, ACKOFF Y ARNOFF: LA INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES ES LA APLICACIÓN, POR GRUPOS INTERDISCIPLINARIOS, DEL
MÉTODO CIENTÍFICO A PROBLEMAS RELACIONADOS CON EL CONTROL DE LAS
ORGANIZACIONES O SISTEMAS (HOMBRE-MAQUINA), A FIN DE QUE SE PRODUZCAN
SOLUCIONES QUE MEJOR SIRVAN A LOS OBJETIVOS DE LA ORGANIZACIÓN. . De
ésta definición se pueden destacar los siguientes conceptos: 1.
Una organización es un sistema formado por
componentes que se interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser
controladas y otras no. 2. En un sistema la
información es una parte fundamental, ya que entre las componentes fluye
información que ocasiona la interacción entre ellas. También dentro de la estructura de los sistemas se
encuentran recursos que generan interacciones. Los objetivos de la
organización se refieren a la eficacia y eficiencia con que las
componentes pueden controlarse, elcontrol es un
mecanismo de autocorrección del
sistema que permite evaluar los resultados en términos de los objetivos
establecidos. 3. La complejidad de los problemas que se presentan en las
organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en
multidisciplinario por lo cual para su analisis y solución se
requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes areas del conocimiento que
logran comunicarse con un lenguaje común. 4. La investigación de
operaciones es la aplicación de la metodología científica
a través modelos matematicos, primero para representar al
problema y luego para resolverlo. La definición de la sociedad de
investigación de operaciones de la Gran Bretaña es la siguiente:
La investigación de operaciones es el ataque de la ciencia moderna a los
complejos problemas que surgen en la dirección y en la
administración de grandes sistemas de hombres, maquinas,
materiales y dinero, en la industria, en los negocios, en el gobierno y en la
defensa. Su actitud diferencial consiste en desarrollar un
modelo científico del sistema tal, que
incorpore valoraciones de factores como
el azar y el riesgo y mediante el cual se predigan y comparen los resultados de
decisiones, estrategias o controles alternativos. Su
propósito es el de ayudar a la gerencia a determinar
científicamente sus políticas y acciones. NATURALEZA DE LA
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Como su nombre lo dice, la
investigación de operaciones significa 'hacer investigación
sobre las operaciones'.Entonces, la investigación de operaciones se
aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación
de operaciones (o actividades) dentro de una organización. La naturaleza
de la organización es esencialmente inmaterial y, de hecho, la
investigación de operaciones se ha aplicado de manera extensa en
areas tan diversas como la manufactura, el transporte, la
constitución, las telecomunicaciones, la planeación financiera,
el cuidado de la salud, la milicia y los servicios públicos, por nombrar
sólo unas cuantas. Así, la gama de
aplicaciones es extraordinariamente amplia. La parte de investigación en
el nombre significa que la investigación de operaciones usa
un enfoque similar a la manera en que se lleva a cabo la investigación
en los campos científicos establecidos. En gran medida, se usa
el método científico para investigar el problema en
cuestión. (De hecho, en ocasiones se usa el término ciencias de la
administración como
sinónimo de investigación de operaciones.) En particular, el
proceso comienza por la observación cuidadosa y la formulación del
problema incluyendo la recolección de los datos pertinentes. El
siguiente paso es la construcción de un modelo
científico (por lo general matematico) que intenta abstraer la
esencia del
problema real. En este punto se propone la
hipótesis de que el modelo es una representación lo
suficientemente precisa de las características esenciales de la
situación como
para que las conclusiones (soluciones) obtenidas sean validas
también para el problemareal. Después, se
llevan a cabo los experimentos adecuados para probar esta hipótesis,
modificarla si es necesario y eventualmente verificarla. (Con frecuencia
este paso se conoce como
validación del
modelo.) Entonces, en cierto modo, la investigación de
operaciones incluye la investigación científica creativa de las
propiedades fundamentales de las operaciones. Sin
embargo, existe
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mas que esto. En particular, la IO se ocupa
también de la administración practica de la
organización. Así, para tener éxito, debera
también proporcionar conclusiones claras que
pueda usar el tomador de decisiones cuando las necesite. Una
característica mas de la investigación de operaciones es
su amplio punto de vista. La IO adopta un punto
de vista organizacional. de esta manera, intenta
resolver los conflictos de intereses entre las componentes de la
organización de forma que el resultado sea el mejor para la
organización completa. Esto no significa que el estudio de cada problema
deba considerar en forma explícita todos los aspectos de la
organización sino que los objetivos que se buscan deben ser consistentes
con los de toda ella. Una
característica adicional es que la investigación de operaciones
intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución
óptima) para el problema bajo consideración. (Decimos una
mejor solución y no la mejor solución porque pueden existir muchassoluciones
que empaten como
la mejor.) En lugar de contentarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor curso de acción posible.
Aun cuando debe interpretarse con todo cuidado en términos de las
necesidades reales de la administración, esta 'búsqueda de
la optimidad' es un aspecto importante dentro de
la investigación de operaciones. Todas estas características
llevan de una manera casi natural a otra. Es evidente
que no puede esperarse que un solo individuo sea un
experto en todos lo múltiples aspectos del trabajo de investigación de
operaciones o de los problemas que se estudian; se requiere un grupo de
individuos con diversos antecedentes y habilidades. Entonces, cuando se va a emprender un estudio de investigación de operaciones
completo de un nuevo problema, por lo general es necesario emplear el empleo de
equipo. Este debe incluir individuos con antecedentes firmes en
matematicas, estadística y teoría de probabilidades, al
igual que en economía, administración de empresas, ciencias de la
computación, ingeniería, ciencias físicas, ciencias del
comportamiento y, por supuesto, en las técnicas especiales de
investigación de operaciones. El equipo también necesita tener la
experiencia y las habilidades necesarias para permitir la consideración
adecuada de todas las ramificaciones del problema a través de la
organización. HISTORIA: ORIGENES DE LA INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES La toma de decisiones es un proceso que se inicia cuando una
persona observa un problema y determina que esnecesario resolverlo procediendo
a definirlo, a formular un objetivo, reconocer las limitaciones o
restricciones, a generar alternativas de solución y evaluarlas hasta
seleccionar la que le parece mejor, este proceso puede se cualitativo o
cuantitativo. El enfoque cualitativo se basa en la experiencia y el juicio
personal, las habilidades necesarias en este enfoque
son inherentes en la persona y aumentan con la practica. En muchas
ocasiones este proceso basta para tomar buenas
decisiones. El enfoque cuantitativo requiere habilidades que se obtienen del
estudio de herramientas matematicas que le permitan a la persona mejorar
su efectividad en la toma de decisiones. Este enfoque es útil cuando no
se tiene experiencia con problemas similares o cuando el problema es tan
complejo o importante que requiere de un analisis exhaustivo para tener
mayor posibilidad de elegir la mejor solución. La investigación
de operaciones proporciona a los tomadores de decisiones bases cuantitativas
para seleccionar las mejores decisiones y permite elevar su habilidad para
hacer planes a futuro. En el ambiente socioeconómico actual altamente
competitivo y complejo, los métodos tradicionales de toma de decisiones
se han vuelto inoperantes e inadmisibles ya que los
responsables de dirigir las actividades de las empresas e instituciones se
enfrentan a situaciones complicadas y cambiantes con rapidez que requieren de
soluciones creativas y practicas apoyadas en una base cuantitativa
sólida. En organizaciones grandes se hacenecesario que el tomador de
decisiones tenga un conocimiento basico de las
herramientas cuantitativas que utilizan los especialistas para poder trabajar
en forma estrecha con ellos y ser receptivos a las soluciones y recomendaciones
que se le presenten. En organizaciones pequeñas puede darse que el
tomador de decisiones domine las herramientas cuantitativas y él mismo
las aplique para apoyarse en ellas y así tomar
sus decisiones. Desde al advenimiento de la Revolución Industrial, el
mundo ha sido testigo de un crecimiento sin
precedentes
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en el tamaño y la complejidad de las organizaciones. Los pequeños talleres artesanales se convirtieron en las
corporaciones actuales de miles de millones de pesos. Una parte integral
de este cambio revolucionario fue el gran aumento en
la división del
trabajo y en la separación de las responsabilidades administrativas en
estas organizaciones. Los resultados han sido
espectaculares. Sin embargo, junto con los beneficios, el
aumento en el grado de especialización creo nuevos problemas que ocurren
hasta la fecha en muchas empresas. Uno de estos problemas es la
tendencia de muchas de las componentes de una organización a convertirse
en imperios relativamente autónomos, con sus propias metas y sistemas de
valores, perdiendo con esto la visión de la forma en que encajan sus
actividades y objetivos con los de toda la organización. Lo quees mejor
para una componente, puede ir en detrimento de otra, de manera que pueden
terminar trabajando con objetivos opuestos. Un
problema relacionado con esto es que, conforme la complejidad y la
especialización crecen, se vuelve mas difícil asignar los
recursos disponibles a las diferentes actividades de la manera mas
eficaz para la organización como
un todo. Este tipo de problemas, y la necesidad de encontrar
la mejor forma de resolverlos, proporcionaron el ambiente adecuado para el
surgimiento de la INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (IO). Las raíces de la investigación de operaciones se
remontan a muchas décadas, cuando se hicieron los primeros intentos para
emplear el método científico en la administración de una
empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad
llamada investigación de operaciones, casi siempre se atribuye a los
servicios militares prestados a principios de la segunda guerra mundial.
Debido a los esfuerzos bélicos, existía una
necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones
militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma
mas efectiva. Por esto, las administraciones militares americana
e inglesa hicieron un llamado a un gran número de científicos
para que aplicaran el método científico a éste y a otros
problemas estratégicos y tacticos. De hecho, se
les pidió que hicieran investigación sobre operaciones
(militares). Estos equipos de científicos
fueron los primeros equipos de IO. Con el desarrollo de métodos
efectivos para el uso del
nuevoradar, estos equipos contribuyeron al triunfo del combate aéreo inglés. A
través de sus investigaciones para mejorar el manejo de las operaciones
antisubmarinas y de protección, jugaron también un papel importante en la victoria de la batalla del Atlantico
Norte. Esfuerzos similares fueron de gran ayuda en a
isla de campaña en el pacífico. Al terminar la guerra, el
éxito de la investigación de operaciones en las actividades
bélicas generó un gran interés en
sus aplicaciones fuera del
campo militar. Como la explosión
industrial seguía su curso, los problemas causados por el aumento en la
complejidad y especialización dentro de las organizaciones pasaron de
nuevo a primer plano.
Comenzó a ser evidente para un gran número de personas,
incluyendo a los consultores industriales que habían trabajado con o para
los equipos de IO durante la guerra, que estos problemas eran
basicamente los mismos que los enfrentados por la milicia, pero en un
contexto diferente. Cuando comenzó la década de 1950, estos
individuos habían introducido el uso de la
investigación de operaciones en la industria, los negocios y el
gobierno. Desde entonces, esta disciplina se ha desarrollado con rapidez. Se
pueden identificar por lo menos otros dos factores que jugaron un papel importante en el desarrollo de la
investigación de operaciones durante este período. Uno es el gran progreso que ya se había hecho en el
mejoramiento de las técnicas disponibles en esta area.
Después de la guerra, muchos científicos que habían
participado en losequipos de IO o que tenían información sobre este trabajo, se encontraban motivados a buscar resultados
sustanciales en este campo; de esto resultaron avances importantes. Un ejemplo sobresaliente es el método simplex para
resolver problemas de programación lineal, desarrollado en 1947 por
George Dantzing. Muchas de las herramientas características de la
investigación de operaciones, como
programación lineal, programación dinamica, líneas
de espera y teoría de inventarios, fueron desarrolladas casi por
completo antes del
término de la década de 1950. Un segundo
factor que dio ímpetu al desarrollo de este campo fue la
revolución de las computadoras. El manejo efectivo de los complejos
problemas inherentes a la IO, casi siempre requiere un
gran número de calculos. Realizarlos a mano
puede resultar casi imposible. Por lo tanto el de la computadora
electrónica digital, con su capacidad para realizar calculos
aritméticos, miles o tal vez millones de veces
mas rapido que los seres humanos, fue una gran ayuda para la
investigación de operaciones. Un avance
mas tuvo lugar en la década de 1980 con el desarrollo de las
computadoras personales cada vez mas rapidas, acompañado
de buenos paquetes de software para resolver problemas de IO, esto puso las
técnicas al alcance de un gran número de personas. Hoy en
día, literalmente millones de individuos tienen acceso a estos paquetes. En
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consecuencia, por rutina, se usa toda una gama de
computadoras, desde las grandes hasta las portatiles, para e resolver
problemas de investigación de operaciones. 1.2. Concepto de
optimización. Una característica adicional, que se
mencionó como de pasada, es que la Investigación de Investig
Operaciones intenta encontrar la mejor solución, o la solución
óptima, al problema bajo consideración. En lugar de contentarse
con sólo mejorar el estado de las cosas, la meta
es identificar el mejor curso de acción posible. Aún cuando debe
interpretarse con todo cuidado, esta “búsqueda de la
optimalidad” es un aspecto muy retarse
importante dentro de la Investigación de Operaciones.
1.3. Modelos aplicados en la Investigación de Operaciones. TIPOS DE
MODELOS Un modelo es una representación ideal de un
sistema y la forma en que este opera. El objetivo es analizar el comportamiento
del
sistema o bien predecir su comportamiento futuro. Obviamente los modelos no son
tan complejos como el
sistema mismo, de tal manera que se hacen las suposiciones y restricci
restricciones necesarias para representar las porciones mas relevantes del mismo. Claramente no habría ventaja alguna de utilizar modelos si
estos no simplificaran la situación real. En
muchos casos podemos utilizar modelos matematicos que, mediante letras,
números y operaciones, representan variables, magnitudes y sus
relaciones. Modelos Matematicos Un modelo es producto de una
abstracción de un sistema real: eliminando las
complejidades y haciendosuposiciones pertinentes, se aplica una técnica
matematica y se obtiene una representación simbólica del obtiene mismo.
Un modelo matematico consta al menos de tres
conjuntos basicos de elementos: 1. Variables de decisión y
parametros Las variables de decisión son incógnitas que
deben ser determinadas a partir de la solución del modelo. Los parametros
representan los valores conocidas del sistema o bien que se pueden
controlar. 2. Restricciones Las restricciones son relaciones entre las
variables de decisión y magnitudes que dan sentido a la solución del
problema y las acotan a valores factibles. Por ejemplo si una de las variables
de decisión representa el número de empleados de un taller, es evidente que el valor de esa variable no puede
ser negativa. 3. Función Objetivo La función objetivo es una
relación matematica entre las variables de decisión,
parametros y una magnitud que representa el objetivo o producto del
sistema. Por ejemplo si el objetivo del sistema es minimizar los
costos de
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operación, la función objetivo debe expresar la relación
entre el costo y las variables de decisión. La solución be
OPTIMA se obtiene cuando el valor del costo sea mínimo para
un conjunto de valores factibles de las variables. Es decir hay que determinar
las variables x1, x2 xn que optimicen el valor
de Z = f(x1, x2, , xn) ariables. optimicen sujeto arestricciones de la forma
g(x1, x2, , xn) b. Donde x1, x2, , xn son las variables de
decisión Z es la función objetivo, f es una función
matematica. Ejemplo A1: Sean x1 y x2 la cantidad a producirse de dos
productos 1 y 2, los parametros son los costos de producción de
producirse ambos productos, $3 para el producto 1 y $5 para el producto 2. Si
el tiempo total de producción esta restringido a 500 horas y el tiempo
de producción es de 8 horas por unidad para el producto 1 y de 7 horas
por unidad para el producto 2, entonces podemos representar el modelo como: C =
3x1 + 5x2 (Costo total de Producción) Sujeto a: 8x1 + 7x2 x1 500 0 y x2
0.
Ejercicios A1: 1. Se pide construir un cilindro del
maximo volumen posible utilizando a lo mas 3m de material calcule
el radio ( r ) y la altura (h) del mismo. 2. En una empresa se fabrican dos
productos, cada producto debe pasar por una maquina de ensamblaje A y otra de terminado B, antes de salir a la venta, el
producto 1 se vende a $60 y el otro a $50 por unidad. La siguiente tabla
muestra el tiempo requerido por cada producto: Producto 1 2 Total disponible
Clasificación de Modelos Muchos problemas de decisión implican un gran número de factores o variables importantes o
pueden tener muchas opciones a considerar por lo que se hace necesario la
utilización de computadoras para su solución. Por ejemplo una
empresa puede contar con varias fabricas donde produce bienes para
enviar a cientos de varias clientes. Decidir la programación de las
fabricas y determinar cuales deellas deben atender a cuales clientes,
para minimizar costos, implica cientos de variables y restricciones que pueden
tener millones de posibles m soluciones. Los modelos de programación
lineal y programación entera son las técnicas mas
utilizadas para resolver problemas grandes y complejos de negocios de este tipo. En ellos se aplican técnicas
matematicas para hallar el valor maximo (o el mínimo) de un objetivo sujeto a un conjunto de restricciones. imo Maquina A 2H 4H 48 H Maquina B 3H 2H 36 H
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La simulación es una técnica para crear modelos de sistemas
grandes y complejos que incluyen incertidumbre. Se diseña un modelo para repetir el comportamiento del sistema. Este tipo de modelo se basa en
la división del
sistema en módulos basicos o elementales que se enlazan entre
sí mediante relaciones enlazan lógicas bien definidas. El
desarrollo de un modelo de simulación es muy
costoso en tiempo y recursos.
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Problemas dinamicos los problemas dinamicos de decisión
implican un tipo particular de complejidad cuando hay
una secuencia de decisiones interrelacionadas a través de varios
períodos. Por ejemplo modelos de inventario, para
determinar cuando pedir mercadería y cuanto debe mantenerse en
existencia; los modelos PERT o de ruta Critica para la programación de
proyectos y los modelos de colas para problemas que involucran
congestión. En los problemas complejospueden aparecer variables
exógenas o variables externas, importantes para el problema de
decisión, pero que estan condicionadas por factores que estan
fuera del control de
la persona que cont decide, tales como
condiciones económicas, acciones de los competidores, precios de las
materias primas y otros factores similares. Las restricciones pueden considerar
ciertas políticas definidas por la empresa tales como que los
materiales tienen que adquirirse a determinados proveedores o que deben
mantenerse ciertos riales niveles de calidad.
La investigación de operaciones, tiene métodos de
optimización aplicables a los siguientes tipos de problemas: 1. METODOS
DETERMINISTICOS: Ej, Programación lineal, programación entera,
probabilidad de Programación transporte, programación no lineal,
teoría de localización o redes, probabilidad de
asignación, programación por metas, teoría de inventarios,
etc. 2. METODOS PROBABILISTICOS: Ej. Cadenas de Markov, teoría de
juegos, líneas de espera, teoría de inventarios, etc. 3. METODOS
HIBRIDOS: Tienen que ver con los métodos determínisticos y
probabilísticos como la teoría de
inventarios. 4. METODOS HEURISTICOS: Son las soluciones basadas en la
experiencia, como
la program programación heurística. Un Analista de
investigación de Operaciones debe elegir el plan de acción
mas efectivo para lograr las metas de la organización, debe
seleccionar un conjunto de medidas de desempeño, utilizar una unidad
monetaria y tomar decisiones, debe seguir un proceso general de
solución, encualquier situación, durante la toma de decisiones.
Deben establecerse los criterios de tomas de decisiones (Costos, Cantidades,
Maximos, Mínimos etc), seleccionar las
alternativas, determinar un modelo y evaluarlo, integrar la información
cuantitativa evaluarlo, obtenida para luego decidir. Muchas veces hay que
incorporar factores cualitativos tales como el animo y el liderazgo
en la organización, problemas de empleo, contaminación u otras de
responsabilidad social. Nota: el proceso de abstracción
(idealización restricción y simplificación) siempre
introduce algún grado de error en las soluciones obtenidas, por lo que el
ejecutivo no debe volverse incondicional de un modelo
cuantitativo y adoptar automaticamente sus conclusiones como la decisión correcta. La
cuantificación es una conclusiones ayuda para el juicio empresarial y no
un sustituto de este.
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Los modelos planteados se conocen como modelos
determinísticos. En contraste, en algunos casos, quiza
. no se conozcan con certeza los datos,
mas bién se determinan a través de distribuciones de
probabilidad, se da cabida a la naturaleza probabilistica de los
fenómenos naturales. Esto da orígen a los
así llamados modelos probabilísticos o estocasticos.
Las dificultades evidentes en los calculos de los modelos
matematicos han obligado a los analistas a
buscar otros métodos de calculo que aunque no garantizan
laoptimalidad de la solución final, buscan una buena solución al
problema. Tales métodos se denominan heuristicos.
Suelen emplearse con dos fines: En el contexto de un
algoritmo de optimización exacto, con el fin de aumentar la velocidad del proceso. En segundo lugar para obtener una solución al problema
aunque no óptima, la que puede ser muy difícil encontrar.
MODELOS DE OPTIMIZACIÓN RESTRINGIDA RESTRING En un problema de
optimización se busca maximizar o minimizar una cantidad
específica llamada objetivo, la cual depende de un número finito
de variables, en un modelo de optimización restringida, éstas se
encuentran relacionadas a través de una o mas restricciones. El
planteamiento de este modelo se conoce como programa
restricciones. matematico. Los programas
matematicos tienen la forma: Optimizar z = f(x1,x2,..,xn) (1) Con las
condiciones: g1(x1,x2,..,xn) b1 g2(x1,x2,..,xn) . =
gm(x1,x2,..,xn) bm b2
Cada una de las m relaciones emplea uno de los signos , , = respecto de las
constantes bi , i = 1,..,m. Los programas matematicos sin restricciones
se producen cuando todas las gi y las bi son 0 i = 1,..,m. 1,..,m
Programación Lineal Un programa matematico (1) es lineal si
f(x1,x2,..,xn) y cada gi(x1,x2,..,xn) j = 1,..,m son lineales en cada uno de
sus argumentos, es decir f(x1,x2,..,xn) = c1x1 + c2x2 + + cnxn y
gi(x1,x2,..,xn) = ai1x1 + ai2x2 + + ainxn donde las cj y las aij (i = 1,..m; j = 1, .. n) son constantes
conocidas o parametros delsistema. Cualquier otro
programa que no cumpla la linealidad de f o de gi es no lineal. El
Ejemplo A.1 es un problema de programación
lineal en dos variables.
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Programación Entera Un programa lineal que tiene la restricción
adicional de que las variables de decisión son números enteros se
conoce como
programa entero. No es necesario que las cj y las aij y las bj sean enteros,
pero, normalmente . esto es
así. Ejemplo A2 Un fabricante de dos productos A y B dispone de 6
unidades de material y 28 Horas para su ensamblaje, el modelo A requiere 2
unidades de de material y 7 horas de ensamblaje, el modelo B requiere una
unidad de material y 8 horas de ensamblaje, los precios de los productos son
$120 y $80 respectivamente. ¿Cuantos de productos de
cada modelo debe fabricar para maximizar su ingreso? Sea x1 y x2 la
cantidad de productos a producir de A y B El objetivo se Expresa Como:
Maximizar z = 120x1 + 80x2 El fabricante esta sujeto a dos
restricciones: De Material : 2x1 + x2 De Horas : 7x1 +
8x2 De no negatividad x1 6 28 0 y x2 0
Ademas no se venden productos no terminados por lo tanto las variables
x1 y x2 deben ser enteras. Programación no lineal En este caso se
destaca el estudio de optimización en una variable sin restricciones de
la forma: Optimizar z = f(x) donde f es función no lineal de x y la optimización
se realiza en -¥,¥ ). Si la busqueda
secisrcunscribe a un sub intervalo finito [a,b] el problema es de optimizacion
no lineal restringida y se transforma a b] Optimizar z = f(x) con la
condición a Optimización no lineal multivariable Es el caso analogo
al anterior, pero en el caso en que la función f es de mas de una
variable, es decir: Optimizar z = f(X) donde X = [x1, x2, , xn]T f( Si
existen las restricciones x b.
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Gi(X) = 0 Es un problema no lineal multivariable
restringido. Ejemplo A3 Una Compañía desea construir una planta
que recibira suministros desde tres ciudades A, B, C, tomando como t
origen la ciudad A, B tiene coordenadas (300 Km. al Este
Km. al Norte), y C tiene coordenadas (700 Km. al Este, 300 Km. al Norte)
respecto de A. La posición de la planta debe estar en un punto tal que
la distancia a los puntos A, B y C sea la mínima. Sean x1 y x2 las
coordenadas desconocidas de la planta respecto de A. Utilizando la
fórmula de la distancia, debe minimizarse la suma de las distancias:
Ö (x1 + x2 ) + Ö ((x1 - 300) + (x2 - 400) ) + Ö ((x1 - 700) +
(x2 - 300) ) No hay restricciones en cuanto a las coordenadas de la planta ni
condiciones de no negatividad, puesto que un valor negativo de x1 significa que
la planta se localiza al Oeste del punto A. La ecuación es un programa
matematico no lineal sin restricciones. Programación
Cuadratica Es un caso particular de
programación matematica nolineal. Un programa matematico
en el cual cada restricción gi es lineal pero el objetivo es
cuadratico se conoce como programa cuadratico, es decir
cuadratico f(x1,x2,..,xn) = S i=1,nS j=1,n cijxixj + S i=1,ndixi
2 2 2 2 2 2
Ejemplo A4 Minimizar z = x12 + x22 Con las condiciones x1 - x2 = 3 X2 3
Donde ambas restricciones son lineales, con n = 2 (dos variables) c11 = 1; c12
= c21 = 0; c22 = 1 y d1 = d2 = 0. Programación Dinamica El
programa matematico : Optimizar z = f1(x1) +
f2(x2) + + fn(xn) Con la condición x1 + x2 + + xn ión b
Con todas las v variables enteras y no negativas. En que las funciones fi(xi) son funciones no lineales conocidas de una sola
variable, b es un número entero conocido. Corresponde
al modelo importante de decisión en etapas múltiples en que el
número de etapas es ido.
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n. La etapa 1 comprende la especificación de la variable x1 con
contribución f1(x1) al rendimiento total; etc. La programación
dinamica es una forma de enfoque de los procesos de decisión de
optimización de n enfoque etapas. Ejemplo A5 Una
persona dispone de $4000 para invertir y se le presentan tres opciones de inversión.
Cada opción requiere de depósitos en cantidades de $1000, puede
invertir lo que desee en las tres opciones. tres Las ganancias esperadas son
las siguientes Inversión Ganancias Opción 1 Opción 2
Opción 3 0 0 0 0 1000 2000 1000 1000 20005000 3000 4000 3000 6000 6000
5000 4000 7000 7000 8000
¿Cuanto dinero debera invertirse en cada opción
para maximizar las ganancias? Sea z la ganancia total, que es la suma de las
ganancias de cada opción, las inversiones tienen la restricción
de ser múltiplos de $1000, la tabla muestra las fi(x) = Etapa i, (i = 1 ), x es la cantidad de dinero invertida en cada
opción. El programa matematico es el siguiente: Maximizar z =
f1(x1) + f2(x2) + f3(x3) La persona sólo posee $4000 para invertir: Las
condiciones son : X1 +x2 + x3 4000
Con todas variables enteras y no negativas. Programación Dinamica
estocastica Un proceso de decisión de n
etapas es estocastico si el rendimiento asociado con al menos una de las
variables decisión es aleatoria. Esta aleatoriedad
puede presentarse o bien asociada a la variable de decisión o a la
función de rendimiento. Ejercicios A.2 1. Una fabrica de
hamburguesas compra carne al 20% de grasa a $80 y
carne al 32% de grasa a $60 el kilo, ¿Cuanta carne de cada una debe usar
la fabrica de hamburguesas si desea minimizar el costo por kilo de
hamburguesa al 25% de grasa? 2. Resolver graficamente el problema
anterior 3. Resolver graficamente el problema del Ejemplo A.2 4.
Dé una interpretación física del
Ejemplo A.3
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
LIC. EN ADMINISTRACION
Ejercicios para resolver por el método Grafico. La compañía financiera Madison tiene un total de $20
millonesasignados a préstamos para adquisición de casas y
automóviles. En promedio, la tasa anual de recuperación para las
casas es del 10% y del 12% para los autos.
La gerencia ha estipulado que la cantidad total de préstamos
hipotecarios tiene que ser mayor o igual a 4 veces la cantidad total de
préstamos para autos. ¿Cual es la cantidad total de los
préstamos de cada tipo que debe realizar Madison para maximizar el monto de
recuperación?
Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de madera y 28 horas
disponibles, durante las cuales fabricara biombos decorativos. Con
anterioridad, se han vendido dos modelos, de manera
que se limitara a producir éstos. Estima que el modelo I requiere
2 unidades de madera y 7 horas del tiempo disponible, mientras el modelo II
requiere 1 unidad de madera y 8 horas. Los precios de los
modelos son $120 y $80, respectivamente. ¿Cuantos biombos
de cada modelo debe fabricar si desea maximizar su ingreso en la venta? 3.- Una
compañía tiene una división que produce dos modelos de
braseros, el A y el B. Para producir cada modelo A se necesitan 3 onzas de
hierro forjado y 6 minutos de trabajo, mientras que para cada modelo B, 4 onzas
de hierro forjado y 3 minutos de trabajo. La ganancia por cada modelo A es $2 y
$1.50 por cada B. Si se dispone de 1000 onzas de hierro forjado y 20 horas de
trabajo para la producción diaria de braseros, ¿cuantas
piezas de cada modelo debe producir la división para maximizar las
ganancias de la compañía? Una
compañía elabora los productos A y B, en dosmaquinas I y
II. Se ha determinado que la compañía lograra una ganancia
de $3 por cada unidad del producto A y de $4 de cada unidad B. Para producir
una unidad A se necesitan 6 minutos en la maquina I y 5 minutos en la
maquina II; mientras que para producir una unidad de B se necesitan 4
minutos en la maquina I y 6 minutos en la maquina II. Hay 5 horas
de maquinas disponibles en la maquina I y 3 horas disponibles en
la maquina II en cada turno. Determine el modelo matematico para
el número de unidades de cada producto que se deben fabricar en cada
turno para maximizar la ganancia de la compañía.
Un banco esta asignando un maximo de
200,000 dólares para préstamos personales y de automóviles
durante el próximo mes. El banco cobra 14% de
intereses por préstamos personales y 12% por préstamos para
automóviles. Ambos tipos de préstamos se liquidan al final
de un año. La experiencia muestra que alrededor
del
3% de los préstamos personales y el 2% de los préstamos para
automóviles nunca se liquidan. Por lo común, el
banco asigna cuando menos el doble de los préstamos personales que los
préstamos para automóviles. Determine el modelo
matematico para la asignación de fondos para los dos tipos de
préstamos. Supóngase que se acaba de
recibir una herencia de $100,000 de un tío y su deseo es invertir este
dinero para maximizar el rendimiento sobre la inversión. Se decide invertir tanto en acciones como en bonos. Para estar seguros, se piensa
que las acciones deben ser no mas del 25% y por lo menos el10% del total a invertir; existe un bono que
resulta en particular interesante y se quiere invertir en él por lo
menos $40 000. Se estima que la tasa anual de rendimiento en bonos es del
8% y en acciones el 10%. Determine el modelo matematico para las
cantidades que debe invertir en acciones y en bonos.
Una industria desea obtener un tipo particular de
aleación. Las especificaciones técnicas de este
material requieren que tenga 35% de hierro y 65% de aluminio. Para hacer la
aleación se necesita mezclar dos aleaciones 1 y 2; cada una con
distintas proporciones de hierro y aluminio, y también con distintos
precios, como se muestra en la siguiente tabla: Aleación Porcentaje de
hierro por kg Porcentaje de aluminio por kg Precio por kg 1 10 90 $5 2 80 20 $7
Determine el modelo matematico para obtener una nueva aleación que
cumpla con los requerimientos técnicos en cuanto a porcentajes de hierro
y aluminio, y que ademas se obtenga a costo mínimo.
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8 Encuentre la región factible del siguiente modelo de
P.L.:
max. z = 40 x1 + 30 x2 s.a. x1 + x2 ≤ 800 2 x1 + x2 ≤ 1000 x1 ≤
400 x2 ≤ 700 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
9.- Encuentre la solución óptima del siguiente modelo de P.L.:
max. z = 3 x1 + 4 x2 s.a. 5 x1 + 4 x2 ≤ 145 x1 + 2 x2 ≤ 50 2 x1 +
x2 ≥ 25 x2 ≥ 5 x1 ≥ 0
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